尤爾建立時(shí)間序列線性自回歸AR(P)模型的歷史過程探析

聶淑媛

（1．西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心，西安 710127；2．河南科技大學(xué) 林業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南 洛陽 471002）

尤爾建立時(shí)間序列線性自回歸AR(P)模型的歷史過程探析

聶淑媛1，2

（1．西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心，西安 710127；2．河南科技大學(xué) 林業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南 洛陽 471002）

文章透過尤爾的生平經(jīng)歷及研究背景，立足于原始文獻(xiàn)，從變量差分方法和無意義相關(guān)以及時(shí)間序列的分類等基礎(chǔ)性工作出發(fā)，深入探討了模型的歷史形成過程及其意義。

尤爾；AR（P）模型；變量差分方法；相關(guān)

現(xiàn)行的時(shí)間序列分析領(lǐng)域普遍認(rèn)為時(shí)間序列分析方法起源于19世紀(jì)20年代，由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家尤爾首創(chuàng)，但許多著作中僅限于指出這一事實(shí)，并未具體分析。本文將從挖掘尤爾的生平經(jīng)歷及研究背景入手，立足于原始文獻(xiàn)，試圖對尤爾建立模型的歷史形成過程追根溯源。

1 尤爾生平與研究背景

尤爾 （George Udny Yule），1871年2月 18日生于蘇格蘭哈丁頓附近的蒙哈姆，其家庭有良好的學(xué)識(shí)聲譽(yù)，他的叔父亨利尤爾（Henry Yule，1820~1889）是英國著名的地理學(xué)家和東方學(xué)專家，并于1889年被封為爵士。因此，尤爾從小就受到較好的教育，13歲進(jìn)入文契斯特學(xué)院學(xué)習(xí)，1887年16歲時(shí)到倫敦大學(xué)學(xué)院攻讀工程學(xué)，1890年獲得學(xué)位并從事工程學(xué)領(lǐng)域的工作兩年，1892年開始轉(zhuǎn)向物理學(xué)，一年內(nèi)相繼發(fā)表了四篇有關(guān)電波方面的文章。盡管尤爾在這兩方面頗有建樹，但他本人覺得似乎還沒有找到一個(gè)自己特別感興趣并且能夠終生研究的方向，所幸的是，1893年夏，當(dāng)他從德國回到倫敦時(shí)，英國著名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家、近代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基者皮爾遜（Karl Pearson，1857~1936）幫助他申請到了倫敦大學(xué)學(xué)院的教師職位，從此，尤爾師從皮爾遜，開始涉足統(tǒng)計(jì)學(xué)這個(gè)嶄新也影響其一生的領(lǐng)域。在皮爾遜的鼓勵(lì)和指導(dǎo)下，尤爾1895年就發(fā)表了他在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的第一篇論文，其接下來關(guān)于回歸和序列相關(guān)的一系列文章，為這兩方面統(tǒng)計(jì)理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也創(chuàng)造了時(shí)間序列分析的現(xiàn)代起源，其中關(guān)于時(shí)間序列分析方面影響最大的三篇文章都發(fā)表于19世紀(jì)20年代。本文將通過對文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]的細(xì)致剖析，結(jié)合相關(guān)的其它原始文獻(xiàn)[4]、[5]，以及關(guān)于尤爾的研究文獻(xiàn)[6]、[7]、[8]、[9]等，具體探究線性自回歸模型的形成過程。值得一提的是，尤爾是位多產(chǎn)的科學(xué)家，他的經(jīng)典名著《統(tǒng)計(jì)理論入門》以其1902~1909年期間在倫敦大學(xué)學(xué)院的統(tǒng)計(jì)學(xué)講稿為基礎(chǔ)，1911年首次出版，到1950年已經(jīng)出版到第14版，并且在很長時(shí)間內(nèi)都是唯一的一本關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)的綜合書籍，奈曼（Neyman，J.1894~1981）等人給予極高的評價(jià)；其晚年的著作《文學(xué)詞匯統(tǒng)計(jì)》研究各類詞在各種書籍中出現(xiàn)的頻率。尤爾的研究領(lǐng)域及其廣泛，除了以上已經(jīng)提到的幾個(gè)方面，更為隨機(jī)分布理論、部分相關(guān)分布的費(fèi)希爾求導(dǎo)等理論的發(fā)展做了大量的基礎(chǔ)工作，現(xiàn)代概率論中大家比較熟悉的以尤爾命名的有著名的尤爾分布和尤爾—沃克方程。尤爾于1911年獲得英國皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的最高獎(jiǎng)—蓋伊金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)拢?924~1926年任皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的主席，1931年于劍橋大學(xué)退休。

