基于Copula理論的投資組合風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

趙 鵬

（西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061）

基于Copula理論的投資組合風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

趙 鵬

（西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061）

文章基于現(xiàn)代前沿的Copula理論，以中國(guó)股市八個(gè)行業(yè)板塊指數(shù)的組合為研究對(duì)象，構(gòu)建了Copula-GARCH模型，得到了更加準(zhǔn)確的組合收益聯(lián)合分布函數(shù)。通過(guò)蒙特卡洛模擬法獲得投資組合的VaR，回測(cè)檢驗(yàn)表明Copula-GARCH模型能夠較Riskmetrics和歷史模擬法的更加準(zhǔn)確地描述組合風(fēng)險(xiǎn)。這為我們?cè)趪?guó)內(nèi)股票市場(chǎng)上應(yīng)用Copula理論管理證券投資市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)提供了理論依據(jù)。

Copula；中國(guó)股市；市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)；金融風(fēng)險(xiǎn)管理

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日新月異，一種早在上世紀(jì)五十年代就被提出卻在技術(shù)上難以應(yīng)用的理論——Copula理論，在金融領(lǐng)域尤其是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的應(yīng)用研究得以迅速發(fā)展。1959年，Sklar提出可以將一個(gè)聯(lián)合分布分解為k個(gè)邊際分布和一個(gè)Copula函數(shù)的觀點(diǎn)[1]。Nelsen（1998）對(duì)Copula作了系統(tǒng)的介紹[2]，而張堯庭將Copula理論引入國(guó)內(nèi)[3][4]。

在經(jīng)典的證券投資組合理論中，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)由系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)組成，其中非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)即單個(gè)證券的風(fēng)險(xiǎn)由其本身的屬性來(lái)確定，而系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則由組合內(nèi)各證券資產(chǎn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)來(lái)決定，這個(gè)相關(guān)結(jié)構(gòu)由協(xié)方差矩陣來(lái)描述。不過(guò)限于線(xiàn)性和正態(tài)假設(shè)，協(xié)方差矩陣方法在實(shí)踐中無(wú)法刻畫(huà)金融資產(chǎn)波動(dòng)的尖峰厚尾分布特征。在引入Copula函數(shù)后，我們就可以剛好把投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)按照系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分解，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)即資產(chǎn)組合的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)可以由一個(gè)Copula函數(shù)來(lái)描述，而非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)即單個(gè)證券的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)可以由成熟的單變量時(shí)間序列波動(dòng)模型（如EWMA、GARCH）來(lái)刻畫(huà)。本文將以中國(guó)股票市場(chǎng)八個(gè)行業(yè)板塊指數(shù)為實(shí)證研究對(duì)象，通過(guò)應(yīng)用Copula理論來(lái)獲得資產(chǎn)組合的VaR（在險(xiǎn)價(jià)值），為金融機(jī)構(gòu)管理國(guó)內(nèi)股票投資的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)提供應(yīng)用理論依據(jù)。

1 Copula函數(shù)的選擇、估計(jì)與檢驗(yàn)

1.1 Copula函數(shù)的選擇

在多變量的金融應(yīng)用研究中，我們最常用的是正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)。

⑴多元正態(tài)Copula分布函數(shù)的表達(dá)式為

其中，ρ為對(duì)角線(xiàn)上的元素為1的對(duì)稱(chēng)正定矩陣，Φρ表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ的標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布，Φ-1()表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。

⑵多元t-Copula分布函數(shù)的表達(dá)式為

其中，ρ為對(duì)角線(xiàn)上的元素為1的對(duì)稱(chēng)正定矩陣，Tρ,v表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ、自由度為v的標(biāo)準(zhǔn)多元t分布，tv-1(ui)(i=1，2，…，N)為自由度為v的一元t分布的逆函數(shù)。

