金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的極值模型及實(shí)證分析

黎德元，葉金娥

（復(fù)旦大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200433）

金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的極值模型及實(shí)證分析

黎德元，葉金娥

（復(fù)旦大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200433）

風(fēng)險(xiǎn)值（VaR）是金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)，選擇好的計(jì)算方法十分重要。文章主要應(yīng)用極值理論中的門(mén)限模型來(lái)研究風(fēng)險(xiǎn)值，并對(duì)2000年以來(lái)深圳綜指和上證指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值和期望虧損，最后對(duì)兩市的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了比較。

極值理論；門(mén)限模型；風(fēng)險(xiǎn)值；期望虧損；廣義帕累托分布

0 引言

隨著全球金融市場(chǎng)的發(fā)展和金融創(chuàng)新的深化，金融市場(chǎng)的波動(dòng)性和脆弱性也不斷加劇。1987年華爾街的股市大崩盤(pán)，20世紀(jì)90年代長(zhǎng)期資本管理公司的倒臺(tái)，20世紀(jì)末的東亞金融危機(jī)以及2008年由美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)的全球金融海嘯等，這一系列極端風(fēng)險(xiǎn)事件的出現(xiàn)，促使金融從業(yè)者和研究者尋求新的方法和工具，從而加深對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)管理的認(rèn)識(shí)。按照國(guó)際清算銀行的要求，銀行和其他金融機(jī)構(gòu)已經(jīng)開(kāi)始在遵循管制的基礎(chǔ)上度量其面臨的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，并產(chǎn)生了一個(gè)全球一致的度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的概念——風(fēng)險(xiǎn)值 （VaR）。J.P.Morgan在風(fēng)險(xiǎn)度量中將VaR定義為 “VaR是按照預(yù)定的置信度，對(duì)所持有頭寸在某一間隔期上可能遭受損失的一個(gè)估計(jì)，對(duì)典型的交易活動(dòng)，間隔期也許是一天，對(duì)資產(chǎn)組合管理也許是一個(gè)月或更長(zhǎng)……”。簡(jiǎn)言之，VaR就是在一定的持有期及一定的置信度內(nèi)，某金融工具或投資組合所面臨的潛在的最大損失。

用統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，如果用△V(詛)表示金融資產(chǎn)頭寸從第t期到第t+詛期的價(jià)值變動(dòng)，置信度為1-p、時(shí)間跨度為詛的VaR滿足：

其中F詛是時(shí)間跨度為詛的金融資產(chǎn)頭寸價(jià)值的分布函數(shù)。如果數(shù)據(jù)是收益率,那么這里的分布函數(shù)就表示收益率的分布。也就是說(shuō)，多頭資產(chǎn)持有者在時(shí)間跨度內(nèi)詛的收益小于等于VaR(VaR為負(fù)時(shí)，表示損失)的概率為p。當(dāng)資產(chǎn)價(jià)值增加 △V(詛)（△V(詛)>0）時(shí)，空頭頭寸持有者遭受損失，此時(shí)VaR定義為：

傳統(tǒng)的VaR計(jì)算方法都考慮收益率的整體分布，例如假設(shè)收益率服從正態(tài)分布。極值理論研究分布的尾部。由于分布的尾部反映的是潛在的災(zāi)難性事件導(dǎo)致的金融機(jī)構(gòu)的重大損失，所以風(fēng)險(xiǎn)管理者更注重分布的尾部。許多研究表明大多數(shù)金融數(shù)據(jù)是重尾的，因此傳統(tǒng)的分布假設(shè)并沒(méi)有很好地刻畫(huà)尾部特征（參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]）。只對(duì)尾部進(jìn)行假設(shè)，這是極值理論應(yīng)用于VaR計(jì)算上的最大優(yōu)勢(shì)。

1 極值理論的門(mén)限模型

1.1 廣義極值分布（GEV）

定理 1 假設(shè)隨機(jī)變量 X，X1，X2，…，Xn，獨(dú)立同分布于分布函數(shù) F，Mn為樣本最大值，即 Mn=max(X1，X2，…，Xn)。 假設(shè)存在常數(shù)序列{an>0}和{bn∈R}使得對(duì)某個(gè)非退化的分布函數(shù)G有

