馬爾科夫理論在中長期負(fù)荷預(yù)測中的應(yīng)用

黃銀華， 彭建春， 李常春， 劉 鼎， 孫廣強

(1.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082； 2.福建省電力勘測設(shè)計院， 福州 350003； 3.天津市電力科學(xué)研究院， 天津 300384)

馬爾科夫理論在中長期負(fù)荷預(yù)測中的應(yīng)用

黃銀華1，2， 彭建春1， 李常春3， 劉 鼎1， 孫廣強1

(1.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長沙 410082； 2.福建省電力勘測設(shè)計院， 福州 350003； 3.天津市電力科學(xué)研究院， 天津 300384)

針對灰色預(yù)測模型對隨機波動性較大的數(shù)據(jù)序列擬合較差、預(yù)測精度較低的情況，提出了一種基于馬爾科夫灰色殘差修正的預(yù)測模型，該模型考慮到馬爾科夫理論中轉(zhuǎn)移概率可以反映隨機因素的影響、適用于隨機波動較大的動態(tài)過程的特點，將其與灰色預(yù)測模型進行有機結(jié)合。文中一方面利用馬爾科夫鏈對電力負(fù)荷的未來殘差值進行修正；另一方面運用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對未來殘差值的符號進行判定。該方法彌補了灰色預(yù)測模型的固有缺陷。預(yù)測結(jié)果表明該方法在提高組合預(yù)測精度上具有可行性。

中長期負(fù)荷預(yù)測； 灰色模型； 殘差修正； 馬爾科夫理論； 轉(zhuǎn)移概率

電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測的實質(zhì)是根據(jù)預(yù)測對象的歷史數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，描述其發(fā)展規(guī)律。有效的負(fù)荷預(yù)測為所在地區(qū)或電網(wǎng)的電力發(fā)展速度、電力建設(shè)規(guī)模、電力工業(yè)布局、地區(qū)間的電力余缺調(diào)劑、以及電網(wǎng)資金和人力資源的平衡提供了可靠的依據(jù)[1]。目前，國內(nèi)外有關(guān)中長期負(fù)荷預(yù)測的理論和方法很多，大致可分為經(jīng)典預(yù)測和現(xiàn)代預(yù)測兩類。

電力負(fù)荷預(yù)測的核心問題是預(yù)測的數(shù)學(xué)模型的建立?；疑獹M(1，1)模型是最常用的一種灰色模型，它是由一個只包含單變量的一階微分方程構(gòu)成，是GM(1，n)模型的特例。該方法的實質(zhì)是對原始數(shù)據(jù)序列進行一次累加生成，使其成為具有指數(shù)增長趨勢變化規(guī)律的數(shù)列，然后建立GM(1，1)模型，即建立微分方程。求解該微分方程得到方程參數(shù)值，進而求得累加數(shù)列的灰色預(yù)測值，最后通過累減還原得到原始序列的預(yù)測。

灰色GM(1，1)模型自問世來，在負(fù)荷預(yù)測中得到了廣泛的應(yīng)用。該預(yù)測模型主要適用于時間短、樣本數(shù)據(jù)少、波動不大的系統(tǒng)對象，其預(yù)測趨勢都是一條較為平滑的曲線，對于隨機波動性較大的數(shù)據(jù)序列擬合較差，預(yù)測精度較低[2～4]。為此，人們提出了一系列改進的算法，如干涉因子灰色預(yù)測模型、新信息GM(1，1)模型、新陳代謝GM(1，1)模型等，這些算法分別從不同的角度對GM(1，1)模型進行了一定程度的改進。其中，殘差GM(1，1)模型在實際中應(yīng)用最為廣泛，但其預(yù)測精度仍然不夠理想。

鑒于此，本文充分利用馬爾科夫適合預(yù)測隨機波動大的動態(tài)過程的特點，在殘差灰色模型的基礎(chǔ)上，通過引入馬爾科夫鏈對電力負(fù)荷的未來殘差進行修正，同時運用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判斷殘差預(yù)測值在k>n時的符號。該方法同時綜合了灰色預(yù)測模型和馬爾科夫鏈的優(yōu)點，彌補了灰色理論本身所具有的缺陷。實例表明，該方法簡單可靠，具有很好的實用性。