1.2 Copula函數(shù)的估計(jì)

Copula函數(shù)的估計(jì)方法一般包括極大似然估計(jì)法（ML）、邊際分布推導(dǎo)法（IFM）[5]和規(guī)范極大似然法（CML）。 在變量維數(shù)很高時(shí)，極大似然法會(huì)顯得參數(shù)過(guò)多，IFM法將邊際分布參數(shù)的估計(jì)和Copula函數(shù)參數(shù)的估計(jì)分成兩個(gè)階段進(jìn)行，比ML法要簡(jiǎn)化許多，但也容易產(chǎn)生邊際分布模型的設(shè)定錯(cuò)誤。CML法不對(duì)邊際分布作任何假設(shè)，在IMF法的第一步中用經(jīng)驗(yàn)分布代替邊際分布。Okaes[6]對(duì)此專(zhuān)門(mén)做過(guò)研究，其結(jié)論是只要邊際分布形式符合實(shí)際，CML方法較前兩種方法更加精確。因此在本文的實(shí)證研究中采用CML法進(jìn)行Copula函數(shù)參數(shù)的估計(jì)。

1.3 Copula函數(shù)的檢驗(yàn)與選優(yōu)

對(duì)于估計(jì)得到的Copula函數(shù)，我們需要進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)以確定其有效性。在本研究中，我們采用K-S檢驗(yàn)。KS檢驗(yàn)是非參數(shù)檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)值T定義為經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)與理論累積分布函數(shù)之間的最大差異其中，為經(jīng)驗(yàn) Copula 函數(shù)[7]，F(xiàn)(x)為理論 Copula 函數(shù)。

2 邊際分布的選擇與Copula-GARCH模型的構(gòu)建

根據(jù)Copula理論，在確定了描述資產(chǎn)相依結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)后，只要能夠確定各資產(chǎn)變量的邊際分布，即可獲得整個(gè)資產(chǎn)組合的聯(lián)合分布，進(jìn)而計(jì)算出資產(chǎn)組合的VaR。大量的金融時(shí)間序列研究發(fā)現(xiàn)，金融時(shí)間序列的波動(dòng)分布是隨時(shí)間變化的，存在著明顯的波動(dòng)聚集效應(yīng)，而GARCH族模型是目前最成熟的單變量金融時(shí)間序列波動(dòng)模型，因此在本研究中，我們采用GARCH族模型來(lái)刻畫(huà)聯(lián)合分布的條件邊際分布。于是，我們可以構(gòu)建出描述投資組合收益聯(lián)合分布的Copula-GARCH模型：

假設(shè){y1t}t=1T,…,{yNt}t=1T為N個(gè)服從GARCH過(guò)程的隨機(jī)變量，結(jié)合Copula理論，我們可以得到N元Copula-GARCH模型：

其中C為任意形式的N元條件Copula函數(shù)，F(xiàn)nt為聯(lián)合分布的邊際分布，隨機(jī)干擾項(xiàng)ξ1t,…,ξNt可以是服從獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)t正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)t分布或其他分布。根據(jù)（3）式，我們得到y(tǒng)1,…,yN的聯(lián)合分布：

3 Copula函數(shù)的模擬與VaR計(jì)算

對(duì)于大多數(shù)的Copula函數(shù)，其相應(yīng)的逆函數(shù)的解析式一般很難求出，因此我們常采用蒙特卡羅模擬法來(lái)實(shí)現(xiàn)VaR的計(jì)算。完整的基于Copula理論的多資產(chǎn)投資組合VaR計(jì)算的步驟為：⑴確定恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)C和邊際分布Fn(x)的形式并估計(jì)分布參數(shù)，組建基于Copula的聯(lián)合分布模型；⑵根據(jù)多元Copula仿真技術(shù)生成邊際分布隨機(jī)數(shù)；⑶根據(jù)，rn=Fn-1(un)得到與邊際分布隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益；⑷計(jì)算投資組合的收益，由此得到投資組合未來(lái)收益的一個(gè)可能情景；⑸重復(fù)步驟⑵~⑷k次，得到k個(gè)投資組合未來(lái)收益的可能情景，從而獲得投資組合未來(lái)收益的模擬經(jīng)驗(yàn)分布，給定置信水平α，即可根據(jù)P{rp≤-VaR}=α，得到投資組合的VaR。

4 實(shí)證研究

4.1 Copula-GARCH模型的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)

4.1.1 樣本的選取

本研究選取了滬深300材料指數(shù)（399909）、300工業(yè)指數(shù) （399910）、300 公 用 指 數(shù) （399917）、300 金 融 指 數(shù)（399914）、300 能源指數(shù) （399908）、300 消費(fèi)指數(shù)（399912）、300信息指數(shù)（399915）和 300醫(yī)藥指數(shù)（399913）八個(gè)行業(yè)板塊指數(shù)的日收益率作為研究對(duì)象。研究所需原始數(shù)據(jù)來(lái)源于中證指數(shù)有限公司發(fā)布的自2007年9月26日至2009年12月31日的552組交易日的歷史收盤(pán)價(jià)。根據(jù)收益率計(jì)算公式，共得到551組收益率樣本觀測(cè)值。其中，2009年8月5日前的451組觀測(cè)值用于估計(jì)參數(shù)，之后的100組觀測(cè)值用于回測(cè)檢驗(yàn)。

