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    符號化與變元表示思想的應(yīng)用

    2011-11-21 01:42:15
    關(guān)鍵詞:思想數(shù)學(xué)

    (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

    符號化與變元表示思想的應(yīng)用

    ●周海軍

    (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

    數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決.中學(xué)數(shù)學(xué)中用到的各種解題方法都體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)思想,符號化與變元表示思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)的高度抽象性與廣泛應(yīng)用性,使符號化的語言與變元表示思想成為數(shù)學(xué)中十分重要的思想.

    符號化與變元表示思想是指將所研究的問題用數(shù)學(xué)符號與變元來加以表述,轉(zhuǎn)化為形式化的數(shù)學(xué)問題后,按照形式符號的規(guī)律、規(guī)則來進(jìn)行操作,直至問題的圓滿解決.

    在中學(xué)數(shù)學(xué)中,符號化與變元表示思想主要體現(xiàn)在函數(shù)與方程思想、換元方法、參數(shù)方法等內(nèi)容上.

    1 函數(shù)與方程思想

    函數(shù)思想主要是指用函數(shù)的概念與性質(zhì)去表述問題、分析問題和解決問題;方程思想主要是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或不等式或它們兩者的混和,然后通過解方程(組)或不等式(組)去解決問題.

    在很多時候,函數(shù)與方程是可以相互轉(zhuǎn)化的,譬如函數(shù)y=f(x)就可以看作關(guān)于x,y的二元方程f(x)-y=0.函數(shù)的研究離不開方程.

    例1已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖像以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖像與直線y=x的2個交點間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).

    (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;

    (2)證明:當(dāng)agt;3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有3個實數(shù)解.

    (1)解設(shè)f1(x)=mx2.由f1(1)=1,得m=1,因此

    f1(x)=x2.

    (2)證法1由f(x)=f(a),得

    ax2+a2x-8=0.

    由agt;3,Δ=a4+32agt;0,得

    因為

    x2lt;0,x3gt;0,x1=agt;0,

    所以

    x1≠x2,x2≠x3.

    若x1=x3,即

    a4=4a,

    解得

    這與agt;3矛盾,于是

    x1≠x3,

    故原方程f(x)=f(a)有3個實數(shù)解.

    說明第(2)小題是一個解方程的問題,需要對方程的根的大小進(jìn)行討論.而方程的解也可以轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)問題,于是有下面的這種圖像直觀的證法.

    圖1

    證法2由f(x)=f(a),得

    當(dāng)agt;3時,

    所以f3(x)的圖像在第一象限內(nèi)存在一點(2,f(2))在f2(x)圖像的上方.從而f2(x)與f3(x)的圖像在第一象限有2個交點,即f(x)=f(a)有2個正數(shù)解.故方程f(x)=f(a)有3個實數(shù)解.

    例2已知kgt;agt;bgt;cgt;0,求證:

    k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0.

    證法1令二次函數(shù)

    f(x)=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca.

    若alt;b+c,則當(dāng)agt;bgt;cgt;0時,

    Δ=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=

    a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=

    a(a-b-c)+b(b-a)+c(c-a)-2bclt;0,

    因此結(jié)論成立.

    f(k)≥f(a)=a2-(a+b+c)a+ab+bc+ca=

    bcgt;0,

    即結(jié)論得證 .

    證法2令g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),則

    k-agt;0,k-bgt;0,k-cgt;0,

    因此

    g(k)=k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)k-abcgt;0,

    k3-(a+b+c)k2+(ab+bc+ca)kgt;abcgt;0.

    由kgt;0,上式兩邊同除以k得

    k2-(a+b+c)k+ab+bc+cagt;0.

    說明這里采用構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式.2種解法給出了2種構(gòu)造函數(shù)的方法,但證法2更能體現(xiàn)問題的本質(zhì).

    2 換元法

    換元法是指通過把某個式子換成一個新字母表示,或把某個字母換為一個式子表示,借此將數(shù)學(xué)問題化繁為簡、化難為易、化未知為已知的一種操作方式.本質(zhì)上也是一種映射轉(zhuǎn)移,對原給定的對象進(jìn)行分解或?qū)嵤?fù)合,它的理論依據(jù)是等量代換.

    例3求方程組

    的所有實數(shù)解.

    同理變換式(1)中的另兩式,于是式(1)可化為

    5yz(x+y)(x+z)=12xz(y+x)(y+z)=

    13xy(z+x)(z+y).

    (3)

    作代換,令x(y+z)=a,y(z+x)=b,z(x+y)=c,可得

    a+b+c=2,

    (4)

    因此

    5bc=12ca=13ab,

    可得

    (5)

    式(5)代入式(4)得

    解得

    k=15.