其定義域?yàn)閧z:1+ξ(z-μ)/σ>0}，μ，ξ∈R，σ>0。

稱滿足（1）的分布函數(shù)F屬于G的極大吸引域，并記作F∈MAD(G)。其中，ξ為形狀參數(shù)，σ為尺度參數(shù)。當(dāng)ξ=0時(shí)，G相應(yīng)地取其極限，即

1.2 廣義帕累托分布（GPD）

定理2 假設(shè)X 茗F且F∈MAD(G)，則對(duì)于充分大的u，

這里的分布函數(shù)H就稱為廣義帕累托分布，形狀參數(shù)ξ與極值分布的相應(yīng)參數(shù)相同。ξ=0時(shí)，H即為指數(shù)分布。定理1與2的證明可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]。

1.3 門(mén)限模型

所謂門(mén)限模型，就是取一個(gè)相對(duì)較大的閾值u（稱為門(mén)限），并假設(shè)隨機(jī)變量超出門(mén)限的部分近似為GPD。在門(mén)限模型中，需要選擇一個(gè)合適的門(mén)限，然后估計(jì)參數(shù)，并用擬合的模型計(jì)算分位數(shù)、做模型診斷等。

2 模型的建立

2.1 門(mén)限選擇

在給定門(mén)限u的情況下，提取出那些超過(guò)門(mén)限的觀測(cè)值，并重新記為 x(1)，x(2)，…，x(k)，其中 k 為超過(guò)門(mén)限的觀測(cè)值個(gè)數(shù)。 定義超出量 yi=x(i)-u，i=1，2，…，k。 根據(jù)定理 2，可以近似認(rèn)為{yi，i=1，2，…，k}是來(lái)自 GPD 的一個(gè)樣本。

門(mén)限選擇要考慮到估計(jì)量的方差和偏差的平衡：如果門(mén)限過(guò)大，則實(shí)際使用數(shù)據(jù)量過(guò)少，造成估計(jì)量的方差較大；如果門(mén)限過(guò)小，則超出量的分布與GPD偏離會(huì)比較大。通常的原則是在保證極限分布能較合理地被GDP近似下，盡量選擇較低的門(mén)限。有兩種方法可用：其一是在參數(shù)估計(jì)前進(jìn)行的探索性分析；另一方法是選擇一系列門(mén)限，然后分別擬合模型，并根據(jù)參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性確定合適的門(mén)限。

具體地說(shuō)，第一種方法以GPD的期望為基礎(chǔ)。假設(shè)對(duì)于隨機(jī)變量X，其關(guān)于某門(mén)限u0的超出量分布為GPD。當(dāng)ξ≥1時(shí)，超出量的期望不存在。當(dāng)ξ<1時(shí)，超出量的期望為：E（X-如果GPD對(duì)門(mén)限u成立，則對(duì)所有大于u

00的門(mén)限u也應(yīng)當(dāng)成立，只是尺度參數(shù)相應(yīng)地變?yōu)棣襲。因此，

故可選取一系列門(mén)限值，用超出量的樣本均值代替條件期望，得到一個(gè)軌跡圖：

其中 x(1)，x(2)，…，x(nu)表示所有超過(guò) u 的樣本，xmax為所有樣本的最大值。該軌跡圖稱為殘余生命圖(Residual Life Plot)。選擇門(mén)限u0，使得對(duì)u>u0時(shí)軌跡為線性的。

另一個(gè)方法是從參數(shù)的穩(wěn)定性考慮的。由定理2知道σu=σu0+ξ(u-u0)，則 σ*=σu-ξu 關(guān)于 u 不變。 而形狀參數(shù) ξ關(guān)于u也是不變的。選取一系列u，分別估計(jì)出參數(shù)，畫(huà)出軌跡圖。選取門(mén)限u0使得ξ和σ*關(guān)于u>u0穩(wěn)定。

2.2 參數(shù)估計(jì)

已經(jīng)得到了門(mén)限u，GPD的參數(shù)可以由極大似然方法估計(jì)。對(duì)于ξ≠0，對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)為：

其中 ξ，σ 滿足：1+ξyi/σ>0，i=1，2，…，k。 對(duì)于 ξ=0，相應(yīng)地有：

通?？捎蓴?shù)值計(jì)算方法（如Newton-Raphson方法）求得參數(shù)的極大似然估計(jì)，并通過(guò)信息矩陣得到置信區(qū)間。

