多孔介質(zhì)中卡森流體的分形分析*

員美娟 郁伯銘 鄭 偉 袁 潔

1)(武漢科技大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081)

2)(華中科技大學(xué)物理學(xué)院，武漢 430074)

3)(中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所動(dòng)力大地測(cè)量學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430077)

(2009年12月30日收到;2010年4月21日收到修改稿)

多孔介質(zhì)中卡森流體的分形分析*

員美娟1)?郁伯銘2)鄭 偉3)袁 潔1)

1)(武漢科技大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081)

2)(華中科技大學(xué)物理學(xué)院，武漢 430074)

3)(中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所動(dòng)力大地測(cè)量學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430077)

(2009年12月30日收到;2010年4月21日收到修改稿)

研究了非牛頓流體中的卡森流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)特性.基于服從分形分布的彎曲毛細(xì)管束模型，運(yùn)用分形幾何理論推導(dǎo)出了該流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的流量、流速、啟動(dòng)壓力梯度和有效滲透率的分形解析解.模型中的每一個(gè)參數(shù)都有明確的物理意義，它將卡森流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)特性與多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)有機(jī)聯(lián)系起來(lái).文中給出了卡森流體的流速、啟動(dòng)壓力梯度和有效滲透率隨著各影響因素的變化趨勢(shì)，并進(jìn)行了討論.所得分形模型可以更深刻地理解卡森流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的內(nèi)在物理機(jī)理.

多孔介質(zhì)，卡森流體，分形

PACS:47.56.+r，47.50.－ d，47.53.+n

1.引 言

自20世紀(jì)60年代以來(lái)，多孔介質(zhì)中的非牛頓流體流動(dòng)特性越來(lái)越受到人們的廣泛關(guān)注［1—10］.例如在油田開發(fā)中越來(lái)越多地涉及到非牛頓流體，高黏度原油和高含水原油以及低滲透地層中原油，在滲流過(guò)程中都明顯地顯示出非牛頓流體特性.又如在生物滲流和工程滲流中，非牛頓流體也具有普遍性.因此深入研究和剖析非牛頓流體在多孔介質(zhì)中的滲流特性是非常必要的.卡森流體是一種典型的具有屈服應(yīng)力值的非牛頓流體，某些非牛頓流體如血液［7］、巧克力［8］、黃原膠溶液［9］、含蠟原油［10］等等，其流動(dòng)行為都呈現(xiàn)出卡森流動(dòng)特性，這些流體被稱為卡森流體.

卡森流體的本構(gòu)方程［11］

其中τ是切應(yīng)力，τ0是屈服應(yīng)力，μ是卡森黏度=－dv/dr是剪切速率.當(dāng) τ0=0時(shí)，(1)式就簡(jiǎn)化成牛頓流體的本構(gòu)方程.

由(1)式得卡森流體的表觀黏度μa為

已有大量研究表明自然界中的多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)服從分形幾何規(guī)律，且分形幾何理論已被證實(shí)是分析多孔介質(zhì)的強(qiáng)有力工具［12—24］，因此可以用分形理論來(lái)研究多孔介質(zhì)中卡森流體的流動(dòng)特性.

2.多孔介質(zhì)分形幾何理論

分形體累積數(shù)N與大小分布服從以下的標(biāo)度關(guān)系［24，25］

式中r為多孔介質(zhì)的孔隙半徑，rmax是最大孔隙半徑，Df是孔隙分形維數(shù).

對(duì)(3)式微分，得到 r和 r+dr區(qū)間里的孔隙數(shù)目

上式－dN>0，則表明孔隙數(shù)目隨著孔尺寸的增加而減小.

彎曲通道的分形冪規(guī)律［26］其中Lt是毛細(xì)管通道的實(shí)際長(zhǎng)度，L0為通道的直線長(zhǎng)度，由于毛細(xì)管的彎曲特性，有Lt≥L0.DT是迂曲度分形維數(shù)，DT=1意味著毛細(xì)管通道是直的，此時(shí)Lt=L0.(5)式表明了 Lt與 r有關(guān)，r越大，Lt越小，即半徑越大的毛細(xì)管其彎曲程度越小.

