泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布在模擬索賠次數(shù)中的應(yīng)用

王丙參,魏艷華,石春燕

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水741001)

泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布在模擬索賠次數(shù)中的應(yīng)用

王丙參,魏艷華,石春燕

(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水741001)

為了在模擬索賠次數(shù)時(shí)更好的運(yùn)用泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布,研究了二者的優(yōu)良特性及相互關(guān)系,最后結(jié)合Sas軟件進(jìn)行實(shí)例分析,得到了負(fù)二項(xiàng)分布是伽瑪分布對(duì)泊松分布的混合分布且是賠頻率強(qiáng)度存在正傳染性的索賠分布,由于方差大于均值,因而更好的描述非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn).

泊松分布;負(fù)二項(xiàng)分布;索賠次數(shù);估計(jì)值

在實(shí)際中,不會(huì)有大量數(shù)據(jù)可以確定理賠次數(shù)的分布,因此必須為理賠次數(shù)選擇一個(gè)合適的模型來(lái)擬和.泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布都能比較滿意地用來(lái)擬和風(fēng)險(xiǎn)集體的理賠次數(shù),還具有其它分布不能企及的優(yōu)良特性[1-4].鑒于此,本文研究了泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布的優(yōu)良特性及相互關(guān)系,以便在模擬索賠次數(shù)時(shí)更好的運(yùn)用它們,并結(jié)合Sas軟件進(jìn)行實(shí)例分析.

1 基本模型

為了描述稀有事件,只含有一個(gè)參數(shù)的泊松分布往往是第一選擇,當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)集體同質(zhì)時(shí),理賠次數(shù)服從Poisson分布,均值等于方差[5].

負(fù)二項(xiàng)分布有兩個(gè)基本模型:

(1)若在伯努利試驗(yàn)序列中,每次試驗(yàn)成功的概率為p,則恰好出現(xiàn)n次成功所需試驗(yàn)次數(shù)X服從

泊松分布X以全體自然數(shù)為一切可能值,其分布律為參數(shù)為(n,p)的第一類(lèi)負(fù)二項(xiàng)分布,記為0

可見(jiàn),在長(zhǎng)度為h的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生k次索賠的概率服從參數(shù)為(αn,p(h))的第二類(lèi)型負(fù)二項(xiàng)分布.幾乎所有的汽車(chē)保險(xiǎn)人都采用了無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng)(BM S),根據(jù)投保人以往年份的索賠情況調(diào)整其續(xù)期保費(fèi).通常的原則是,上一保險(xiǎn)年度發(fā)生的索賠次數(shù)越多,次年的續(xù)期保費(fèi)將越高,反之則否.保險(xiǎn)公司調(diào)整投保人續(xù)期保費(fèi)的主要目的之一就是為了公平投保人的保費(fèi)負(fù)擔(dān),使高風(fēng)險(xiǎn)的投保人繳納相對(duì)較高的保險(xiǎn)費(fèi),并且有人設(shè)計(jì)出了最優(yōu)BM S,可以根據(jù)投保人的索賠經(jīng)驗(yàn)對(duì)投保人的續(xù)期保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整,但該模型假定單個(gè)投保人的索賠次數(shù)服從泊松分布,這意味著投保人以前是否發(fā)生過(guò)保險(xiǎn)事故對(duì)今后是沒(méi)有影響的,但實(shí)際上投保人的索賠經(jīng)歷往往具有傳染性.由于負(fù)二項(xiàng)分布是一種正向傳染模型,在這種情況下單個(gè)投保人的索賠次數(shù)可能更加接近于服從負(fù)二項(xiàng)分布,因此風(fēng)險(xiǎn)理論中在擬合索賠次數(shù)時(shí)常用第二種類(lèi)型的負(fù)二項(xiàng)分布.容易看出,負(fù)二項(xiàng)分布有一個(gè)很簡(jiǎn)單的性質(zhì),方差大于均值.負(fù)二項(xiàng)分布的方差越大于其均值,表明投保集體存在的非同質(zhì)性越嚴(yán)重[5].

2 第二類(lèi)負(fù)二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系及性質(zhì)

3 結(jié)合Sas軟件進(jìn)行實(shí)例分析

利用表1數(shù)據(jù)擬合泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布:

表1 某車(chē)險(xiǎn)的理賠數(shù)據(jù)[7]

模擬結(jié)果為表2:

表2 估計(jì)的發(fā)生賠案的保單數(shù)目

顯然數(shù)據(jù)的期望估計(jì)值0.101 080 636 42小于方差的估計(jì)值0.107 447 814 67,所以運(yùn)用負(fù)二項(xiàng)分布進(jìn)行估計(jì)更加精確,事實(shí)上模擬結(jié)果確實(shí)如此.

[1]王丙參,魏艷華.保費(fèi)收取次數(shù)為負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2010,34(06):604-608

[2]王丙參,徐長(zhǎng)偉,宋立新.概率分布中的遞推問(wèn)題與Panjer遞推公式[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010, 26(02):13-15

[3]吳建祥,楊海忠.同質(zhì)性保單索賠次數(shù)的一種分布類(lèi)討論[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009,(18):154-156

[4]孟生旺.負(fù)二項(xiàng)分布的優(yōu)良特性及其在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,1998,17(02):9-12

[5]Klugman SA,Panjer HH著,吳嵐譯.損失模型從數(shù)據(jù)到?jīng)Q策[M].北京:人民郵電出版社,2009:350-370

[6]Biihlmann H.Mathematical Methods in Risk Theo ry[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1996:100-120

[7]楊靜平.非壽險(xiǎn)精算學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006:75-91

[責(zé)任編輯:劉守義]

Applications of Poisson Distribution and Negative Binom ial Distribution in Stochastic Simulation of Number of Claims

WANGBing-can,WEIYan-hua,SHIChun-yan

(School of Mathematics and Statistics,Tianshui No rmal University,Tianshui 741001,Gansu,China)

This paper discusses the p roperties and relationship betw een the negative binomial distribution and Poisson distribution in o rder to use them in the stochastic sim ulation of num ber of claim s.Finally,it analyzes an examp le by using Sas software.Negative binomial distribution is a gamma mixture of Poisson distribution.When claim frequency in tensities has positive contagion,the claim num ber distribution is negative binomial distribution.Since the variance is bigger than themean,it is a better descrip tion of the non-homogeneous risk.

Poisson distribution;negative binomial distribution;number of claim s;estimate

O 211.3

A

1673-1492(2011)02-0013-04

來(lái)稿日期:2011-03-17

甘肅省自然科學(xué)研究基金計(jì)劃(096RJZE106);天水師范學(xué)院科研基金(TSA0931)

王丙參(1983-),男,河南南陽(yáng)人,天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,碩士.