基于無源性的帶液體晃動月球著陸器的姿態(tài)控制

杜 輝

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

基于無源性的帶液體晃動月球著陸器的姿態(tài)控制

杜 輝

1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190)

針對帶液體晃動的月球著陸器提出了一種基于無源性的姿態(tài)控制方法.分析了由拉格朗日力學建立數(shù)學模型的帶液體晃動的月球著陸器系統(tǒng)的特性，并證明了該系統(tǒng)的無源性.無源性保證了系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，提出的Lyapunov函數(shù)保證了系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性.根據(jù)系統(tǒng)的無源性和提出的Lyapunov函數(shù)推導出基于無源性的控制方法.仿真結(jié)果表明，該方法能很好地達到控制效果.

無源性；姿態(tài)控制；液體晃動；月球著陸器

近年來液體燃料占航天器總重量的比值相應加大，對航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.目前，抑制晃動干擾的控制方法主要有：自適應極點配置控制［1］、退步控制［2］、滑模控制［3］以及其他控制方法［4-5］等.

上述姿態(tài)控制方法都是假設(shè)液體晃動等效單擺的角度和角速度是可以測量得到的.但實際上液體晃動等效單擺的角度和角速度很難測量得到，即使在貯箱內(nèi)增加敏感器，測量得到的結(jié)果誤差也較大，因此有必要發(fā)展其他的控制方法.

針對加速度條件下帶有液體晃動的月球著陸器，本文應用基于無源性的控制理論提出了一種基于無源性的姿態(tài)控制方法，在將月球著陸器控制到目標狀態(tài)的同時抑制液體燃料的晃動，仿真實例驗證了該方法的有效性.

1 帶液體晃動的月球著陸器的數(shù)學模型

帶液體晃動的月球著陸器的姿態(tài)控制對著陸器變軌對接以及姿態(tài)跟蹤目標的達成非常重要.本文研究的是垂直下降階段有加速度的條件下，在某固定平面內(nèi)運動的帶液體晃動的月球著陸器動力學與姿態(tài)控制.

垂直下降段作為制動段到著陸段之間的過渡，起著承上啟下的作用，既要能適應制動段終端條件，又要滿足著陸段初始時刻懸停的要求，其特點是接近垂直下降，歷時短，速度低，需要將月球著陸器的速度減至目標速度，并將著陸器調(diào)整至垂直月面下降，為后續(xù)著陸作鋪墊.帶液體晃動的月球著陸器示意圖如圖1所示.

圖1 帶液體晃動的月球著陸器示意圖

圖1中，建立帶液體晃動的月球著陸器軌道坐標系o1xoyozo和本體坐標系o1xbybzb.帶液體晃動的月球著陸器可抽象成以下模型：月球著陸器質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動慣量為I；晃動液體的質(zhì)量為mf，轉(zhuǎn)動慣量為If，晃動等效單擺的擺長為a，擺臂懸掛點與著陸器質(zhì)心之間的距離為 b；推力 T為沿本體坐標系xb軸的合力(發(fā)動機產(chǎn)生的推力與重力的合力)，由于發(fā)動機產(chǎn)生的推力不是恒值推力，因此推力T為變值推力；液體不晃時，T的方向過月球著陸器質(zhì)心；力矩 M為姿態(tài)控制輸入；vx、vz分別為月球著陸器沿xb軸和zb軸的速度；θ為月球著陸器繞yo軸轉(zhuǎn)過的角度；φ為液體晃動等效單擺相對月球著陸器zb軸偏轉(zhuǎn)的角度；ε為晃動的能量耗散系數(shù).用T和M分別表示推力矢量T和力矩矢量M的大小.

本文在姿態(tài)控制研究時，對執(zhí)行機構(gòu)不作考慮，認為所計算出的理論值即為著陸器敏感器測量所得到的實際值，不考慮敏感器測量的誤差和測量過程中的噪聲.