對(duì)(5)式微分，得到

3.卡森流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的分形模型

3.1.多孔介質(zhì)中卡森流體的總體積流量

卡森流體在單根毛細(xì)管中流量方程為［25，27］

其中dp/dL是施加在管兩端的壓力梯度，流體在管壁處受到的切應(yīng)力為由于管壁處的切應(yīng)力遠(yuǎn)大于屈服應(yīng)力，即 τ0/τw?1［28］，(7)式可以簡(jiǎn)化為

在真實(shí)多孔介質(zhì)中，毛細(xì)管通常是彎曲的，(8)式改寫為

其中dLt由(6)式給出.

由于多孔介質(zhì)中彎曲毛細(xì)管的大小是不均勻的，并且服從分形冪規(guī)律.所以，為求總流量，需要對(duì)(9)式在整個(gè)孔隙范圍內(nèi)(從最小孔半徑到最大孔半徑)進(jìn)行積分，得到通過(guò)多孔介質(zhì)某一橫截面的流體的總流量為

其中rmin和rmax分別是孔隙的最小和最大半徑，式中12，3+DT/2 －Df>1，又因?yàn)閷?duì)于通常的多孔介質(zhì)，rmin/rmax～10－2，所 以 有:(rmin/rmax)3+DT－Df? 1 和 (rmin/rmax)3+DT/2－Df?1.那么(10)式就可以簡(jiǎn)化為

當(dāng)流體的屈服應(yīng)力τ0=0時(shí)，此時(shí)卡森模型簡(jiǎn)化為牛頓流體模型

(12)式與文獻(xiàn)［29］中給出的多孔介質(zhì)中牛頓流體的流量表達(dá)式相同.

對(duì)于直管，DT=1，(12)式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(13)式與文獻(xiàn)［24］中給出的直管中牛頓流體的流量表達(dá)式相同.

3.2.多孔介質(zhì)中卡森流體的平均流速

多孔介質(zhì)的橫截面積表達(dá)式為［30，31］

其中φ是多孔介質(zhì)的孔隙率.

用(13)式除以(14)式，得到卡森流體通過(guò)多孔介質(zhì)的平均流速

由(11)和(15)式可以看出，卡森流體在多孔介質(zhì)中的流量和流速不僅與多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(rmax，DT，Df，L0和 φ)和多孔介質(zhì)兩端的壓降(Δp)有關(guān)，而且與卡森流體的特性參數(shù)(τ0和 μ)有關(guān).而傳統(tǒng)方法研究流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)速度時(shí)一般采用體積平均的方法，這樣往往忽略了多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)對(duì)流動(dòng)速度的影響，因而對(duì)流動(dòng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)是不深刻的.

(15)式中當(dāng)流體的屈服應(yīng)力τ0=0時(shí)，簡(jiǎn)化為牛頓流體通過(guò)多孔介質(zhì)的平均流速

(16)式與文獻(xiàn)［29］中給出的多孔介質(zhì)中牛頓流體的流速表達(dá)式相同.

對(duì)于直管，DT=1，(16)式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

3.3.多孔介質(zhì)中卡森流體的啟動(dòng)壓力梯度

當(dāng)(11)式中流體的流量Q=0或(15)式中流體的流速V=0時(shí)，可以得到多孔介質(zhì)中卡森流體的啟動(dòng)壓力梯度

(18)式是多孔介質(zhì)中卡森流體啟動(dòng)壓力梯度的分形表達(dá)式，可以看出啟動(dòng)壓力梯度除了與流體的屈服應(yīng)力τ0有關(guān)，還依賴于多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如孔隙的最大半徑rmax，孔隙分形維數(shù)Df，迂曲度分形維數(shù)DT和多孔介質(zhì)的宏觀長(zhǎng)度L0.所以本分形模型(18)清晰地揭示了多孔介質(zhì)中影響卡森流體啟動(dòng)壓力梯度的物理機(jī)理.

