一種基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數(shù)反演方法

袁 煥，王宇超，石蘭亭，胡自多，袁 剛

（中國石油勘探開發(fā)研究院西北分院）

0 引言

AVO反演技術(shù)能夠提供高精度的有關(guān)儲集層物性、孔隙流體及裂縫分布等方面的特征參數(shù)，甚至可用其直接檢測油氣，在勘探和開發(fā)中占據(jù)著越來越重要的位置［1-3］。

AVO反演經(jīng)常采用雙參數(shù)方程估計(jì)參數(shù)，算法雖穩(wěn)定，但是參數(shù)估計(jì)會產(chǎn)生較大誤差，并缺失了密度信息［4］。而密度信息可提供多種巖性、物性信息，具有極其重要的意義。AVO三參數(shù)反演能夠提供密度信息，但該方法容易受噪音和采集過程中不確定因素的影響［5］，反演不穩(wěn)定。為了提高AVO三參數(shù)反演的穩(wěn)定性，需要在反演過程中進(jìn)行合理的約束［6］，其中將先驗(yàn)信息納入反演過程的方法取得了很好的效果［5-14］。

然而，隨著油氣勘探開發(fā)的不斷深入，易勘探、成套的大型油氣藏已越來越少，這就迫切要求高分辨率地震勘探開發(fā)技術(shù)必須要獲得層間某些能體現(xiàn)隱蔽性油氣藏屬性的弱反射體信息［15］。Alemie等［12］提出的高分辨率Cauchy分布具有較高的分辨率，但是噪音較大時(shí)收斂速度較慢。筆者基于貝葉斯理論，將同一時(shí)間采樣點(diǎn)的三參數(shù)互相關(guān)，并對縱、橫波反射率和密度反射率序列采用修正Cauchy正則化約束項(xiàng)，提出了一種高分辨率AVO三參數(shù)波形反演方法，采用迭代算法求解，快速得到了較可靠的反演結(jié)果。

1 正演模型的建立

AVO技術(shù)的理論基礎(chǔ)是Zoeppritz方程及其近似公式。筆者采用Aki&Richards近似公式進(jìn)行正演模擬，其方程為式中：R（）為與角度有關(guān)的反射系數(shù)；為橫波速度和縱波速度的比值；rp為縱波反射率；rs為橫波反射率；rd為密度反射率；為分界面的入射角和透射角的平均值，rad。

將子波引入式（1），并將問題擴(kuò)展到m個(gè)入射角道集、n個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)，則可以得到多個(gè)入射角道集、多個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)的褶積模型，簡記如下：

式中：G為包含子波矩陣和入射角的線性化算子；m為參數(shù)向量；d為觀測數(shù)據(jù)；n為噪音或者誤差。式（2）即正演模擬函數(shù)。

2 反演目標(biāo)函數(shù)的建立

對于參數(shù)正則化約束項(xiàng)的選擇，比較常用的有P 范數(shù)分布、Huber分布、Sech 分布、Cauchy 分布［15］，如表1所示。通過比較發(fā)現(xiàn)，修正Cauchy分布不僅能夠獲得大幅值、體現(xiàn)主要層位信息的強(qiáng)反射體信息，同時(shí)還能夠較好地保護(hù)隱蔽型油氣藏的弱反射信息［11］。筆者基于貝葉斯理論，對反射率序列采用修正Cauchy正則化約束項(xiàng)，并將表示三參數(shù)關(guān)系的協(xié)方差矩陣納入先驗(yàn)約束項(xiàng)，提出了一種改進(jìn)的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數(shù)波形反演方法。噪音一般具白噪特征，可假設(shè)其服從零均值的高斯分布，模型參數(shù)服從某種先驗(yàn)分布，后驗(yàn)概率密度分布函數(shù)極值的最大值等同于求下式的最小解［12］

表1 幾種常用的正則化約束項(xiàng)Table1 Some common typesof constraint criterion

對參數(shù)采用修正Cauchy約束準(zhǔn)則，然后對修正Cauchy約束進(jìn)行改進(jìn)，以進(jìn)一步提高反演結(jié)果的分辨率，可得

其中

式中：Di是 3×（3n）的矩陣；若 Ci非奇異，則其為第 i個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)處三參數(shù)協(xié)方差矩陣，若Ci奇異，則其為單位矩陣。式（4）即為筆者提出的改進(jìn)的修正Cauchy約束項(xiàng)。 當(dāng)時(shí)，即為高分辨率 Cauchy 分布［12］。

圖1為表1中各約束項(xiàng)準(zhǔn)則及筆者提出的方法對反射體的敏感性比較。從圖中可以看：①這些準(zhǔn)則對反射體普遍敏感，不同程度地突出了反射體信息，其中筆者提出的方法對弱反射體敏感性更強(qiáng)；②當(dāng)m值繼續(xù)增大時(shí)，保證了增長的收斂性。

圖1 幾種約束準(zhǔn)則比較（考慮到對稱性，圖中僅畫出了正半剖面）Fig.1 Com parison of typesof constraint criterion

對于弱反射體信息（圖2），從各稀疏準(zhǔn)則對弱反射體的響應(yīng)結(jié)果可以看出，各稀疏準(zhǔn)則對其均有不同程度的壓制，但筆者提出的方法響應(yīng)最強(qiáng)，對弱反射體的敏感性最好，較好地保護(hù)了弱反射體信息。

圖2 圖1中弱反射體局部放大圖Fig.2 Localamp lification response for weak reflection body

其中

若噪音互不相關(guān)，那么噪音協(xié)方差矩陣是對角矩陣，式（7）可簡化為

3 模型測試

模型參數(shù)如圖3紅色實(shí)線所示，選用Ricker子波進(jìn)行正演模擬。給出相同的初始模型，最大迭代次數(shù)設(shè)為30，反演參數(shù)向量與模型參數(shù)向量的均方根誤差極小值所對應(yīng)的迭代次數(shù)如表2所示。由表2可以看出，誤差最小時(shí)筆者提出的方法迭代次數(shù)最少，收斂速度最快。在不同信噪比情況下，模型參數(shù)與反演結(jié)果之間的均方根誤差值如圖4所示。由圖4可知，筆者提出的方法受噪音的影響最小，誤差也最小，分辨率更高。對比筆者提出的改進(jìn)的修正Cauchy分布和高分辨率Cauchy分布2種不同的約束方法，信噪比為10時(shí)，反演結(jié)果如圖3所示，可見：①筆者提出的方法和高分辨率Cauchy分布約束方法都能較準(zhǔn)確地反演出模型信息，特別是大的反射體信息；②筆者提出的方法相比于高分辨率Cauchy分布約束方法，對弱反射體敏感性更強(qiáng)，更有效地保護(hù)并恢復(fù)了弱反射體信息，其反演結(jié)果的分辨率更高。

表2 3種約束方法反演最小誤差對應(yīng)信噪比-迭代次數(shù)表Table2 Iterations responding tom inimum error at different signal to noise ratios

4 結(jié)論

筆者從貝葉斯反演理論出發(fā)，提出了一種改進(jìn)的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三參數(shù)波形反演方法。從數(shù)值模擬的結(jié)果看，該方法能較好地恢復(fù)弱反射體信息，更快速地得到高分辨率的反演結(jié)果。

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