一類擬三次系統(tǒng)的中心條件與極限環(huán)分支

潘雪軍,郭遠麗

(1.同濟大學(xué)浙江學(xué)院，浙江 嘉興 314051；2.浙江海寧高級中學(xué)，浙江 海寧 314400)

一類擬三次系統(tǒng)的中心條件與極限環(huán)分支

潘雪軍1,郭遠麗2

(1.同濟大學(xué)浙江學(xué)院，浙江 嘉興 314051；2.浙江海寧高級中學(xué)，浙江 海寧 314400)

研究了一類擬三次系統(tǒng)的奇點量、中心焦點判定與極限環(huán)分支問題,首先通過適當?shù)淖儞Q將系統(tǒng)的原點(無窮遠點)轉(zhuǎn)化為原點,得到了系統(tǒng)原點的前21個奇點量,從而導(dǎo)出原點為中心和最高階細焦點(細奇點)的條件,并分別給出了原點和無窮遠點分支出4個極限環(huán)的實例.

擬三次系統(tǒng);奇點量;中心條件;極限環(huán)分支

0 引 言

焦點量的計算對導(dǎo)出多項式微分系統(tǒng)中心條件、穩(wěn)定性及研究由細焦點擾動產(chǎn)生極限環(huán)的問題具有重要意義.對原點為初等奇點系統(tǒng)的焦點量計算與極限環(huán)分支問題已有豐富的結(jié)果,一些數(shù)學(xué)工作者開始了無窮遠點(赤道環(huán))焦點量的計算及極限環(huán)分支問題的研究.

計算焦點量所用的方法是經(jīng)典的形式級數(shù)法與后繼函數(shù)法,但這些方法就目前的計算條件很難適用于復(fù)雜系統(tǒng).文[1]和文[2]的作者分別指出初等奇點、高次奇點、無窮遠點的奇點量的概念及計算方法,把焦點量和鞍點量的計算統(tǒng)一為奇點量的計算.并且對一些系統(tǒng)可以導(dǎo)出遞推公式來計算奇點量,從而給出了一類計算多項式微分系統(tǒng)焦點量、鞍點量的新方法.但對于系統(tǒng)

(1)

相對應(yīng)的擬解析系統(tǒng)

(2)

的中心條件與極限環(huán)分支研究結(jié)果非常罕見,文獻[3]對擬二次系統(tǒng)進行過研究并給出了4個極限環(huán)的實例.文獻[4]研究了一類擬三次的中心條件.筆者通過適當?shù)淖儞Q把非解析的系統(tǒng)化為解析的系統(tǒng)研究,并相應(yīng)地把原點或無窮遠點轉(zhuǎn)化為原點研究,同時考慮系統(tǒng)的中心條件,并分別給出了原點和無窮遠點分支出4個極限環(huán)的實例.

1 預(yù)備知識

研究下面一類擬3次解析系統(tǒng)

(3)

X2=-B02x2+2A02xy+B02y2,Y2=A02x2+2B02xy-A02y2,
X3=(-B21-B30)x3+(-A21-3A30)x2y+(-B21+3B30)xy2+(-A21+A30)y3,
Y3=(A21+A30)x3+(-B21-3B30)x2y+(A21-3A30)xy2+(-B21+B30)y3.

其中λ,δ,Akj,Bkj均為實數(shù),且λ≠0系統(tǒng)(3)δ=0經(jīng)過復(fù)系數(shù)線性變換

轉(zhuǎn)換成

(4)

z=u(uv)(λ-3)/6,w=v(uv)(λ-3)/6.

轉(zhuǎn)換成

(5)

由文獻[1]中的方法得到:?λ,系統(tǒng)5有6個基本Lie不變量

系統(tǒng)(3)δ=0的原點(λ>0)或無窮遠點(λ<0)的中心條件與極限環(huán)分支可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5)原點的中心條件與極限環(huán)分支.系統(tǒng)(2)通過極坐標變換

轉(zhuǎn)換成

(6)

其中

φk+1(θ)=cosθXk(cosθ,sinθ)+sinθYk(cosθ,sinθ),
ψk+1(θ)=cosθYk(cosθ,sinθ)-sinθXk(cosθ,sinθ).

2 系統(tǒng)的奇點量與中心條件

對于二維復(fù)微分自治系統(tǒng):

(7)

且c00=1,cαα=0,α=1,2,…對于α≠β,有

(8)

其中?α,β,當α<0或β<0時,aα,β=bα,β=cα,β=0.對任意的正整數(shù)m,μm是系統(tǒng)(7)的奇點量,且ν2m+1(2π)～iπμm,此處～是代數(shù)等價符號,其具體定義見[1].

由引理1,系統(tǒng)(3)δ=0原點或無窮遠點的焦點量可由系統(tǒng)(5)原點的奇點量導(dǎo)出,顯然,系統(tǒng)(3)δ=0的原點或無窮遠點是中心當且僅當系統(tǒng)(5)原點所有奇點量μm=0.