2 基礎(chǔ)鋪墊

尤爾創(chuàng)建自回歸過程的起因是基于自己的一大困惑：為什么統(tǒng)計(jì)學(xué)家（尤其是那些與經(jīng)濟(jì)和社會(huì)數(shù)據(jù)打交道的統(tǒng)計(jì)學(xué)家）經(jīng)常會(huì)從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中得到奇怪的相關(guān)？他在1921年和1926年的兩篇文章，即文獻(xiàn)[1]、[2]中，逐步地解決了這一疑問，同時(shí)也構(gòu)造了其關(guān)于時(shí)間序列研究的基礎(chǔ)性工作。

2.1 變量差分方法

文獻(xiàn)[1]也是尤爾1921年5月24日在皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)上的講稿，首先探討時(shí)間相關(guān)的本質(zhì)問題。尤爾指出，時(shí)間相關(guān)問題是關(guān)于隨時(shí)間變化的兩個(gè)變量間的關(guān)系問題，而這個(gè)問題的提出比相關(guān)系數(shù)的誕生要早了很多，統(tǒng)計(jì)學(xué)家對此尤感興趣。文章列舉了1914年以前已經(jīng)做過的相關(guān)工作：波因廷（Poynting，J.H.1852—1914）教授 1884年借助于小麥價(jià)格及棉花和絲綢的進(jìn)口問題討論了關(guān)系的本質(zhì)；Hooker，R.H.1901年研究了婚姻率和貿(mào)易的密切相關(guān)，其方法和波因廷的方法大致相同，但他引入了相關(guān)系數(shù)和瞬時(shí)平均的概念，討論問題更為精確。同時(shí)，Hooker在《柏林農(nóng)產(chǎn)品兌換率的懸而未決及其對谷物價(jià)格的影響》一文中首次提出了差分方法，但他當(dāng)時(shí)沒有解決這個(gè)問題，直到四年后，才專門討論了該方法，并用谷物價(jià)格一例說明了其應(yīng)用，而且Hooker還首次描述性地說明了滑動(dòng)平均方法；F.E.Cave1904年關(guān)于氣壓表相關(guān)問題的討論中也使用了一階差分方法；Monsieur March則對整個(gè)問題進(jìn)行了總結(jié)，包括差分方法和滑動(dòng)平均法。至此，尤爾總結(jié)得出：對于個(gè)別研究而言，時(shí)間相關(guān)問題可以說是不同持續(xù)時(shí)間振蕩的分離問題。

而斯圖登和安德森結(jié)合皮爾遜的觀點(diǎn)——只有當(dāng)變量和時(shí)間是線性關(guān)系時(shí)，一階差分方法才有效，試圖把Hooker的差分方法一般化，他們進(jìn)一步提出把隨機(jī)變量x、y表示成關(guān)于時(shí)間的多項(xiàng)式與隨機(jī)殘差的和

其中，x、y在次序上不是隨機(jī)的，而X、Y是隨機(jī)的，為了減少時(shí)間的分量，以及決定隨機(jī)殘差間是否有相關(guān)性，只有進(jìn)行高階差分，直到x、yn階差分的相關(guān)與n+1階差分的相關(guān)相等，則x、yn階差分的相關(guān)與X、Yn階差分的相關(guān)相等，從而也和X、Y本身的相關(guān)相等。應(yīng)該說，他們創(chuàng)立了相關(guān)的新觀點(diǎn)，斯圖登1914年把他的方法總結(jié)在《減少由于時(shí)間或空間的位置引起的偽相關(guān)》一文中，認(rèn)為由于變量是時(shí)間的函數(shù)，時(shí)間相關(guān)是偽相關(guān)。B.Cave和皮爾遜則稱其為變量差分相關(guān)方法，并通過一些意大利經(jīng)濟(jì)序列驗(yàn)證了方法的可行性。但尤爾卻對斯圖登和安德森提出的變量只表示為時(shí)間的多項(xiàng)式函數(shù)和隨機(jī)殘差提出質(zhì)疑，并拋出Elderton和皮爾遜的觀點(diǎn)——即便是任何適度數(shù)量的差分，也不能減小較短的周期性。那么，分離隨機(jī)殘差還是否有意義？差分是否趨向于減小周期項(xiàng)？為了解答疑問，尤爾借助于調(diào)和函數(shù)對變量差分方法進(jìn)行探討，因?yàn)樗J(rèn)定許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列模型中都包含調(diào)和函數(shù)。設(shè)

