利用Matlab模擬布朗運動測量實驗

冉詩勇

（溫州大學(xué)，浙江溫州 325035）

利用Matlab模擬布朗運動測量實驗

冉詩勇

（溫州大學(xué)，浙江溫州 325035）

利用matlab工具模擬了布朗運動測量的實驗。通過一正態(tài)隨機數(shù)產(chǎn)生函數(shù)模擬從而產(chǎn)生布朗運動步距。在假定粒子所受拖曳力滿足斯托克斯關(guān)系的情況下，通過擬合多個粒子的均方位移隨時間的變化曲線得到斜率，從而進一步可得出擴散系數(shù)和波爾茲曼常數(shù)。同時，根據(jù)模擬結(jié)果也對如何減小實驗誤差作了分析。

布朗運動；計算機模擬；擴散系數(shù)

布朗運動本質(zhì)可認(rèn)為是一種隨機漲落現(xiàn)象，懸浮在氣體或液體中的微粒周圍各方向的氣體或液體分子撞擊微粒，產(chǎn)生一種凈漲落力，從而使微粒無規(guī)運動［1－2］。

布朗運動可以利用光學(xué)顯微鏡進行測量，結(jié)合計算機和視頻采集、圖像處理分析技術(shù)，可以定量分析在溶液中粒子的布朗運動［3］。一般做法是在顯微鏡下跟蹤記錄微米量級粒子的運動，然后分析采集到的運動圖像序列得到粒子的二維運動軌跡，然后求粒子的均方位移，然后對多個粒子的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計平均，得到均方位移-時間曲線，通過擬合曲線的斜率，得出一系列實驗參數(shù)如擴散系數(shù)，波爾茲曼常數(shù)，系統(tǒng)溫度等實驗參數(shù)［4］。

本文在從這些實驗的典型實驗參數(shù)出發(fā)，從計算機模擬這一角度對布朗運動進行研究，模擬了多個粒子的布朗運動軌跡，對多個粒子的均方位移數(shù)據(jù)平均以減小誤差，然后通過擬合均方位移-時間曲線得出斜率，進而得到粒子擴散系數(shù)和玻爾茲曼常數(shù)，并與理論值相比較。

1 實驗原理

對于一維情況，粒子布朗運動均方位移

在模擬或?qū)嶒炛校梢詫Γ紃2＞二維－t圖進行線性擬合，得到斜率k，從而D＝k／4。布朗運動粒子在t到t＋Δt的時間內(nèi)x或y方向的移動步距δ分布滿足高斯分布：

由于粒子在各個維度運動等價，可以將式（1）推廣到二維或三維情形，因此有

其中：d等于1，2或者3，分別對應(yīng)于一維，二維或三維情況。

對于顯微鏡下的粒子跟蹤法測量實驗，通常只對焦平面上的二維運動軌跡作測量，因此有

2 計算機模擬

模擬分以下幾個步驟進行：

（2）接下來將這一組隨機分布量依次疊加，得到粒子在每一時刻的坐標(biāo)（x，y）即每個時刻相對于初始位置的位移，這一過程可通過matlab中的cumsum函數(shù)實現(xiàn)。

（3）計算不同時刻位移的平方：r2＝x2＋y2。

（4）上述步驟只對一個粒子進行了模擬，這樣擬合得到的數(shù)據(jù)誤差是很大的，為減小誤差，需要對多個粒子進行模擬然后對數(shù)據(jù)作平均，這一步驟可通過一個for循環(huán)語句實現(xiàn)。這樣

其中＜r2＞為第i個粒子的均方位移，n為模擬的粒子個數(shù)。然后畫＜r2＞ -t圖，用最小二乘法線性擬合＜r2＞-t圖的斜率k，這樣D＝k／4。

3 參數(shù)選取

圖1 模擬得到的3個典型的粒子布朗運動軌跡

圖2 對10，100，1000，10000個粒子的軌跡跟蹤測量數(shù)據(jù)平均得到的＜r2＞- t模擬數(shù)據(jù)值，線性擬合以及理論預(yù)測曲線比較