4.1.2 Copula函數(shù)的估計(jì)

我們采用規(guī)范極大似然法（CML）估計(jì)八個(gè)指數(shù)的Copula函數(shù)，得到結(jié)果見(jiàn)表1、表2。

表1 正態(tài)Copula函數(shù)的參數(shù)矩陣ρ的估計(jì)結(jié)果

表2 t-Copula函數(shù)的參數(shù)矩陣ρ的估計(jì)結(jié)果

4.1.3 Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

我們對(duì)估計(jì)出的正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，得到的結(jié)果如表3。

從K-S檢驗(yàn)的結(jié)果看，正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)的K-S檢驗(yàn)的相伴概率p值分別為0.4310和0.3397，均通過(guò)了顯著性水平0.05的K-S檢驗(yàn)，因此兩個(gè)Copula函數(shù)均可用于描述投資組合內(nèi)部的相依結(jié)構(gòu)。

4.1.4 邊際分布模型的選擇與參數(shù)估計(jì)

⑴均值方程的確定

經(jīng)我們對(duì)八個(gè)行業(yè)指數(shù)的收益率作ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)、滯后20階的序列自相關(guān)檢驗(yàn)以及對(duì)各指數(shù)收益率的GARCH過(guò)程進(jìn)行擬合檢驗(yàn)后可以確定：（5）式均可作為各指數(shù)收益率GARCH模型的均值方程

檢驗(yàn)表明，對(duì)于各行業(yè)指數(shù)，通過(guò)選擇合適的方差方程，（5）式的殘差序列不再存在序列自相關(guān)和ARCH效應(yīng)。

⑵方差方程的確定

我們用GARCH族模型對(duì)各行業(yè)指數(shù)收益率進(jìn)行擬合。根據(jù)AIC和SC信息準(zhǔn)則，經(jīng)過(guò)比較選擇，我們確定八個(gè)行業(yè)指數(shù)收益率GARCH模型的方差方程類(lèi)型見(jiàn)表4。

由此可見(jiàn)，行業(yè)指數(shù)收益率所服從的條件分布各不相同。根據(jù)Eviews軟件的計(jì)算，我們得到各行業(yè)指數(shù)收益率的GARCH模型參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果如表5。

從均值方程的估計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果看，各均值方程的截距項(xiàng)在0.05的水平下均不顯著，說(shuō)明在觀測(cè)階段，行業(yè)指數(shù)收益率與零值無(wú)統(tǒng)計(jì)上的差異；從方差方程的估計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果看，各方差方程的GARCH項(xiàng)系數(shù)、ARCH項(xiàng)系數(shù)以及杠桿系數(shù)均通過(guò)了顯著性水平0.05的檢驗(yàn)；我們對(duì)均值方程的殘差項(xiàng)進(jìn)行了檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)各估計(jì)方程的殘差項(xiàng)均不再存在自相關(guān)和ARCH效應(yīng)，因此我們認(rèn)為，估計(jì)出的GARCH族模型可以用來(lái)描述實(shí)際資產(chǎn)收益率序列的波動(dòng)。

表3 理論Copula函數(shù)的K-S檢驗(yàn)

表4 各行業(yè)指數(shù)條件方差方程的選擇

表5 行業(yè)指數(shù)收益率GARCH模型參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果

表6 不同方法得到的T+1日投資組合VaR結(jié)果比較 （單位：%）

上文中，我們確定了描述資產(chǎn)收益間相依結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)，也確定了各資產(chǎn)收益的邊際分布，下面即可通過(guò)進(jìn)行蒙特卡羅模擬法計(jì)算投資組合的VaR。

4.2 投資組合VaR的計(jì)算與回測(cè)檢驗(yàn)

