FCR-代數(shù)在Cleft擴(kuò)張下的不變性

張棉棉

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

FCR-代數(shù)在Cleft擴(kuò)張下的不變性

張棉棉

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

文章主要討論FCR-代數(shù)在半單Hopf代數(shù)Cleft擴(kuò)張下的不變性.文中首先給出Cleft擴(kuò)張和交叉積之間的聯(lián)系.然后證明了:當(dāng)H是有限維半單余半單Hopf代數(shù)時(shí),FCR-代數(shù)在H-Cleft擴(kuò)張下是不變的.

Cleft擴(kuò)張；交叉積；FCR-代數(shù)

0 引 言

FCR-代數(shù)是一類非常有趣的代數(shù).其概念的產(chǎn)生源自特征為0的半單李代數(shù)g的包絡(luò)代數(shù)U(g)廣為人知的性質(zhì)(見文獻(xiàn)[1]):

1) U(g)的每個(gè)有限維表示是完全可約的;

2) U(g)是residually有限維的,即U(g)的所有有限維表示的核的交為{0}.

1994年,Kraft和Small在文獻(xiàn)[2]中把滿足上述兩個(gè)性質(zhì)的代數(shù)定義為FCR-代數(shù).具體地,稱一個(gè)代數(shù)R為FCR-代數(shù),如果R的每個(gè)有限維數(shù)表示是完全可約的,且R是residually有限維的.

經(jīng)典的FCR-代數(shù)例子有:有限維半單代數(shù),半單李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)(特征為0的情況),量子包絡(luò)代數(shù)Uq(g)(q不是單位根),以及orthosymplectic李超代數(shù)osp(1,2r)的包絡(luò)代數(shù)U(osp(1,2r))[3].

文獻(xiàn)[2]的命題1證明了:如果R是一個(gè)域k上Noetherian的FCR-代數(shù),G是R的一個(gè)有限自同構(gòu)群,且k的特征與G的階數(shù)互素,那么不變子環(huán)A=RG也是一個(gè)FCR-代數(shù).

文獻(xiàn)[3]的命題2.2證明了:設(shè)S是R的正規(guī)擴(kuò)張,且S作為R-模是忠實(shí)平坦的.如果S是一個(gè)FCR-代數(shù),那么R是一個(gè)FCR-代數(shù).

文獻(xiàn)[4]的定理5.4證明了:設(shè)H是一個(gè)有限維半單Hopf代數(shù),R是一個(gè)H-模代數(shù).如果R是一個(gè)FCR-代數(shù),那么A=R#H是一個(gè)FCR-代數(shù).

在此主要考慮FCR-代數(shù)在半單Hopf代數(shù)Cleft擴(kuò)張下的不變性.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

文章假定k是域,涉及到的代數(shù)為k-代數(shù),如無特別指出,涉及到的模為左模.

設(shè)B是一個(gè)k-代數(shù),A是B的一個(gè)子代數(shù),H是一個(gè)Hopf代數(shù).則有如下定義:

1) 稱A?B為(右)H-擴(kuò)張,如果B是一個(gè)右H-余模，ρ是余模映射，BcoH={b∈B:ρ(b)=b?1}是B的子余模,則BcoH=A.

2) 稱一個(gè)H-擴(kuò)張A?B為H-Cleft,如果存在一個(gè)(卷積)可逆的右H-余模映射γ:H→B.

3) 稱一個(gè)H-擴(kuò)張A?B為右H-Galois,如果映射β:B?AB→B?kH是雙射,其中β(a?b)=(a?1)ρ(b).

4) 一個(gè)H-擴(kuò)張A?B被稱為存在(右)normal basis property,如果B?A?H作為左A-模和右H-余模.

Doi和Takeuchi在[5]對(duì)具有normal basis property的Galois擴(kuò)張進(jìn)行了刻劃，見如下定理.

定理1[5]設(shè)A?B是H-擴(kuò)張.下列條件是等價(jià)的:

1)A?B是H-Cleft.

2)A?B是H-Galois,存在normal basis property.

從上面這個(gè)結(jié)論,知道Cleft擴(kuò)張不但是Galois擴(kuò)張的一個(gè)特殊情況,而且推廣了群的Galois理論的經(jīng)典定理:如果F?E是域上的有限Galois擴(kuò)張,G是Galois群，則E/F存在normal basis.因此,Cleft擴(kuò)張?jiān)贖opf代數(shù)的Galois理論中顯得很重要.

假設(shè)H度量A,σ∈Hom(H?H,A)是一個(gè)卷積可逆映射.則A與H的交叉積A#σH是線性空間A?H配上乘法

(a#h)(b#k)=∑a(h1·b)σ(h2,k1)#h3k2

其中a,b∈A,h,k∈H.這里把a(bǔ)?h記作a#h.