    于是

    從而

    故原方程組有2組解:

    解法2顯然x,y,z同號.由式(2)得

    代入式(1)得

    5(z2+1)y=12(y+z)(1-yz).

    同理可得

    5(y2+1)z=13(y+z)(1-yz).

    整理得

    12y2z+17yz2=7y+12z,

    18y2z+13yz2=13y+8z,

    兩式相加得

    30yz(y+z)=20(y+z),

    解得

    代入式(1),解得

    z=±1.

    故原方程組有2組解

    例4設(shè)x1,x2是ax2+bx-a2=0(agt;0)的2個實數(shù)根,且|x1|+|x2|=2.若g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1),證明:當(dāng)x1lt;xlt;2,且x1lt;0時,|g(x)|≤4a.

    證法1由x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的2個根,可得

    又由agt;0,得x1,x2異號,因此

    g(x)=ax2+bx-a2-2a(x-x1) =

    a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=

    a(x-x1)(x-x2-2).

    因為x1x2=-alt;0,且x1lt;0,所以x2gt;0,于是當(dāng)x1lt;xlt;2時,

    x-x1gt;0,x-x2-2lt;0.

    由|x1|+|x2|=2,得

    x2-x1=2,

    說明題中變量較多.本解巧妙地對部分變量進(jìn)行替換,使解法比較簡潔.若消去x1,x2保留a,b,則會使解法變繁.

    x2-x1=2,

    從而

    于是當(dāng)x1lt;xlt;2時,

    g(x2)≤g(x)lt;max{g(x1),g(2)}.

    g(x2)=-4a,g(x1)=0,

    所以

    故當(dāng)x1lt;xlt;2時,

    -4a≤g(x)lt;0,

    |g(x)|≤4a.

    3 參數(shù)法

    很多數(shù)學(xué)問題中都含有參數(shù),有時是雙參數(shù)問題,有時是多參數(shù)問題.參數(shù)本質(zhì)上雖然屬于變量,但又可以把它看成常量,是介于常量和變量的具有中間性質(zhì)的量.正是由于參數(shù)的這種二重性和靈活性,在解決數(shù)學(xué)問題時,常可從不同的角度處理參數(shù):引入?yún)?shù),溝通題中各變量之間的內(nèi)在聯(lián)系;改變數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu),將求解問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)問題加以解決.

    例5對任意-1≤a≤1,不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立,則x的取值范圍為________.

    解依題意有x2+(a-4)x+4-2agt;0恒成立,即(x-2)a+x2-4x+4gt;0恒成立.令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則f(a)在-1≤a≤1上的圖像為線段.要求圖像在x軸的上方,則只要求

    解得

    xlt;1或xgt;3.

    說明在數(shù)學(xué)解題過程中,常量與變量、已知量與未知量的區(qū)分并不是絕對的:有時可把某數(shù)看作未知,某字母看作已知;有時可以將題中的參數(shù)作為主要變元來處理,往往會有意想不到的效果.

    如果把x2+(a-4)x+4-2agt;0看作關(guān)于x的不等式,那么解決起來就比較麻煩.

    若將這個不等式看作是關(guān)于x的不等式,則變?yōu)橐粋€含參數(shù)a的不等式,可轉(zhuǎn)化為(x-2)(x-2+a)gt;0,此時需要對參數(shù)a的值進(jìn)行討論:

    若2-alt;2,即agt;0,則不等式的解為

    xgt;2或xlt;2-a,

    此式對所有0lt;a≤1都成立,從而xgt;2或xlt;1;

    若2-agt;2,即alt;0,則不等式的解為

    xlt;2或xgt;2-a,

    此式對所有-1≤alt;0都成立,從而

    xgt;3或xlt;2;

    若2-a=2,即a=0,則不等式的解為x≠2.

    綜上所述,不等式x2+(a-4)x+4-2agt;0對任意-1≤a≤1恒成立,則xlt;1或xgt;3.

    例6已知關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2+1=0有且只有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.

    解對方程左邊進(jìn)行因式分解得

    a2-ax(x+2)+(x-1)(x2+x+1)=0,

    (x2+x+1-a)(x-a-1)=0.

    從而

    x=a+1或x2+x+1-a=0,

    所以“有且只有一個實根”有如下2種情形:

    (1)x2+x+1-a=0無解,其解為x=a+1,得

    Δ=1-4(1-a)=4a-3lt;0;

    (2)x2+x+1-a=0只有一個實根,且此根就等于x=a+1,即

    Δ=4a-3=0,

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