基于上述假設(shè)條件，由文獻［2］可知利用拉格朗日力學建立的帶液體晃動的月球著陸器動力學方程為

月球著陸器的姿態(tài)控制目標是：設(shè)計合理的T、F和M使得月球著陸器控制到目標狀態(tài)的同時抑制液體燃料的晃動.

2 無源性的定義

耗散性系統(tǒng)理論在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中起著重要作用.其本質(zhì)含義是存在一個非負的能量函數(shù)(即存儲函數(shù))，使得系統(tǒng)的能量損耗總小于能量的供給率.而無源性則是耗散性的一個重要特例，它將輸入輸出的乘積作為能量的供給率，體現(xiàn)了系統(tǒng)在有界輸入條件下能量的衰減特性，即給系統(tǒng)輸入一定的能量，系統(tǒng)會產(chǎn)生一定的輸出能量，表征了系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定［6］.

基于狀態(tài)空間的無源性的概念，對于非線性系統(tǒng)

其中，X是n維的狀態(tài)變量向量，U為p維的系統(tǒng)輸入向量，Y為 q維的系統(tǒng)輸出向量，f(X，U)，h(X，U)為關(guān)于(X，U)的函數(shù).

定義 1［6］.設(shè)函數(shù) ω(X，Y)：Rp×Rq→ R，稱非線性系統(tǒng)(5)關(guān)于ω(X，Y)是耗散的，如果存在非負 C1存儲函數(shù) E(X)：Rn→ R+，滿足

對于任意的初始值X(0)=X0和時間t成立.此時稱函數(shù)ω(X，Y)為供給率，非負函數(shù)E(X)為存儲函數(shù)，式(6)稱為耗散不等式.稱狀態(tài)空間描述式(5)關(guān)于ω(U，Y)是耗散的.

當p=q時，系統(tǒng)(5)為方形，選擇一個很重要的供給率ω(U，Y)=UTY，則有

即得無源性定義.

3 月球著陸器系統(tǒng)動態(tài)與特性

分別定義Q、˙Q和¨Q如下：

根據(jù)文獻［7］的系統(tǒng)變換方法，將系統(tǒng)(1)～(4)改寫成下列形式：

上式中各符號的表達式分別為

對由式(8)描述的帶液體晃動的月球著陸器可證得：矩陣D(Q)是正定對稱矩陣.進一步，可證明該系統(tǒng)為無源系統(tǒng).

定理1.系統(tǒng)(8)為無源系統(tǒng).

證明.取該系統(tǒng)的總能量函數(shù)為

對時間的導數(shù)為

可推導出

于是有

4 基于無源性的姿態(tài)控制器的設(shè)計

本文利用文獻［8］的方法，針對帶液體晃動的月球著陸器設(shè)計了基于無源性的姿態(tài)控制器.

方程組(1)～(4)定義了非線性系統(tǒng)的控制輸入為(T，F(xiàn)，M)，狀態(tài)變量為.控制輸入(T，F(xiàn)，M)=(0，0，0)時，系統(tǒng)相應的平衡點為不失為一般性，設(shè)=0，θeq=0，系統(tǒng)的平衡點為=［0，0，0，0，0，0］.

下面利用無源性進行姿態(tài)控制器的設(shè)計.

取無源性能量存儲函數(shù)為

對其求導可得：

取系統(tǒng)總的能量函數(shù)為

其中，k4＞0，則對時間的導數(shù)為

令姿態(tài)控制律為

將式(18)代入到式(17)中，可求得

其中，k1＞0，k2＞0，k3＞0，k4＞0.

定理2.對于系統(tǒng)(1)～(4)，采用式(18)所示的控制器，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

證明.當系統(tǒng)(1)～(4)的控制器采用式(18)所示的控制律時，按式(16)取系統(tǒng)的能量函數(shù)，當k1＞0，k2＞0，k3＞0，k4＞0時，˙V(q，˙q)≤0，即˙V(q，˙q)為半負定，V(q，˙q)為非增函數(shù).

可看出在控制律中沒有不能測量得到的液體晃動的角度和角速度，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

5 仿真實例

在仿真中，參數(shù)取值如下：

m=600kg，I=720kg·m2，mf=100kg，

a=0.32m，b=0.25m，T=500N，

If=10kg·m2，ε=0.39kg·m2·s-1.