4.2.1 未來(lái)收益分布的模擬與VaR計(jì)算

為便于說(shuō)明，我們令用于計(jì)算的觀測(cè)樣本最后一日即2009年8月5日為T(mén)日。設(shè)第T+1日的初始總投資為1，對(duì)各行業(yè)指數(shù)的資金投入平均分配。首先，按照選定的Copula函數(shù)生成10000個(gè)隨機(jī)數(shù)，即對(duì)應(yīng)10000個(gè)可能的情景，并以各邊際分布的GARCH模型模擬推算各行業(yè)指數(shù)T+1日的收益率，最后計(jì)算出T+1日的投資組合收益率。經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算，得到以正態(tài)Copula-GARCH模型和t-Copula-GARCH模型（ν=8.6262）分別模擬得到的T+1日的投資組合收益率分布直方圖如圖1所示。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，兩個(gè)分布的峰度分別為3.4296和3.4214，J-B統(tǒng)計(jì)值分別為79.44和75.64，均顯著不同于正態(tài)分布，這符合經(jīng)驗(yàn)收益分布的尖峰、厚尾特征。從圖形直觀地觀察，由兩個(gè)Copula-GARCH模型分別模擬得到的投資組合收益率分布的差異較小。之后對(duì)分別得到的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行排頻，并根據(jù)設(shè)定的置信水平得到投資組合T+1日的風(fēng)險(xiǎn)值VaR。這里設(shè)定置信水平分別為95%，97.5%和99%，得到的模擬結(jié)果如表6。為便于比較，我們同時(shí)給出了歷史模擬法和Riskmetrics參數(shù)法的計(jì)算結(jié)果。

可以看到，由歷史模擬法得到的VaR的絕對(duì)值在4個(gè)不同的置信水平下均是最大的，以正態(tài)假設(shè)為基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)Riskmetrics參數(shù)法計(jì)算得到的VaR的絕對(duì)值在4個(gè)不同的置信水平下均是最小的，而由Copula-GARCH模型模擬得到的結(jié)果介于前二者之間。

4.2.2 回測(cè)檢驗(yàn)及模型的比較

為確定究竟哪種方法更加準(zhǔn)確，需要進(jìn)行回測(cè)檢驗(yàn)。分別以上述四種方法計(jì)算了自T+1日至T+100日的8個(gè)行業(yè)指數(shù)投資組合的VaR，其中歷史模擬法和Riskmetrics法以經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)推算，Copula-GARCH方法以蒙特卡羅模擬法推算投資組合收益未來(lái)100天的10000條路徑，然后對(duì)模擬得到的每日的投資組合收益率進(jìn)行排頻，最后根據(jù)設(shè)定的置信水平得到VaR。自T+1日至T+100日共100天的VaR回測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖2和表7。

表7 八行業(yè)指數(shù)投資組合的VaR回測(cè)檢驗(yàn)結(jié)果

回測(cè)結(jié)果分析：

⑴在95%的置信水平下，由歷史模擬法、Riskmetrics、正態(tài)Copula-GARCH及t-Copula-GARCH蒙特卡羅模擬四種方法預(yù)測(cè)得到的VaR在后來(lái)的100天內(nèi)分別失敗了3次、6次、5次和5次，回測(cè)結(jié)果均通過(guò)了Kupiec檢驗(yàn)，可見(jiàn)在95%的置信水平下，上述四種方法都可以用來(lái)預(yù)測(cè)投資組合的VaR。從LR統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p值來(lái)看，兩個(gè)Copula-GARCH模型的表現(xiàn)最好，而Riskmetrics模型也表現(xiàn)良好，歷史模擬法則稍劣于前三種模型。

從經(jīng)濟(jì)角度看，以Riskmetrics方法計(jì)算VaR最節(jié)約風(fēng)險(xiǎn)資本，運(yùn)用Copula-GARCH模型較Riskmetrics方法要平均增加8.83%的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備，以歷史模擬方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制的機(jī)構(gòu)則需要較Riskmetrics方法增加37.89%的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備。

⑵在97.5%的置信水平下，由四種方法預(yù)測(cè)得到的VaR在后來(lái)的100天內(nèi)分別失敗了2次、5次、4次和4次，回測(cè)結(jié)果也都通過(guò)了Kupiec檢驗(yàn)。從LR統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p值來(lái)看，歷史模擬法表現(xiàn)最好，兩個(gè)Copula-GARCH模型的表現(xiàn)也不錯(cuò)，而Riskmetrics模型則稍顯低估了風(fēng)險(xiǎn)。