這里，T為周期，τ為相位，h為間隔，A為振幅，可得一階差分

但是，時(shí)間相關(guān)問題仍然困擾著尤爾，他認(rèn)為時(shí)間不能是一個(gè)因果因素，變量不是與時(shí)間相關(guān)，他不能認(rèn)同變量是時(shí)間的函數(shù)這一假定，而這一關(guān)系卻隱含在變量差分方法和調(diào)和分析中，于是，尤爾從其物理學(xué)背景出發(fā)，以差分法的應(yīng)用和對時(shí)間相關(guān)問題的求解為基礎(chǔ)，通過試驗(yàn)進(jìn)一步探索時(shí)間序列無意義相關(guān)的問題。

2.2 時(shí)間序列的分類和無意義相關(guān)問題

文獻(xiàn)[2]首先通過對比分析1866~1911年間在英國國教會(huì)結(jié)婚的人數(shù)占全部結(jié)婚人數(shù)的比例與每千人的標(biāo)準(zhǔn)死亡率之間的相關(guān)關(guān)系，解釋了無意義相關(guān)的含義—在通常的相關(guān)檢驗(yàn)下，變量x、y是高度相關(guān)的，是數(shù)學(xué)上有意義的相關(guān)，但這類相關(guān)沒有任何“現(xiàn)實(shí)”的意義，實(shí)際上是零相關(guān)的。然后討論當(dāng)兩個(gè)變量、服從具有較長時(shí)間間隔的正弦曲線時(shí)，相位的差異將使得長范圍內(nèi)的相關(guān)為0。文中以1/4周期的相位差異為例，假定間隔無限小時(shí)，以直代曲，中心元沿著圖形從左向右移動(dòng)，相關(guān)系數(shù)從-1到1，沒有其余的中間項(xiàng)，也就是說相關(guān)的分布是雙峰分布。尤爾給定了長度為0.1、0.3…0.9個(gè)周期時(shí)，調(diào)和曲線兩個(gè)瞬時(shí)有限元之間的相關(guān)頻率分布，并分析得出：這些分布圖都是U-形和對稱的，我們在時(shí)間序列中有時(shí)會(huì)得到無意義的相關(guān)，就是因?yàn)樵谀承顟B(tài)下，一些時(shí)間序列在某種程度上和上面所列舉的調(diào)和序列相似。而且，尤爾通過試驗(yàn)得出：當(dāng)兩個(gè)試驗(yàn)序列的隨機(jī)樣本具有U-形相關(guān)分布時(shí)，不只是每一個(gè)序列正相關(guān)，而且它們的差分序列也是正相關(guān)。尤爾意識(shí)到，無意義相關(guān)正是由于序列或升或降、一點(diǎn)也不水平的情形，這就促使他根據(jù)序列相關(guān)的本質(zhì)，即rk的函數(shù)形式，對時(shí)間序列進(jìn)行了分類：

①零相關(guān)的隨機(jī)序列，最簡單的情形，對于二元相關(guān)不存在任何問題；

②序列本身是相關(guān)的，但其一階差分是隨機(jī)的，這類序列可以通過對隨機(jī)序列 a、b、c、d…連續(xù)相加形成 a、a+b、a+b+d…；

③序列本身和一階差分都是正相關(guān)的，而其二階差分是隨機(jī)的，可以通過對②中的新序列再次相加形成a、2a+b、3a+2b+c、4a+3b+2c+d…。

