天文大氣折射的級(jí)數(shù)展開(kāi)式＊

張捍衛(wèi) 丁安民 雷偉偉

(河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,焦作 454003)

由于ξ2的量級(jí)是 10-2,ξ4的量級(jí)是 10-4。因此有：

天文大氣折射的級(jí)數(shù)展開(kāi)式＊

張捍衛(wèi) 丁安民 雷偉偉

(河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,焦作 454003)

對(duì)天文大氣折射的級(jí)數(shù)展開(kāi)理論進(jìn)行了研究,給出了新的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。新的級(jí)數(shù)展開(kāi)式能夠展開(kāi)到任意階次項(xiàng),并且達(dá)到了亞毫角秒的理論精度;另外,把地面附近的位相折射指數(shù)作為未知數(shù)單獨(dú)提出來(lái),適應(yīng)了光學(xué)技術(shù)在不同觀測(cè)波長(zhǎng)情況下的處理,并給出了以視天頂距正切為引數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。這一成果將可完全取代普爾科沃大氣折射表公式,也可以利用該方法進(jìn)行射線跟蹤的理論研究。

天文大氣折射;級(jí)數(shù)展開(kāi)式;大氣折射指數(shù);亞毫角秒精度;普爾科沃大氣折射表公式

1 引言

早在公元 1世紀(jì),人們就已認(rèn)識(shí)到大氣折射現(xiàn)象。但直到公元 17世紀(jì),才逐漸創(chuàng)立了大氣折射理論。之后,很多著名學(xué)者,例如歐拉、拉格朗日和拉普拉斯等都研究過(guò)大氣折射。俄羅斯普爾科沃天文臺(tái)一直從事天文大氣折射表的編制工作,其理論依據(jù)是基里金在 1866—1873年期間的研究工作。1870年,普爾科沃天文臺(tái)編制的大氣折射表問(wèn)世,幾乎替代了當(dāng)時(shí)的所有折射表。以后幾經(jīng)改進(jìn),被譽(yù)為當(dāng)時(shí)最精確的大氣折射表并得到廣泛采用[1]。20世紀(jì) 40年代以后,發(fā)展起來(lái)的其他大氣折射理論也起了很重要的作用[2-4]。文獻(xiàn)[5,6]把 1天文大氣折射的被積函數(shù)以視天頂距為引數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi),在確定大氣分布模型基礎(chǔ)上進(jìn)行積分,給出了一個(gè)新的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,并在其后得到了廣泛應(yīng)用。相對(duì)目前觀測(cè)技術(shù)水平來(lái)說(shuō),該工作存在如下問(wèn)題：級(jí)數(shù)展開(kāi)只取到有限的幾階,且其系數(shù)只保留到角秒量級(jí);地面附近的位相折射指數(shù)作為特定波段的數(shù)值被包含于級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)中,不利于不同波段的處理;在級(jí)數(shù)展開(kāi)的過(guò)程中,視天頂距沒(méi)有以顯函數(shù)的形式給出。目前,大氣折射研究已考慮到大氣模型與其折射指數(shù)理論公式的不對(duì)應(yīng)性[7],以及能夠與測(cè)站周圍地理環(huán)境相適應(yīng)的實(shí)際大氣模型的分布,例如文獻(xiàn)[8]給出了直接測(cè)定瞬時(shí)天文大氣折射值的一種有效方法,并建立了適應(yīng)于云南天文臺(tái)本地的、隨方位和光譜型而異的天文大氣折射模型。

本文將在文獻(xiàn)[5,6]的理論基礎(chǔ)上,對(duì)天文大氣折射級(jí)的數(shù)展開(kāi)理論進(jìn)行重新研究。

2 天文大氣折射的級(jí)數(shù)展開(kāi)式

無(wú)窮遠(yuǎn)平面電磁波到達(dá)地面測(cè)站時(shí),其真天頂距ξ與視天頂距ξ0的關(guān)系為[5,9]：

式中,Δz稱為天文大氣折射 (或蒙氣差),在球?qū)ΨQ大氣模型假設(shè)下,其基本微分方程是[5,9]：

式中,n、ξ和 r分別是傳播路徑上某點(diǎn)的大氣位相折射指數(shù)、視天頂距 (平面電磁波傳播方向與該點(diǎn)地心向經(jīng)的夾角)和地心距;n0和 r0分別是測(cè)站點(diǎn)的大氣位相折射指數(shù)和地心距。令

