柯西不等式證明及應(yīng)用

黃衛(wèi)

（南京曉莊學(xué)院，江蘇 南京 211171）

柯西不等式證明及應(yīng)用

黃衛(wèi)

（南京曉莊學(xué)院，江蘇 南京 211171）

本文探討了柯西不等式多種證明方法，通過一系列的例題，反映了柯西不等式在函數(shù)求最值及其在幾何上（距離）的廣泛應(yīng)用.

柯西不等式；證明；應(yīng)用

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西（C a u c h y）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的.但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為 C a u c h y-B u n i a k o w s h y-S c h w a r不等式.正因?yàn)槭呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.

在我國的一般高校教育中，微積分、線性代數(shù)和概率論是最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程.表面上看，這三門課存在很大差異，但與此同時(shí)它們卻往往可以從不同的角度和方法對(duì)同一事物作出證明及解釋.著名的柯西不等式在不同領(lǐng)域中的證明方式充分說明了人們思維的多樣性、滲透性和完備性.認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)可以使思維更活躍，也可以使我們的學(xué)習(xí)更富有創(chuàng)造性.

1 柯西不等式及其證明

1.1 柯西不等式

柯西不等式擁有多種形式，下面是其幾種形式.

二維形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2等號(hào)成立條件：a d=b c

向 量 形 式 ：|α ||β |≥|α·β|，α=（a1，a2,… ,an），β=（b1，b2，… ，bn）（n∈N，n≥2）等號(hào)成立條件：β 為零向量，或 α=λβ（λ∈R）.

1.2 下面給出柯西不等式的證明

證明 1（直接法）

則

證明 2（利用二次型）

即關(guān)于 x、y的二次型非負(fù)定，那么

證明 3（數(shù)學(xué)歸納法）

當(dāng) n=k+1時(shí)

即 n=k-1時(shí)，不等式成立
綜上所述，得對(duì)對(duì) n∈N+，不等式成立，故得證.
證明 4（利用線性相關(guān)證明）
經(jīng)過仔細(xì)探討發(fā)現(xiàn)，為了嚴(yán)格而簡潔地刻劃出（a1,a2,…, an）與（b1,b2,…,bn）具有什么 關(guān)系 時(shí)才成為柯 西不 等式 中等號(hào)成立的充要條件，我們從向量線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念出發(fā)，來敘述并證明這種特殊的柯西不等式.設(shè) Rn為向量空間.

當(dāng)且僅當(dāng)向量ζ與η線性相關(guān)時(shí)，

證明

（?。┰O(shè) ζ、η 線性相關(guān)，則存在不全為 0的 k、1∈Rn,使k ζ+l η=0

無論何種情形代入柯西不等式兩端便知等號(hào)成立.

（ⅱ）設(shè) ζ、η 線性無關(guān)，則對(duì)每個(gè) x∈R.有 ζ-x η≠0,即至少有一個(gè) i,1:i:n使 ai-bix≠0于是

或

這里 η≠0，否則 ζ、η 線性相關(guān)與題設(shè)矛盾.

于是有 b1,b2,…,bn不全為 0和這樣推出△＜0

即

于是

（ⅲ）若柯西不等式等號(hào)成立.則 ζ、η 必線性相關(guān).不然由（ⅱ）將推出柯西不等式等號(hào)不成立.證畢.

以上嚴(yán)格的命題敘述和證明，是把高等代數(shù)對(duì)一般抽象歐氏空間相應(yīng)命題及其證明改寫為特殊形式.

3 柯西不等式的應(yīng)用

例1（距離問題）

利 用 柯 西 不 等 式 證 明 ： 平 面 點(diǎn) p(x0,y0)到 直 線A x-B y-C=0的距離公式

證明 對(duì)直線上的任意一點(diǎn) Q(x,y)，得 A x-B y=-C，且A2-B2>0

由柯西不等式，得

則，有

以上證明運(yùn)用的背景均在二維平面內(nèi)，由此可以考慮發(fā)展到三維空間點(diǎn)到面的距離公式，在 n維抽象空間中，球點(diǎn)到空間中任意點(diǎn)的距離最小，這就是極值的問題.

例2（極值問題）

如果 x1+…+xn=1,a>0，那么當(dāng)且僅當(dāng) a1x1=…=anxn時(shí)，f(x)的最小值是

以上證明的是一個(gè)極值問題，是在 x1-x2-…-xn=1的條件下成立.如果把此條件推廣成，求 f(x) =x1+x2+…+xn的最大值，一樣能夠求得.

上面我們介紹了柯西不等式及各種形式，并證明了一般形式，在此基礎(chǔ)上并闡述了它的一些應(yīng)用.

〔1〕徐 幼 明.柯西不 等 式的推廣 及 其應(yīng)用[J].數(shù) 學(xué) 通 訊 ，1996（12）:25-26.

〔2〕王蓮花，李曄，李戰(zhàn)國，劉芳.柯西不等式的證明及應(yīng)用研究[J].河南教育學(xué)報(bào)，2003，12（1）：5-7.

〔3〕王玉蘭.柯西不等式的一個(gè)簡單證明及其應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2002（8）：135.

〔4〕劉 治 和 .淺 談 柯 西 不 等 式 的 證 明 及 應(yīng) 用 [J].數(shù) 學(xué) 通 報(bào) ，2000，18（5）：44-46.

〔5〕 方海燕. 柯西不等式的應(yīng)用 [J]. 數(shù)理天地 （高中版），2005，13（10）：21-23.

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