1 馬爾科夫鏈基本原理

馬爾科夫[5，6]過程是具有無后效性的隨機過程。無后效性是指在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”的狀態(tài)與“過去”的狀態(tài)無直接關(guān)系。時間和狀態(tài)都離散的馬爾科夫過程，為馬爾科夫鏈。

對離散空間E中的隨機序列{Xt，t=1，2，…}，若對于任意的非負(fù)整數(shù)n、l、k及任意的非負(fù)整數(shù)t1，t2，…，tl(t1tl)滿足

p{Xn+k=in+k|Xt1=it1，Xt2=it2，…，

Xtl=itl，Xn=in}=

p{Xn+k=in+k|Xn=in}

(1)

則隨機序列{Xt，t=1，2，…}即為馬爾科夫鏈。

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)有n個，系統(tǒng)在tm時間處于狀態(tài)i的條件下，在下一時間tm+1轉(zhuǎn)為狀態(tài)j的概率為pij，則稱pij為一步轉(zhuǎn)移概率。將pij依序排列，即構(gòu)成了一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pij)n×n。一步轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下列性質(zhì)。

(1)pij(m)≥0i，j∈E

同理，系統(tǒng)從tm時間的狀態(tài)i，經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到時間tm+k的狀態(tài)j的概率為pij(k)，則pij(k)稱為k步轉(zhuǎn)移概率。k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P(k)=(pij(k))n×n。已知Xt的分布，則可推知：Xt+k=Xt·pk。

2 加權(quán)馬爾科夫灰色殘差修正模型

2.1 基于加權(quán)馬爾科夫鏈的殘差修正

設(shè)原始負(fù)荷序列x(0)為

x(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)]

(2)

用傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型[7]對原始數(shù)列x(0)序列進行預(yù)測，得到初步預(yù)測值

(3)

原始數(shù)據(jù)列與預(yù)測數(shù)列之差為殘差，記為

(4)

令

ε(0)(k)=|q(0)(k)|

(5)

殘差序列ε(0)可定義為

ε(0)=(ε(0)(1)，ε(0)(2)，ε(0)(3)，…，ε(0)(n))

(6)

令

(7)

為殘差的灰擬合精度指標(biāo)[8]。

殘差的GM(1，1)模型擬合曲線是一指數(shù)曲線，Y(k)反映了原始數(shù)據(jù)圍繞擬合曲線的波動程度，也反映了殘差的動態(tài)時變程度，其變化趨勢呈非平穩(wěn)隨機的特點，運用馬爾科夫鏈的無后效性，對灰擬合精度指標(biāo)的波動規(guī)律進行分析，來修正殘差灰色GM(1，1)模型預(yù)測結(jié)果，提高預(yù)測精度。傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測方法有兩種：基于絕對分布的馬爾科夫鏈預(yù)測方法和疊加馬爾科夫鏈預(yù)測方法。為提高系統(tǒng)狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率，文中采用加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測理論[8～10]來更好地解決隨機波動性大的數(shù)據(jù)序列的預(yù)測精度。

(1)灰擬合精度指標(biāo)Y(k)狀態(tài)劃分

灰擬合精度指標(biāo)Y(k)是一個隨機波動的非平穩(wěn)過程，不同年度狀態(tài)的邊界和內(nèi)涵是變化的，因而需要考慮一個狀態(tài)分類的方法，使Y(k)劃分為m個狀態(tài)。對于狀態(tài)的分類，常用的方法有均值-均方差分級法、聚類分類法、以及最優(yōu)分割法[11～13]。為簡單起見，本文擬采用均值-均方差分級法對灰精度指標(biāo)Y(k)進行狀態(tài)劃分。任一狀態(tài)表示為

Ei∈[?1i，?2i]i=1，2，…，m

(8)

式中：Ei表示第i種狀態(tài)，?1i和?2i分別表示第i種狀態(tài)的下界和上界。

對于灰精度序列Y(k)，可求得其樣本均值為

(9)

進而可得樣本標(biāo)準(zhǔn)差為

(10)