從經(jīng)濟(jì)角度看，以Riskmetrics方法計(jì)算VaR仍然最節(jié)約風(fēng)險(xiǎn)資本，運(yùn)用正態(tài)Copula-GARCH模型或t-Copula-GARCH模型較運(yùn)用Riskmetrics方法要平均增加11.72%和12.44%的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備，而以歷史模擬方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制的機(jī)構(gòu)需要較Riskmetrics方法增加38.04%的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備。

⑶在99%的置信水平下，由四種方法預(yù)測(cè)得到的VaR在后來(lái)的100天內(nèi)分別失敗了0次、4次、1次和1次，Riskmetrics方法不能通過(guò)顯著性水平為0.05的Kupiec回測(cè)檢驗(yàn)，已不能運(yùn)用于中國(guó)股票市場(chǎng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)控制。從LR統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p值來(lái)看，正態(tài)Copula-GARCH及t-Copula-GARCH模型的表現(xiàn)一樣好，由其計(jì)算出的VaR正好覆蓋了后來(lái)100天內(nèi)的99天的風(fēng)險(xiǎn)，而歷史模擬法又再次表現(xiàn)出一定的高估風(fēng)險(xiǎn)的跡象。

從經(jīng)濟(jì)角度看，由于Riskmetrics方法已不能準(zhǔn)確刻畫(huà)99%置信水平下的投資組合風(fēng)險(xiǎn)，因此我們只比較其他三種方法。從得到的VaR的均值看，正態(tài)Copula-GARCH模型在三者中是最經(jīng)濟(jì)的，但運(yùn)用t-Copula-GARCH模型也僅僅較前者平均增加1.57%的準(zhǔn)備金，而以歷史模擬方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制的機(jī)構(gòu)則需要較運(yùn)用正態(tài)Copula-GARCH方法的機(jī)構(gòu)增加22.16%的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備資本金。

5 結(jié)論

在本研究中，歷史模擬法無(wú)論是在三種置信水平下都是經(jīng)濟(jì)成本最高的模型，這與觀測(cè)期內(nèi)有較多大的波動(dòng)而回測(cè)期內(nèi)波動(dòng)減小有直接關(guān)系。從VaR的回測(cè)圖形及標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，由歷史模擬法得到的VaR變動(dòng)很小，不能快速反映市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的變化，這樣，當(dāng)市場(chǎng)從大波動(dòng)期向小波動(dòng)期轉(zhuǎn)換時(shí)，歷史模擬法會(huì)高估市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，增大金融機(jī)構(gòu)成本，而在市場(chǎng)從小波動(dòng)期向大波動(dòng)期轉(zhuǎn)換時(shí)，又會(huì)低估市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，引發(fā)金融機(jī)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)。

其他三種模型均可快速反映市場(chǎng)波動(dòng)的變化?；谡龖B(tài)資產(chǎn)收益分布正態(tài)假設(shè)的Riskmetrics模型在較低的置信水平下是良好的、經(jīng)濟(jì)的風(fēng)險(xiǎn)控制模型，但其缺點(diǎn)是在高置信水平下會(huì)明顯低估市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，這對(duì)于金融機(jī)構(gòu)是危險(xiǎn)的。而正態(tài)Copula-GARCH模型和t-Copula-GARCH模型雖然沒(méi)有Riskmetrics模型經(jīng)濟(jì)，但其在各置信水平下都能比較準(zhǔn)確地覆蓋風(fēng)險(xiǎn)，綜合比較起來(lái)，Copula-GARCH模型是金融機(jī)構(gòu)測(cè)度投資組合VaR的理想方法。就這兩種Copula-GARCH模型而言，兩個(gè)模型的波動(dòng)刻畫(huà)能力在總體上差異很小。正態(tài)Copula模型在計(jì)算時(shí)相對(duì)容易，而t-Copula模型則對(duì)市場(chǎng)極端的波動(dòng)更加敏感一些，二者各有優(yōu)劣，金融機(jī)構(gòu)可根據(jù)自己的偏好選擇使用。

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（責(zé)任編輯/浩 天）

F224.9

A

1002－6487（2011）03－0037-04

趙 鵬（1976-），男，河南鄭州人，博士研究生，研究方向：金融理論與貨幣政策、金融風(fēng)險(xiǎn)管理。