尤爾分析討論了三類序列并得到：相關(guān)的分布特別依賴于一階差分的相關(guān)性，而不是序列本身的相關(guān)性。所以，根據(jù)一階差分的相關(guān)性，重點(diǎn)分析了第③類序列，尤爾稱之為差分本身也是連接序列的連接序列。因?yàn)檎倚蛄幸浑A差分的相關(guān)與變量本身的相關(guān)完全相同，正是這類序列的典型例子，所以，尤爾以正弦波動(dòng)為例進(jìn)行試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)該類序列趨向于給定一個(gè)完全發(fā)散、-形的相關(guān)頻率分布，趨向于在樣本間產(chǎn)生高度正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而與相關(guān)的真實(shí)值沒有任何聯(lián)系。當(dāng)然，這也就是在二元分析中特別易于導(dǎo)致錯(cuò)誤推斷的“危險(xiǎn)”序列，即產(chǎn)生無意義相關(guān)的序列。與此類比，尤爾也分析了第②類序列，他稱之為差分隨機(jī)的連接序列，該類序列將會(huì)產(chǎn)生較高的標(biāo)準(zhǔn)誤差，但不會(huì)必然地趨向于誤導(dǎo)為無意義相關(guān)。尤爾也通過分析著名的William Beveridges小麥價(jià)格指數(shù)序列和Greenwich降雨量序列，驗(yàn)證了上述結(jié)論。

當(dāng)然，尤爾也特別強(qiáng)調(diào)了振蕩序列在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要性，事實(shí)上，振蕩序列出現(xiàn)的頻率最高，因?yàn)檎嬲闹芷谛蛄惺呛芴厥獾模袷幮蛄胁灰欢ň哂兄芷谛?，文獻(xiàn)[3]研究的就是振蕩時(shí)間序列。

至此，尤爾解決了困惑自己多年的一大難題，他可以清楚地識(shí)別，并且從數(shù)學(xué)角度描述無意義相關(guān)的序列。這類序列的時(shí)間圖對于延長的周期展示了或升或降的趨勢，而這種趨勢給出序列隨時(shí)間的連續(xù)性，時(shí)間不能是一個(gè)因果因素，序列不是和時(shí)間相關(guān)。同時(shí)，大量的時(shí)間序列，尤其是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)證實(shí)，序列是部分地自我決定的。變量不是其他因果變量的簡單函數(shù)，如關(guān)于的回歸關(guān)系；也不是時(shí)間的簡單函數(shù)，如的周期圖中的關(guān)系，它們有自己的自我決定“生命表”。尤爾用相關(guān)去決定以前的哪一個(gè)值和另一個(gè)值最高度相關(guān)，什么間隔、什么位置間可以產(chǎn)生最高的相關(guān)，這正是文獻(xiàn)[3]中尤爾創(chuàng)建模型的指導(dǎo)性思路。

3 創(chuàng)建過程

文獻(xiàn)[3]是尤爾創(chuàng)建模型的經(jīng)典著作，文章通過分析單擺運(yùn)動(dòng)和太陽黑子序列，研究了振蕩時(shí)間序列的周期。

3.1 AR(2)模型

首先利用疊加波動(dòng)和擾動(dòng)分析單擺運(yùn)動(dòng)。圖1（a）表示時(shí)間的簡單調(diào)和函數(shù)，其隨機(jī)誤差由擲骰子決定；誤差量增大，如圖1（b）所示，這兩種情形都可以用周期圖進(jìn)行分析，而且當(dāng)給定的周期數(shù)充分大時(shí)，周期圖分析中的周期和振幅就會(huì)與基本調(diào)和函數(shù)的周期和振幅極其逼近。當(dāng)我們在較短的等時(shí)間間隔內(nèi)觀察單擺運(yùn)動(dòng)的偏差時(shí)，觀察誤差會(huì)引起圖2所示的那種疊加波動(dòng)，自動(dòng)記錄方法和器械的改進(jìn)可以減小誤差。當(dāng)單擺只受到孩子用豌豆的投擲，并且時(shí)而在這一側(cè)，時(shí)而在另一側(cè)，此時(shí)，單擺只受真實(shí)的擾動(dòng)，而不是疊加波動(dòng)。