根據(jù)引理1,使用Matwmatics軟件包對于系統(tǒng)(5),奇點量公式的機器推導(dǎo),得

定理1如果系統(tǒng)(5)的右端系數(shù)互為獨立的復(fù)數(shù),則系統(tǒng)(5)原點前21個奇點量公式為

(9)

定理2如果系統(tǒng)(5)的右端系數(shù)互為獨立的復(fù)數(shù),則系統(tǒng)(5)原點前21個奇點量均為零,當且僅當下列條件之一成立:

條件I1:λ=0;

條件I3:a21=b21=0,λ=-5;

條件I4:a21=b21=a02=a30=0,λ=-1;

條件I5:a21=b21=b02=b30=0,λ=-1;

條件I6:a21=b21=a02=a30=0,λ=3;

條件I7:a21=b21=b02=b30=0,λ=3.

3 極限環(huán)分支

定理4當λ≠0,如果系統(tǒng)(5)的右端系數(shù)互為獨立的復(fù)數(shù),則系統(tǒng)(5)有18階細臨界奇點的充要條件是

定理5當λ≠0,如果系統(tǒng)(5)的右端系數(shù)互為獨立的復(fù)數(shù),則系統(tǒng)(5)有21階細臨界奇點的充要條件是

定理6當λ≠0系統(tǒng)(3)δ=0不可能是21階細臨界奇點.

g(h)=c0+c2h2+c8h8+c10h12+c12h12.

其中,c12=-(221513702/180075)有m個簡單的零點,則當0<|ε|?1,時,系統(tǒng)(5)在原點充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有m個小振幅的極限環(huán),其位置分別在圓x2+y2=(kε)2(k=1,2,3…m)附近.相應(yīng)地,系統(tǒng)(3)原點充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有m個極限環(huán)其位置分別在圓x2+y2=(kε)2(k=1,2,3…,m)附近.

證由文[4],ν1(2π)-1=e2πδλ,ν2m+1(2π)～3iπμ3m,由(9)得

(10)

由式(10)可證:

r(2π,εh)-εh=3πε13h[g(h)+ε2h2G(h,ε)]

(11)

其中,G(h,ε)在(0,0)點解析,由式(11)與隱函數(shù)存在定理即可得證.

從而當0<|ε|?1,時,系統(tǒng)(3)在原點充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有4個小振幅的極限環(huán),其位置分別在圓x2+y2=(kε)2(k=1,2,3,4)附近.

g(h)=c0+c2h2+c8h8+c10h12+c12h12

其中,c12=-(1960169/1678635)有m個簡單的零點,則當0<|ε|?1時,系統(tǒng)(5)在原點充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有m個小振幅的極限環(huán),其位置分別在圓x2+y2=(kε)2(k=1,2,3…,m)附近.相應(yīng)地,系統(tǒng)(3)在赤道環(huán)的充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有m個極限環(huán)其位置分別在圓(x2+y2)-1=(kε)2(k=1,2,3…,m)附近.

證由文[4],ν1(2π)-1=e2πδλ,ν2m+1(2π)～3iπμ3m,由(9)得

(12)

由式(12)可證:

r(2π,εh)-εh=3πε13h[g(h)+ε2h2G(h,ε)]

(13)

其中,G(h,ε)在(0,0)點解析,由式(13)與隱函數(shù)存在定理即可得證.

從而當0<|ε|?1,時,系統(tǒng)(3)在赤道環(huán)的充分小的領(lǐng)域內(nèi)且有4個小振幅的極限環(huán),其位置分別在圓(x2+y2)-1=(kε)2(k=1,2,3,4)附近.

[1] 劉一戎,李繼彬.論復(fù)自治微分系統(tǒng)的奇點量[J].中國科學(xué)：A輯,1989,32(3):245-255.

[2] 劉一戎.一類高次奇點與無窮遠點的中心焦點理論[J].中國科學(xué)：A輯,2001,31(1):37-48.

[3] 劉一戎.擬二次系統(tǒng)的廣義焦點量與極限環(huán)分支[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2002:45(4):671-682.

[4] 趙百利.一類擬三次系統(tǒng)的中心條件與極限環(huán)分支[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報,2007:17(3):622-627.

[5] Liu Yirong , Chen Haibo. Stability and bifurcation of limit cycle of the equator in a class of cubic polynomial system [J]. Commuters and Mathematics with applications,2002,44:997-1005.

CenterConditionsandBifurcationofLimitCyclesin
AClassofQuasi-CubicSystems

PAN Xue-jun1, GUO Yuan-li2

(1.Tongji University Zhejiang College, Jiaxing 314051, China; 2. Haining Senior High School Zhejiang Province, Haining 314400, China)

This paper investigated the singular quantity, center conditions and bifurcation of limit cycles in a class of quasi-cubic systems changed the origin of the system which is infinite point to be origin, obtained twenty-first singular points and deduced the conditions for origin to be a center and the fine focus of the highest order provided the examples of that four limit cycles branched from the origin and the infinite point respectively as well.

quasi-cubic systems; singular quantity; center condition; bifurcation of limit cycles

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.006

2010-08-29

潘雪軍(1983—),男,浙江溫嶺人,助教，主要從事微分方程定性理論研究.E-mail: pxj115@163

O175.12MSC2010O193

A

1674-232X(2011)02-0119-05