3.4.多孔介質(zhì)中卡森流體的有效滲透率

分形毛細(xì)管中流體所受的切應(yīng)力為

考慮到實(shí)際毛細(xì)管是彎曲的和彎曲流線的分形特性，將上式在整個(gè)孔隙范圍內(nèi)進(jìn)行積分可得

上式表明總切應(yīng)力是分形維數(shù)、微結(jié)構(gòu)參數(shù)和壓力梯度的函數(shù).

根據(jù)(2)和(20)式，得到卡森流體的表觀黏度

卡森流體滿足的廣義達(dá)西定律［32］

其中ke是卡森流體的有效滲透率.

結(jié)合(15)，(21)和(22)式，可推導(dǎo)出多孔介質(zhì)中卡森流體的有效滲透率

由(23)式可以看出，有效滲透率ke是分形維數(shù)(DT和 Df)、微結(jié)構(gòu)參數(shù)(rmax，rmin和 φ)、壓力梯度(Δp/L0)和流體特性參數(shù)(τ0)的函數(shù).

當(dāng)流體的屈服應(yīng)力τ0=0時(shí)，此時(shí)(23)式簡(jiǎn)化為多孔介質(zhì)中牛頓流體的有效滲透率

(24)式與與文獻(xiàn)［33］中給出的多孔介質(zhì)中牛頓流體的有效滲透率表達(dá)式相同.

當(dāng)DT=1時(shí)，(24)式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為直管中牛頓流體的有效滲透率

(25)式與與文獻(xiàn)［24］中給出的有效滲透率表達(dá)式相同.

4.結(jié)果和討論

在本文所推導(dǎo)的分形表達(dá)式中，相關(guān)的參數(shù)可以采用以下模型:

孔隙分形維數(shù) Df由下式來(lái)決定［24，34］

多孔介質(zhì)中迂曲度分形維數(shù)DT的表達(dá)式［34］

式中T是彎曲流線的迂曲度，rav是平均孔隙(或毛細(xì)管)半徑.

流體流線迂曲度的表達(dá)式［35］

多孔介質(zhì)中平均孔隙半徑可以表示為［27］

多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)表達(dá)式［24］

(30)和(31)式中，R為組成多孔介質(zhì)的平均顆粒半徑.

(15)，(18)和(23)式中的參數(shù) Df，DT，L0和 rmax分別通過(guò)(26)，(27)，(30)和(31)式給出.

圖1給出了基于(15)式的卡森流體流速隨著壓力梯度的變化趨勢(shì).選取參數(shù)為 μ=1.0，φ=0.4和R=0.3.從圖中可看出，當(dāng)屈服應(yīng)力 τ0>0時(shí)，存在啟動(dòng)壓力梯度，隨著屈服應(yīng)力的增加，啟動(dòng)壓力梯度也隨之增加了.圖1還揭示了在相同的壓力梯度下，卡森流體的流速小于牛頓流體的流速，這與實(shí)際情況一致.

圖2中選取參數(shù)為 τ0=0.1，R=0.3和 Δp=100.可以看出卡森流體的流速隨著孔隙率的增加而增加，隨著流體黏度的增加而減小.圖3中選取參數(shù)為 φ=0.4，μ=1.0和 Δp=100，表明流速隨著顆粒半徑的增大而增大，當(dāng)顆粒半徑取值相同時(shí)，卡森流體的流速小于牛頓流體的流速，這些都與實(shí)際情況相符.