為了創(chuàng)建對這類曲線的逼近，對于（1）式化簡整理，可得二階差分

顯然，（2）式也可以整理為

如果沒有擾動(dòng)項(xiàng)，根據(jù)（3）式，也可以給出一般項(xiàng)ux與ux-1、ux-2之間的關(guān)系

如果有擾動(dòng)，則可記為

其中，ε是隨脈沖或擾動(dòng)變化的誤差。

式（5）即為經(jīng)典的模型，也是現(xiàn)代時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)與起源。因?yàn)檫@是現(xiàn)在稱之為平穩(wěn)時(shí)間序列線性自回歸的第一個(gè)完整的公式，也是誤差項(xiàng)ε被用來表示隨機(jī)擾動(dòng)而不是測量誤差的第一個(gè)例子。

尤爾依據(jù)（5）式作圖2，計(jì)算并分析得出：對于單擺運(yùn)動(dòng)，令人驚奇的是，盡管振幅和相位連續(xù)變化，但圖形仍然保持平滑，即使增加擾動(dòng)量也只是增加振幅，沒有突變的量。同時(shí)，從沃爾夫的年太陽黑子序列圖形上看，確實(shí)存在一些小的不規(guī)則性，意味著疊加振蕩的存在，這可能是由觀測誤差的特性造成的，但總體上圖形特別平滑，且和真實(shí)周期的偏離都是來自于振幅和相位的變化，和圖2中的情形完全相同，而不同于圖1。所以，問題已經(jīng)脫離開周期圖分析方法，需要確定的不再僅僅是周期，而且包括擾動(dòng)的值，顯然要從（5）式入手，當(dāng)只有一個(gè)周期時(shí)，假定ε=0，可得

其中k=2-μ由最小二乘法決定。利用這種方法，尤爾對圖2分成兩組進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果很滿意。但當(dāng)把1749~1924年的太陽黑子序列作為一個(gè)整體進(jìn)行研究時(shí)，得到周期為10.08，尤爾認(rèn)為該周期明顯太低，究其原因，可能是由于疊加波動(dòng)的存在，所以，尤爾對數(shù)據(jù)分級，以減小不規(guī)則性，算得周期為11.03年，與通常給定的值比較接近，擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差也大大降低。對于未分級和分級的太陽黑子序列，利用點(diǎn)圖驗(yàn)證了ux+ux-2對于ux-1的線性回歸關(guān)系。

3.2 AR（4）模型

當(dāng)有2個(gè)周期時(shí)，設(shè)一般項(xiàng)

給定5個(gè)連續(xù)項(xiàng)ux-4到ux，其中ux-2是中心項(xiàng)，視ux-2為a和ux-2-a的復(fù)合，則有

整理可得

當(dāng)有擾動(dòng)時(shí)

這就是一個(gè)模型，但根據(jù)這種情形，尤爾計(jì)算得出太陽黑子序列和分級序列的擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差分別為21.95和17.47，比只有一個(gè)周期時(shí)的17.05和11.43還要高，究其原因是因?yàn)橄拗屏嘶貧w方程的特定形式—ux-1和 ux-3的系數(shù)相同，而的系數(shù)為1。 所以，盡管（10）式應(yīng)用了以前的更多項(xiàng) （從ux-1到 ux-4）去估計(jì) ux，從理論上比（5）式更先進(jìn)，但在太陽黑子問題的研究中由于沒能得到更為理想的結(jié)果，而不為后人所重視，以至于現(xiàn)在提到這一工作時(shí)，基本上還是認(rèn)定尤爾首創(chuàng)模型分析了太陽黑子序列的周期。但上述分析結(jié)果同時(shí)證實(shí)了擾動(dòng)的存在，而且正是這種不同于疊加波動(dòng)的擾動(dòng)，給定了隨時(shí)間快速增長的不可預(yù)報(bào)因素。同時(shí)，從另一個(gè)角度來講，這個(gè)結(jié)果也顯示除了基本周期外，太陽黑子序列的其他周期并不存在，這個(gè)推斷與Larmor和Yamaga的結(jié)論是一致的。

3.3 回歸方程法

尤爾考慮的更一般方法是只找對于和的線性回歸方程，如果必須考慮更多項(xiàng)，可借助有限差分方程來解決，當(dāng)只有一個(gè)周期時(shí)，對于普通回歸方程