在實際應(yīng)用中，區(qū)間劃分應(yīng)依實際情況進行改進。

(2)構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)確定各時段的灰精度指標(biāo)Y(k)所對應(yīng)的狀態(tài)。并對其進行統(tǒng)計，可得不同滯時(步長)馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，它決定了指標(biāo)值狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則。

(11)

這樣可得m×m階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

(3)計算各階自相關(guān)系數(shù)rk(k∈E)，確定各滯時的馬爾科夫鏈的權(quán)重

為正確反映各階(各種步長)對馬爾科夫鏈預(yù)測值的影響權(quán)重，采用Y(k)各階自相關(guān)系數(shù)反映權(quán)值大小，即

(12)

式中：Y(l)為第l時的灰擬合精度指標(biāo)；rk為第k階自相關(guān)系數(shù)。對各階自相關(guān)系數(shù)做規(guī)范化處理

(13)

將它們作為各種步長的馬爾科夫鏈的權(quán)重，m為按預(yù)測需要計算的最大階數(shù)。

(4)灰擬合精度指標(biāo)狀態(tài)的加權(quán)馬爾科夫鏈預(yù)測

以前一年的殘差預(yù)測灰擬合精度指標(biāo)所對應(yīng)的狀態(tài)為初始狀態(tài)Ei，結(jié)合其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣的行向量即可預(yù)測出該年灰預(yù)測精度指標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量為

(14)

由m階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量形成的矩陣，稱為m階加權(quán)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為灰預(yù)測精度指標(biāo)值處于該狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，即

(15)

max{pi，i∈E} 所對應(yīng)的狀態(tài)即為該年灰預(yù)測精度指標(biāo)的加權(quán)馬爾科夫預(yù)測狀態(tài)。

(5)灰精度指標(biāo)預(yù)測及殘差的確定

(16)

(17)

(18)

其中m(k+1)為符號函數(shù)，且有

(19)

當(dāng)k≥n時，m(k+1)的值為提高灰色預(yù)測精度的關(guān)鍵。

2.2 基于馬爾科夫鏈的殘差符號的判定

為正確求得在k≥n時m(k+1)的值，文中繼續(xù)引入馬爾科夫過程。

假令殘差的符號為正的時候，定義為狀態(tài)1；殘差的符號為負(fù)的時候，定義為狀態(tài)2。這樣，可得從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(20)

n=1，2，…

(21)

基于馬爾科夫的灰色殘差的負(fù)荷預(yù)測模型的計算流程如圖1所示。

圖1 計算流程

3 算例分析

為了測試改進模型，本文采用文獻[7]提供的1979-1990年石家莊電網(wǎng)的年度售電量數(shù)據(jù)，利用1979-1986年的數(shù)據(jù)(見表1)，采用本文的預(yù)測模型對1987-1990年該地區(qū)的售電量進行預(yù)測。

將表1中年份1979-1990重新編號為1、2、…、11、12，對應(yīng)售電量作為模型輸入的原始數(shù)據(jù)。

表1 1979-1990年售電量數(shù)據(jù)

表2 初步預(yù)測結(jié)果

從表2中發(fā)現(xiàn)灰精度指標(biāo)波動性較大。對灰精度指標(biāo)進行加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測。

本文擬采用均值-均方差分級法對1979-1986年的灰擬合精度指標(biāo)數(shù)據(jù)進行狀態(tài)劃分，劃分結(jié)果如表3所示。

表3 灰精度指標(biāo)狀態(tài)表

根據(jù)狀態(tài)劃分表確定1979-1986各年灰擬合精度指標(biāo)的對應(yīng)狀態(tài)，如表4所示。

表4 1979-1986年灰精度指標(biāo)序列及其狀態(tài)

對所得結(jié)果進行統(tǒng)計計算，可得不同滯時(步長)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

它決定了指標(biāo)值狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則。

按式(12)和式(13)可計算得各階自相關(guān)系數(shù)及各步長馬爾科夫鏈的權(quán)重。各階的自相關(guān)系數(shù)及各種步長的馬爾科夫權(quán)重見表5。