根據(jù)式(3)可得

假設(shè)取中性大氣層頂?shù)母叨葹?72 km左右,此處的位相折射指數(shù)約為 (n-1)≈6.0×10-9。如果只考慮中性大氣層對(duì)蒙氣差的影響,有

因此,如果要使得

那么就必須要求視天定距滿足ξ0≤81.5°。在此要求下對(duì)式(5)進(jìn)行展開(kāi),即

其中約定

(2k-1)!! =1·3·5…(2k-1);且(-1)!! =1

(2k)!! =2·4·6…(2k);且 (0)!! =1如果定義數(shù)組

那么根據(jù)式(2)、(6)和(7)可得

如果能夠得到數(shù)組 E(k)的具體數(shù)值,那么式 (8)就是天文大氣折射的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

2 亞毫角秒理論精度的級(jí)數(shù)展開(kāi)

假設(shè) tanξ0的量級(jí)大小是 10,則根據(jù)式 (8)可見(jiàn),如果要使得每一項(xiàng)都能保留到亞毫角秒量級(jí)的大小,那么 E(k)的數(shù)值必須取到 10-2k-10。假設(shè)(n0-1)的量級(jí)是 10-4,那么根據(jù)式 (7)可知,y(1-y2)k的數(shù)值必須取到 10-2k-6。令

由于ξ2的量級(jí)是 10-2,ξ4的量級(jí)是 10-4。因此有：

則

或者

利用二項(xiàng)式展開(kāi)

可見(jiàn),取 j=0、1、2、3的情況下,就能使得 (1-y2)k保留到 10-2k-6的量級(jí)。因此,利用以上相關(guān)公式在此量級(jí)上有

在文獻(xiàn)[1,2]中,當(dāng) k≤2時(shí),上式右端大括號(hào)中只有帶下劃線的項(xiàng);當(dāng) k＞2時(shí),只考慮到了第一個(gè)下劃線的項(xiàng),而沒(méi)有其他項(xiàng),且只是考慮到了 k=4的項(xiàng)。

為方便編程計(jì)算,定義數(shù)組：

這里 J和L屬于自然數(shù)集。把式 (13)代入式 (7),并利用式(14)可得

為便于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算,同時(shí)使得對(duì)式 (13)的積分與式(14)數(shù)組的定義相符合,約定

在沒(méi)有具體約定數(shù)組的數(shù)值時(shí),其數(shù)值由式 (14)的定義求出?？梢?jiàn),如能確定 A(J,L),那么可由式(15)計(jì)算 E(k),然后再代入到式 (8)就得到了亞毫角秒理論精度的天文大氣折射級(jí)數(shù)表達(dá)式。

3 基于位勢(shì)地心距的級(jí)數(shù)展開(kāi)

在大氣物理學(xué)和海洋物理學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中,常采用位勢(shì)高度而不用幾何高度表示大氣的高度和海洋的深度。一般情況下,位勢(shì)高度 (z-r0)和幾何高度 (r-r0)的關(guān)系是[10]：

這里,g(r0,φ)是測(cè)站處的重力加速度,g0為常數(shù)。本文假設(shè) g0=g(r0,φ),那么就有

對(duì)于大氣折射理論研究,采用位勢(shì)高度的優(yōu)點(diǎn)在于可以不考慮壓高公式中的重力加速度隨高度和緯度的變化,只需知道測(cè)站重力加速度即可。以式(17)代替式(10)的第一式,按照上節(jié)推導(dǎo)過(guò)程可得基于位勢(shì)地心距的數(shù)組(k)的表達(dá)式：