初始值為

θ0=2°，=0.57(°)/s，vx0=25m/s，

vz0=1.02m/s，φ0=10°，=0(°)/s

仿真曲線如圖(2)～(5)所示.

圖2 vx，vz狀態(tài)量的變化曲線

圖3 θ，狀態(tài)量的變化曲線

圖4 φ狀態(tài)量的變化曲線

圖5 T，F(xiàn)，M控制量的變化曲線

從圖(2)～(6)的仿真結(jié)果曲線可以看出，采用本文提出的控制器，系統(tǒng)能夠到達平衡點，同時控制器輸出很平滑，沒有抖動.從圖(5)中可以看出，液體晃動在十幾秒后，晃動幅度已經(jīng)很小，月球著陸器的姿態(tài)角和角速度以及zb軸方向的速度都能很快控制到系統(tǒng)的平衡點，達到了將月球著陸器姿態(tài)控制到平衡點同時抑制液體晃動的目的.仿真結(jié)果表明了該方法的有效性.

6 結(jié) 論

針對帶液體晃動的月球著陸器，本文建立了系統(tǒng)的數(shù)學模型.針對液體晃動與月球著陸器姿態(tài)耦合及無源性等特點，設(shè)計了一種基于無源性的姿態(tài)控制器，按照這種方法設(shè)計的姿態(tài)控制器可以保證系統(tǒng)最終達到目標平衡點.文中給出的仿真實例說明了該方法的可行性與有效性.

［1］Shageer H，Tao G.Modeling and adaptive control of spacecraft with fuel slosh：overview and case studies［C］.AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference， Hiton Head， South Carolina， August 20-23，2007

［2］Reyhanoglu M， Cho S， McClam roch N H.Feedback control of a space vehicle with unactuated fuel slosh dynamics［C］.AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit， Denver， CO， August 14-17，2000

［3］Kurode S，Bandyopadhyay B，Gandhi P S.Slidingmode control for slosh-free motion of a container using partial feedback linearization［C］.IEEE the 10thInternational Workshop on Variable Structure Systems， Antalya， Turkey， June 8-10， 2008

［4］Yano K，Terashima K.Robust liquid container transfer control for complete sloshing suppression ［J］.IEEETransaction on Control Systems Technology， 2002， 10(4)：465-472

［5］Yano K，Terashima K.Sloshing suppression control of liquid transfer systems considering a 3-D transfer path［J］.IEEE/ASME Transactions on Mechanics， 2005，10(1)：8-16

［6］Byrnes C I，Isidori A，Willems JC.Passivity， feedback equivalence，and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control， 1991， 36(11)： 1228-1240

［7］Reyhanoglu M，Schaft A，McClamroch N H，et al.Dynam ics and control of a class of underactuated mechanical systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control， 1999， 44(9)： 1663-1671

［8］劉殿通，易建強，趙冬斌，等.一類欠驅(qū)動機械系統(tǒng)基于無源的控制［C］.中科院自動化研究所自動化與信息技術(shù)發(fā)展戰(zhàn)略研討會暨2003年學術(shù)年會，北京，2003

Passivity Based Attitude Control for Lunar Lander w ith Fuel Sloshing

DU Hui1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China； 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

A passivity based attitude control method is proposed for lunar lander with fuel sloshing.The properties of lunar lander with fuel sloshing system modeled by Lagrangemechanics are analyzed，and its passivity is proved.The passivity guarantees the input-output stability and the proposed Lyapunov function guarantees the inner system stability.The controlmethod is derived based on the passivity and the Lyapunov function.Simulation results are given to illustrate the validity.

passivity； attitude control； fuel sloshing；lunar lander

V448

A

1674-1579(2011)01-0050-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.01.011

2010-09-15

杜 輝(1982—)，女，山東人，助理工程師，研究方向為航天器姿態(tài)控制 (e-mail：qing-ying8268@163.com).