2.3 風(fēng)險(xiǎn)值與期望損失（ES）計(jì)算

假設(shè)X是一個(gè)表示損失的隨機(jī)變量，通過(guò)上述方法可以求得給定門(mén)限u時(shí)X的條件概率，接著便可以計(jì)算出X在大于門(mén)限情形下的無(wú)條件概率。對(duì)x>u，

其中ζu=Pr(X>u)，可由k/n估計(jì)，其中k、n分別為超出量個(gè)數(shù)和樣本量。令上式等于p就可求得1-p分位數(shù)，即風(fēng)險(xiǎn)值VaR1-p：

特別地，當(dāng) p=1/m，m為整數(shù)時(shí)，相應(yīng)的分位數(shù)也稱為“m次觀測(cè)的回報(bào)水平”，即平均每m次才出現(xiàn)一次超過(guò)它的事件。

期望虧損（簡(jiǎn)稱ES）是衡量風(fēng)險(xiǎn)的另一指標(biāo)，定義為超出風(fēng)險(xiǎn)值VaR的損失大小的期望。當(dāng)q>F(u)時(shí)，

將σ，ξ的極大似然估計(jì)代入，便可得到風(fēng)險(xiǎn)值VaR的估計(jì)，繼而得到期望損失ES。置信區(qū)間可通過(guò)delta法則或類(lèi)似然方法求得，方法可參考文獻(xiàn)[2]。

2.4 模型診斷

評(píng)估一個(gè)GPD擬合得是否好，常用方法是概率圖、分位數(shù)圖、return-level圖、密度圖。提取樣本超出量并排序:y(i)，i=1，2，…，k

(1)概率圖：比較經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和擬合的GPD:

其中H為擬合的GPD。

(2)分位數(shù)圖:比較樣本分位點(diǎn)和擬合的GPD的分位點(diǎn)

(3)return-level圖：{（m，xm）}

xm為m次觀測(cè)回報(bào)水平。常將坐標(biāo)做“對(duì)數(shù)化處理”以加強(qiáng)觀測(cè)效果。同時(shí)加入置信上下限和回報(bào)水平的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)。

(4)密度圖：制作超出量的直方圖，添加擬合的GPD的密度曲線，并比較。

3 對(duì)上證指數(shù)、深圳綜指的實(shí)證分析

上證指數(shù)和深證綜指分別是由上海、深圳證券交易所根據(jù)在各自交易所上市的股票，選擇一定的成分股，用成份股的可流通數(shù)作為權(quán)數(shù)，采用綜合法進(jìn)行編制而成的股價(jià)指標(biāo)。它們是中國(guó)反映股市總體走勢(shì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，具有良好的市場(chǎng)代表性。本文選取的數(shù)據(jù)為上證綜指、深證綜指于2000年1月—2010年6月間的各2524個(gè)日收盤(pán)價(jià)(數(shù)據(jù)來(lái)源：大智慧軟件)。定義“日對(duì)數(shù)收益率”為：Xt=ln(Pt/Pt-1)*100，其中Pt為當(dāng)日收盤(pán)價(jià)。所有計(jì)算通過(guò)S-plus統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)，可以參考文獻(xiàn)[4]中關(guān)于軟件中Finmetrics模塊的使用介紹。

3.1 基本描述和統(tǒng)計(jì)

表1給出了深圳綜指、上證綜指收益率的基本描述性統(tǒng)計(jì)。圖1、圖2分別為兩市指數(shù)、日對(duì)數(shù)收益率的走勢(shì)，可以看到指數(shù)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而收益率數(shù)據(jù)近似平穩(wěn)。圖3為兩市收益率的直方圖、QQ圖，可以看出與正態(tài)分布相比，它們的分布均尖峰厚尾。通過(guò)這些圖表，可見(jiàn)兩市的特征非常相似，分布左偏，尖峰厚尾。

3.2 模型擬合

由于對(duì)多頭頭寸持有者而言，他們常關(guān)心的是收益率的左尾，我們?cè)谶\(yùn)用本文所述方法時(shí)，用收益率數(shù)據(jù)的相反數(shù)建模，門(mén)限選擇結(jié)合2.1節(jié)的2種方法綜合確定，其余參數(shù)估計(jì)用極大似然法，而風(fēng)險(xiǎn)值（VaR)）及期望損失（ES）用類(lèi)似然方法(Profile Likelihood)得到。