定理2[5-6]交叉積A#σH是一個(gè)單位元為1#1的結(jié)合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足下面2個(gè)條件:

1)A是一個(gè)模作用為·的twistedH-模.即對(duì)任意的h,k∈H,a∈A,滿足

1·a=a,h·(k·a)=∑σ(h1,k1)(h2k2·a)σ-1(h3,k3),

2)σ是一個(gè)cocycle.即對(duì)任意的h,k,m∈H,滿足

σ(h,1)=σ(1,h)=ε(h)1,∑(h1·σ(k1,m1))σ(h2,k2m2)=∑σ(h1,k1)σ(h2k2,m).

對(duì)任意的a∈A,h∈H,顯然有(a#1)(1#h)=a#h.從而可以得到A?A#σ1和H?1#σH.因此A和H可以被看作是A#σH的子代數(shù).一般把(a#1)和(1#h)簡單記為a和h.于是有ah=a#h等.特別地,A#H是交叉積的特殊情形.

下面給出H-Cleft與交叉積之間的聯(lián)系.

定理3[4]H-擴(kuò)張A?B是一個(gè)H-Cleft,且存在一個(gè)右卷積可逆H-余模映射γ:H→B當(dāng)且僅當(dāng)B?A#σH是一個(gè)代數(shù),σ:H?H→A是一個(gè)卷積可逆映射,其中h·a=∑(h)γ(h′)aγ-1(h″)給出了A作為twistedH-模結(jié)構(gòu)的作用.

2 FCR-代數(shù)

引理1設(shè)H是一個(gè)有限維Hopf代數(shù),A是一個(gè)twistedH-模代數(shù),σ∈Hom(H?H,A)是一個(gè)cocyle,R=A#σH是一個(gè)交叉積代數(shù),則有:

1) 如果H是半單的,A的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的,那么R的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的.

2) 如果H是余半單的,R的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的,那么A的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的.

2) 可直接由1)和對(duì)偶定理([4],推論9.4.17)得到.具體地,根據(jù)對(duì)偶定理(A#σH)#H*?Mn(A),R=A#σH的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的,余半單Hopf代數(shù)H的對(duì)偶Hopf代數(shù)H*是半單的,以及Smash積是特殊的交叉積這些性質(zhì),直接由1)即可推出R#H*的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的.再利用對(duì)偶定理,可知A的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的.

引理2設(shè)H是一個(gè)有限維Hopf代數(shù),A是一個(gè)twistedH-模代數(shù),σ∈Hom(H?H,A)是一個(gè)cocyle,R=A#σH是交叉積代數(shù).則有R是residually有限維當(dāng)且僅當(dāng)A是residually有限維的.

證明因?yàn)樾再|(zhì)residually有限維是在子環(huán)意義下保持不變的,所以由R=A#σH是residually有限維的,直接得出A是residually有限維的.反之,A是residually有限維的,那么Mn(A)是residually有限維的,再根據(jù)對(duì)偶定理R#H*=(A#σH)#H*?Mn(A),得R是residually有限維的.

引理3設(shè)R是一個(gè)代數(shù),以下兩條是等價(jià)的:

1)A的每個(gè)有限維表示是完全可約的,

2)A的每個(gè)有限維同態(tài)像是半單的.

證明1)?2)設(shè)B=A/I是A的一個(gè)有限維同態(tài)像,V是任一有限生成左B-模,那么顯然V是A的有限維表示.于是V是完全可約的.因此,B是半單的.

2)?1)設(shè)V是A的一個(gè)有限維表示,那么V是有限維同態(tài)像A/annAV的一個(gè)表示,其中annA(V)={a∈A|aV={0}},所以V是完全可約的.

定理4設(shè)H是一個(gè)有限維半單余半單Hopf代數(shù),A是一個(gè)twistedH-模代數(shù),σ∈Hom(H?H,A)是一個(gè)cocyle,R=A#σH是交叉積代數(shù).則A是一個(gè)FCR-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)R=A#σH是一個(gè)FCR-代數(shù).

證明直接由引理1,引理2,引理3得到.

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InvariantPropertiesofFCR-AlgebrasunderCleftExtension

ZHANG Mian-mian

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

The paper discussed the invariant property of FCR-algebra under Cleft extension of a semisimple Hopf algebra provided the relations between the Cleft extension and the crossed product and proved that when the finite dimensional Hopf algebraHis semisimple and cosemisimple, FCR-algebra is invariant under theH-Cleft extension.

Cleft extension; crossed product; FCR-algebra

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.003

2010-07-19

數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目(11026207)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6100173)；杭州師范大學(xué)科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(HSKQ0015).

張棉棉(1980—),女,浙江慈溪人,講師,博士,主要從事代數(shù)研究.E-mail: zhmm1216@yahoo.com.cn

O153MSC201016G10

A

1674-232X(2011)02-0106-03