4 模擬結(jié)果與分析

圖1顯示了3個粒子的布朗運動軌跡，很好地體現(xiàn)了布朗運動的無規(guī)行走特性＜r2＞-t。圖即通過對多個這樣的布朗運動軌跡計算位移均方差然后進行統(tǒng)計平均得到。圖2依次顯示了通過對10，100，1 000和10 000個粒子的軌跡跟蹤測量數(shù)據(jù)平均得到的＜r2＞-t模擬數(shù)據(jù)值，線性擬合以及理論預(yù)測曲線?？梢钥闯?，如果僅僅對10個粒子的數(shù)據(jù)進行平均，模擬數(shù)據(jù)與理論預(yù)測的線性趨勢相差甚遠(yuǎn)，隨著模擬粒子個數(shù)的增加，數(shù)據(jù)越來越接近線性趨勢，擬合誤差也相應(yīng)減小。當(dāng)模擬的粒子個數(shù)高達10 000個以上時，模擬數(shù)據(jù)已幾乎與理論預(yù)測完全一致了。圖3顯示了多次測量下四種不同個數(shù)粒子情況下所得到的擴散系數(shù)值。根據(jù)模擬預(yù)先設(shè)定的參數(shù)，可以計算出擴散系數(shù)理論預(yù)測值D＝0.978μm2／s。在僅僅只對10個粒子平均的情況下，D值測量標(biāo)準(zhǔn)差為0.31μm2／s，會經(jīng)常出現(xiàn)有偏離理論預(yù)測值甚遠(yuǎn)的情況。而隨著模擬粒子個數(shù)的增加，其測量值的標(biāo)準(zhǔn)差也隨之減小（圖3），所得出的擴散系數(shù)精確度有明顯提高。在1 000個粒子的情況下，每次測量的擴散系數(shù)誤差已基本可控制在3%。圖3嵌圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)差隨著模擬粒子個數(shù)的開方倒數(shù)成線性關(guān)系。

圖3 多次測量下四種不同個數(shù)粒子情況下所得到的擴散系數(shù)值（嵌圖：D值測量標(biāo)準(zhǔn)差隨著模擬粒子個數(shù)的開方倒數(shù)成線性關(guān)系）

本模擬結(jié)果也可為顯微鏡下通過粒子跟蹤方法測量粒子運動軌跡所需要平均的粒子個數(shù)提供參考，為減小擴散系數(shù)的測量誤差，可以增加跟蹤粒子的個數(shù)，一般在100～1 000左右的粒子個數(shù)可以達到相對比較高的精確度。在實驗上，跟蹤100個左右的粒子是可行的。由100個粒子的模擬數(shù)據(jù)即圖2b可觀察到隨著模擬時間的增加，模擬數(shù)據(jù)偏離理論預(yù)測的趨勢越來越明顯，而在最初的較短的10 s模擬時間內(nèi)，偏離趨勢尚不明顯，因此實驗上為進一步減小誤差，可相應(yīng)減少測量時間。而在實驗上跟蹤分析1 000左右的粒子運動軌跡則需要較多的工作量，盡管這樣可以減小誤差。而計算機模擬可只用一個循環(huán)過程便可得到多個粒子的軌跡，因此計算機模擬相較實驗具有處理時間短的優(yōu)越性，可在最短的時間內(nèi)展示布朗運動實驗的物理內(nèi)涵。

圖4 在x，y方向上耦合有0.1σ，0.2σ定向運動的＜r2＞-t圖與純布朗運動的情況相比較

5 總 結(jié)

本文從顯微鏡測量布朗運動實驗的計算機模擬角度出發(fā)，模擬了自由粒子的布朗運動，模擬得到的擴散系數(shù)和玻爾茲曼常數(shù)與理論預(yù)測符合良好，模擬得到的擴散系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與所模擬的粒子個數(shù)的平方成反比。綜上，計算機模擬方法可與實驗相結(jié)合，通過測量擴散系數(shù)或者進一步測量玻爾茲曼常數(shù)，為理解布朗運動的物理本質(zhì)提供一種簡潔輔助的手段。

［1］ Einstein，A.Investigations on the theory of the Brownian movement［M］.NY：Dover.1956.

［2］ Stachel J.愛因斯坦奇跡年［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

［3］ 冉詩勇.利用光學(xué)顯微鏡測量布朗運動［J］.實驗室研究與探索，2009，72（4）：56-59.

［4］ Nakroshis P，Amoroso M，Legere J.Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion.American Journal of Physics［J］.2003，71（6）：568-573.

［5］ Uhlenbeck G E，Ornstein L S.On the theory of the Brownian motion［J］.Phys.Rev.1930（36）：823–841.

［6］ Feyman R P，Leighton R B，Sands M.費曼物理學(xué)講義：1卷［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2006.

［7］ 王誠泰.統(tǒng)計物理學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1991.

Simulation of Brownian Motion Experiment Using Matlab

RAN Shi-yong

（Wenzhou University，Zhejiang Wenzhou 325035）

Brownian motion experiment was simulated using Matlab.The step lengths for a Brownian particle movements were generated by a random function，which generated arrays of random numbers whose elements are normally distributed.From the mean squared displacement of the simulated particles versus time curves，the diffusion constant and Boltzmann constant were obtained，assuming that the drag force on an individual particle was well defined by the stokes’law.The simulation measurements agreed well with theoretical prediction.According to the results，we also analyzed how to decrease experimental error.

Brownian motion；computer simulation；diffusion coefficient

O552.1

A

1007-2934（2011）06-0067-04

2011-06-25