如果曲線有周期，方程E2=b1E+b2=0的根必定是虛數(shù)。設(shè)根為 α±iβ，令 α2+β2=b2=e2λ和 tanθ=β/α，則差分方程（11）的一般解為 ux=eλx(Acosθx+Bsinθx)。 對于真實(shí)物理現(xiàn)象，一般期望λ<0，方程的解表示阻尼調(diào)和振動(dòng)；或者λ=0，解為簡單的調(diào)和振動(dòng)，此時(shí)b2=1。利用回歸方程法，尤爾檢驗(yàn)了圖2中的數(shù)據(jù)和太陽黑子序列，計(jì)算得出的周期與調(diào)和曲線方程中的結(jié)論極其接近，又通過偏回歸及其比率的引入，結(jié)合從（11）式中推斷的擾動(dòng)總結(jié)得出太陽黑子序列的兩大基本特征：

①正的、高度變化的擾動(dòng)占優(yōu)勢的趨勢與完全相反的趨勢以40～42年的間隔交替出現(xiàn)；

②正擾動(dòng)接近太陽黑子數(shù)的最大值和負(fù)擾動(dòng)接近最小值的趨勢。

由于最終所希求的不是簡單阻尼調(diào)和函數(shù)，而是阻尼調(diào)和振動(dòng)的平方，這個(gè)函數(shù)差分方程有第三項(xiàng)，因此，除了ux-1和ux-2，在回歸方程中還需要探求包括在內(nèi)的項(xiàng)。但是，相關(guān)的調(diào)查表明，把以后更多的項(xiàng)帶入未分級的數(shù)據(jù)是沒用的，即使對于分級數(shù)據(jù)，作用也很小，強(qiáng)調(diào)了擾動(dòng)才是隨時(shí)間快速增長的不可預(yù)報(bào)因素。因此，雖然回歸方程的形式看起來充滿希望，但結(jié)論卻令人失望，更深入的工作思路被阻。

為了比較回歸方法與以前的周期圖分析方法，尤爾對擾動(dòng)序列進(jìn)行兩次試驗(yàn)，第一次是把所有觀察對象分成4組，每組大約有70～80個(gè)對象，討論了7個(gè)周期；第二次是把序列作為一個(gè)整體，在周期9～11之間進(jìn)行細(xì)致的周期圖分析。結(jié)果表明：當(dāng)只有7個(gè)或8個(gè)周期時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果高度不穩(wěn)定；而周期數(shù)比較大時(shí)，比如30個(gè)，由于基本周期和表觀強(qiáng)度的減少，使得其主要影響是帶的加寬，所以，造成了誤差的較大邊緣，這可能會(huì)使人產(chǎn)生誤解。

4 結(jié)語

盡管尤爾謙虛地認(rèn)為自己使用的調(diào)和曲線方程和回歸方程法未必是最好的方法，甚至也不可能是任何情況下都適用的，但尤爾自信這里提出了一個(gè)新的問題。事實(shí)上，正是基于尤爾對經(jīng)驗(yàn)序列和太陽黑子數(shù)序列的調(diào)和曲線方程和回歸方程的建立與比較，才使人們理解并不是所有的時(shí)間序列都可以看做是時(shí)間的函數(shù)，與其滯后變量相關(guān)的時(shí)間序列是存在的，因而，尤爾引入的自回歸模型，恰恰是對時(shí)間序列變量之間關(guān)系的客觀反映，也是對原來將時(shí)間序列普遍看作是時(shí)間函數(shù)的一種修正和改進(jìn)，逐步取代了德國學(xué)者舒斯特（Schuster,A.1851~1934）開創(chuàng)的周期圖分析法，使人們離開了時(shí)間序列的頻域方法，開始了長達(dá)30多年的時(shí)域分析方法。所以，目前公認(rèn)為尤爾是現(xiàn)代時(shí)間序列分析的開山人，他為該學(xué)科的形成與發(fā)展做出了最基礎(chǔ)的開創(chuàng)工作。

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(責(zé)任編輯/亦 民)

O212

A

1002－6487（2011）03－0004-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10771169）

聶淑媛（1974-），女，河南臺(tái)前人，博士，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其歷史發(fā)展。