表5 各階自相關(guān)系數(shù)及各種步長的馬爾科夫權(quán)重

分別以1982-1986年的灰度指標(biāo)，結(jié)合相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對1987年的灰精度指標(biāo)狀態(tài)進行預(yù)測，結(jié)果如表6所示。

表6 1987年灰精度指標(biāo)狀態(tài)

另一方面，根據(jù)1982-1986年殘差的符號狀態(tài)，進一步利用馬爾科夫鏈對1987年的殘差符號狀態(tài)進行預(yù)測。

由表2統(tǒng)計得：狀態(tài)1和狀態(tài)2各出現(xiàn)了4次。其中由狀態(tài)1向狀態(tài)1轉(zhuǎn)移的次數(shù)為2次，狀態(tài)1向狀態(tài)2轉(zhuǎn)移的次數(shù)為1次；同理，可得狀態(tài)2向狀態(tài)1轉(zhuǎn)移的次數(shù)為2次，狀態(tài)2向狀態(tài)2轉(zhuǎn)移的次數(shù)也為2次。綜上所述，得到一步概率轉(zhuǎn)移矩陣為

這樣可得1987年修正后的售電量預(yù)測值為

表7 真實值與預(yù)測值比較

由表7可知基于馬爾科夫鏈的灰色殘差修正預(yù)測模型的預(yù)測精度明顯比平滑處理灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度高。算例中，預(yù)測誤差較大的原因主要是因為修正模型中的灰色預(yù)測模型的預(yù)測效果較差，如果提高灰色預(yù)測模型的精度，則基于馬爾科夫灰色殘差修正預(yù)測模型的效果會更好、更明顯。提高本文預(yù)測精度的方法除了從改善灰色預(yù)測模型精度方面外，還可以從改進馬爾科夫鏈算法的角度進行考慮。比如，采用更為合理的狀態(tài)劃分方法以及更為合理殘差修正方法等，限于篇幅，本文暫不做更多的討論。

4 結(jié)語

本文在殘差灰色理論的研究基礎(chǔ)上，考慮到灰色模型能揭示數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢、馬爾科夫模型可以確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的特點，把兩者有機地結(jié)合起來對未來預(yù)測殘差值大小進行修正，同時對其符號進行判定。該方法綜合了二者的優(yōu)點，彌補了灰色預(yù)測模型在預(yù)測結(jié)果的精確性和可信任性方面表現(xiàn)出的固有缺陷。實證分析表明，該方法模型簡單、計算量小，比單獨運用GM(1，1)模型精度高，具有可行性。

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ApplicationofMarkovTheoryinMid-LongTermLoadForecasting

HUANG Yin-hua1，2， PENG Jian-chun1， LI Chang-chun3， LIU Ding1， SUN Guang-qiang1

(1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 2.Fujian Electric Design Institute, Fuzhou 350003, China; 3.Tianjin Electric Power Science & Research Institute, Tianjin 300022, China)

Based on the fact that using GM(1,1) model to the high waving peak load has low precision on simulation and forecast, a novel combinatorial forecasting algorithm based on Markov chain is proposed in this paper. Deliberate on the features of Markov theory which can reflects the influence on random factors and extend to the stochastic process which is dynamic and fluctuating is considered, and it is seamless integrated with GM(1，1)model. On the one hand, this paper uses Markov chain to correct the future residual of electrical load, on the other hand, the state transition matrix of Markov is adopted to forecast the sign of future residual. This method make up the fundamental disadvantages of GM(1，1)model. And the results of the load forecasting indicate the feasibility of the proved method.

mid-long term load forecasting； GM(1，1) model； residual error correction； Markov theory； probability transition

2010-04-23；

2010-06-12

TM714

A

1003-8930(2011)05-0131-06

黃銀華(1983-)，男，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化運行與控制、電網(wǎng)規(guī)劃。Email:hyhtaf123@163.com 彭建春(1964-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事電力市場，電力系統(tǒng)優(yōu)化運行與控制的研究。Email:jcpeng@163.com 李常春(1985-)，男，碩士研究生，主要從事電力系統(tǒng)高壓計量工作。Email:Licc535@163.com