其中,數(shù)組A(J,L)仍按式(14)和(16)計(jì)算,但要以代替式 (9)第一式的ξ2。最后,以(k)代替式(8)的 E(k),就得到基于位勢(shì)地心距的天文大氣折射級(jí)數(shù)表達(dá)式。

4 結(jié)論與討論

文獻(xiàn)[1,2]給出的級(jí)數(shù)展開(kāi)式只保留到角秒量級(jí),但即使如此,也忽略了式 (13)中的第一中括號(hào)中的第一項(xiàng)。本文使得級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以取到任意階次項(xiàng),而文獻(xiàn)[1,2]理論只是展開(kāi)到了視天頂距正切的 9次方項(xiàng)。在文獻(xiàn)[1,2]最終給出的公式中,并沒(méi)有采用以視天頂距正切為引數(shù)形式的表達(dá)式,這在實(shí)際應(yīng)用中很不方便,而本文最終給出的結(jié)果是以視天頂距正切為引數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式。同時(shí)把地面附近的位相折射指數(shù)作為未知數(shù)單獨(dú)提出來(lái),適應(yīng)了光學(xué)觀測(cè)技術(shù)在不同觀測(cè)波長(zhǎng)情況下的處理。

本文不但給出了基于幾何地心距的蒙氣差級(jí)數(shù)展開(kāi)式,同時(shí)也給出了基于位勢(shì)地心距的蒙氣差級(jí)數(shù)展開(kāi)式。計(jì)算數(shù)組 E(k)或A(J,L),需要一定的大氣分布模型,隨著大氣探測(cè)資料和數(shù)值天氣預(yù)報(bào)模型的完善,以及 GPS氣象學(xué)的發(fā)展[11,12],可得到滿足精度要求的大氣分布模型。

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9 冒蔚,鐵瓊仙,楊磊.天文大氣折射[M].昆明：云南科技出版社,2004.[Mao Wei,Tie Qiongxian and Yang Lei. Astronomical atmospheric refraction[M].Kunming：Yunnan Science and Technology Press,2004)

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12 虞南華,朱文耀.GPS大氣掩星技術(shù)在全球氣候變化研究中的應(yīng)用[J].地球物理學(xué)進(jìn)展,2008,23(3)：722-730.(Yu Nanhua and ZhuWenyao.Application of GPS radio occultation data in global climate change study[J].Progress in Geophysics,2008,23(3)：722-730)

SERIES EXPANSI ON OF ASTRONOM ICAL ATMOSPHERIC REFRACTI ON

Zhang Hanwei,DingAnmin and LeiWei wei
(School of Surveyingamp;Land Infor m ation Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454003)

The correction ofAstronomicalAtmospheric Refraction(AAR)is one of the i mportant topics in astronomy and geodesy.On the basis of the literature 1 and 2,series expansion theory of AAR was restudied,a new series expansion was provided. The new expansion can expanded to the arbitrary order and times items,and reached the sub-milli-arc-second theoretical accuracy.In addition,the phase atmospheric refractive index near the ground had been extracted from the expansion,as a single unknown parameter,so,new expansion can be adapted to different observation wavelengths processing of optical technology.Finally,the new series expansion making tangent of visual zenith distance as a argument is given.Thiswork will completely replace the formula in AAR table of Pulkovo Observatory.Thismethod can also be applied to the theory of ray tracing.

AstronomicalAtmospheric Refraction(AAR);series expansion;at mospheric refractive index;sub-milliarc-second accuracy;formula for refraction table of Pulkova

1671-5942(2011)04-0060-04

2011-04-23

國(guó)家自然科學(xué)基金 (41040035);河南省科技創(chuàng)新人才杰出青年科學(xué)基金 (094100510023);河南省基礎(chǔ)與前沿研究項(xiàng)目(082300460140)

張捍衛(wèi),男,1967年生,教授,博士后,博士生導(dǎo)師,主要從事空間大地測(cè)量學(xué)教學(xué)和研究工作.E-mail：zhanwei800@163.com

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A