表2給出了模型擬合的參數(shù)選擇和估計(jì)。圖4給出了滬市的模型擬合診斷，可見(jiàn)GPD對(duì)尾部數(shù)據(jù)擬合得相當(dāng)好。深市的模型擬合也是相當(dāng)好，其擬合診斷圖此處略去。

表 1 兩市指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)量比較

表2 參數(shù)選擇和估計(jì)比較

表3 不同置信度下的VaR估計(jì)及95%置信區(qū)間

表4 不同置信度下的ES估計(jì)及95%置信區(qū)間

圖1 深圳綜指日收盤(pán)價(jià)走勢(shì)圖（上）、日對(duì)數(shù)收益率走勢(shì)圖（下）

3.3 風(fēng)險(xiǎn)分析

從表3、表4可以看出：相同水平下，深市的VaR及ES都要大于滬市，表明深市股票具有更大的波動(dòng)性，即具有更大的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。不過(guò)，兩市指數(shù)統(tǒng)計(jì)特征相似，風(fēng)險(xiǎn)值接近，說(shuō)明它們內(nèi)部有著共動(dòng)性，這實(shí)際上是由于兩市都處于中國(guó)，受整個(gè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)、政策等影響。

4 結(jié)論

本文主要介紹了極值理論中的門(mén)限模型，并應(yīng)用于金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的度量。對(duì)2000年以來(lái)深圳綜指、上證指數(shù)進(jìn)行實(shí)證研究，計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值（VaR）和期望損失（ES），發(fā)現(xiàn)模型擬合得相當(dāng)好。風(fēng)險(xiǎn)分析表明，深市股票具有更大的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)；但兩市指數(shù)統(tǒng)計(jì)特征相似，風(fēng)險(xiǎn)值接近，說(shuō)明它們內(nèi)部有著共動(dòng)性，這實(shí)際上是由于兩市都處于中國(guó)，受整個(gè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)、政策等影響。

在具有厚尾分布的金融市場(chǎng)，極值方法不需要對(duì)收益的整體分布做出假設(shè)，而是讓數(shù)據(jù)來(lái)擬合分布的尾部，因此建模的風(fēng)險(xiǎn)減少了。這是極值方法最大的優(yōu)點(diǎn)。正是由于極值理論在極端條件下估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的極大優(yōu)越性，其在近期得到了廣泛的運(yùn)用，并且在金融風(fēng)險(xiǎn)度量與管理中的良好前景已得到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[5]、[6]分別給出了商業(yè)銀行操作風(fēng)險(xiǎn)、匯率市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的極值度量方法。

本文的不恰當(dāng)之處是：文中門(mén)限模型的假設(shè)條件是隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，而金融市場(chǎng)的數(shù)據(jù)往往不滿足該條件。不過(guò)在一定條件下極值理論對(duì)平穩(wěn)序列也是成立的，在模型運(yùn)用過(guò)程中略作修改即可，可以參考文獻(xiàn)[7]，關(guān)于VaR和ES的估計(jì)結(jié)果與假設(shè)獨(dú)立的情況下比較接近。本文使用的收益率數(shù)據(jù)近似平穩(wěn)，直接使用獨(dú)立同分布條件下的門(mén)限模型已經(jīng)擬合得相當(dāng)好且使用簡(jiǎn)潔方便。

[1]張維，程博，朱國(guó)慶.關(guān)于上海股市收益厚尾性的實(shí)證研究[J].系統(tǒng)工程理論與研究，2001，（4）.

[2]P.Bickel,P.Diggle.An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values[M].Berlin：Springer,2008.

[3]Ruey S.Tsay，.金融時(shí)間序列分析[M].潘家柱（譯）北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[4]歐陽(yáng)資生，易法敏.Finmetrics:S-plus中金融數(shù)據(jù)定量分析的工具[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2005，（10）.

[5]張文，張屹山.應(yīng)用極值理論度量商業(yè)銀行操作風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)證研究[J].南方金融，2007，（2）.

[6]王旭，史道濟(jì).極值統(tǒng)計(jì)理論在金融風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2001，（8）.

[7]鄧蘭松，鄭丕鍔.平穩(wěn)收益率序列的極值VaR研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2004，（9）.

（責(zé)任編輯/浩 天）

O212

A

1002-6487（2011）03-0151-03

黎徳元（1973-），男，四川人，博士，副教授，研究方向：極值理論、網(wǎng)絡(luò)拍賣(mài)。