圖3 卡森流體和牛頓流體的流速隨顆粒半徑的變化關(guān)系

圖4 卡森流體和牛頓流體的啟動(dòng)壓力梯度隨孔隙率的變化關(guān)系

圖4和圖5給出了基于(18)式的卡森流體啟動(dòng)壓力梯度隨不同參數(shù)的變化關(guān)系.圖4中參數(shù)選R=0.3，圖5中參數(shù)選 φ=0.4.從圖中可以看出卡森流體的啟動(dòng)壓力梯度隨著孔隙率和顆粒半徑的增大而減小，隨著屈服應(yīng)力的增加而增加.而且牛頓流體的啟動(dòng)壓力梯度為零，不隨孔隙率和顆粒半徑變化，這與實(shí)際情況相符.

圖5 卡森流體和牛頓流體的啟動(dòng)壓力梯度隨顆粒半徑的變化關(guān)系

圖6和圖7是基于(23)式的卡森流體有效滲透率與不同參數(shù)之間的變化曲線.圖6中選取參數(shù)為R=0.3和 φ=0.4，圖7中選取參數(shù)為 Δp=100和τ0=0.1.圖6和圖7表明了卡森流體的有效滲透率隨著壓力梯度、孔隙率和顆粒半徑的增加而增加.而牛頓流體的有效滲透率與壓力梯度無(wú)關(guān)，而且大于卡森流體的有效滲透率，這與實(shí)際情況相符.

5.結(jié) 論

基于分形幾何理論和毛細(xì)管束模型，本文推導(dǎo)出了卡森流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的流量、流速、啟動(dòng)壓力梯度和有效滲透率的分形表達(dá)式.討論了流速、啟動(dòng)壓力梯度和有效滲透率與不同影響因素之間的變化關(guān)系.所得模型沒有經(jīng)驗(yàn)常數(shù).本文的分形模型將卡森流體的流動(dòng)特性參數(shù)與多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起，因而通過(guò)采用分形幾何理論，使我們更能深刻理解卡森流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的內(nèi)在物理機(jī)理.

［1］Myers T G 2002Phys.Rev.E 72 1

［2］Chhabra R P，Comiti J，Machac I 2001Chem.Eng.Sci.56 1

［3］Guo Y C，Zeng Y S，Lu D T 2005Acta Phys.Sin.54 802(in Chinese)［郭永存、曾億山、盧德唐2005物理學(xué)報(bào)54 802］

［4］Xu Y S，Wu F M，Chen Y Y，Xu X Z 2003Chin.Phys.12 621

［5］Xu Y S，Xu X Z 2002Chin.Phys.11 583

［6］Wu B Z，Xu Y S，Liu Y，Huang G X 2005Chin.Phys.14 2046

［7］Das B，Batra R L 1995J.Theor.Biol.175 1

［8］Chevalley J 1991J.Texture Stud.22 219

［9］Ochoa F G，Casas J A 1994Chem.Eng.J.53 B41

［10］Kirsanov E A，Remizov S V 1999Rheol.Acta38 172

［11］Casson N 1959Rheology of Disperse Systems(London:Pergamon Press)p84

［12］Deng S H，Gao S，Li Y P，Xu X Y，Lin S L 2010Chin.Phys.B 19 040511

［13］Xie T，Zou G H，William P，Kuang H L，Chen W 2010Chin.Phys.B 19 059201

［14］Han J J，F(xiàn)u W J 2010Chin.Phys.B 19 010205

［15］Guo L X，Ren X C 2008Chin.Phys.B 17 2956

［16］Yang J，Lai X M，Peng G，Bian B M，Lu J 2009Acta Phys.Sin.58 3008(in Chinese)［楊 娟、賴曉明、彭 剛、卞保民、陸 建2009物理學(xué)報(bào)58 3008］

［17］Su Y F，Li P X，Chen P，Xu Z F，Zhang X L 2009Acta Phys.Sin.58 4531(in Chinese)［蘇亞鳳、李普選、陳 鵬、徐忠鋒、張孝林2009物理學(xué)報(bào)58 4531］

［18］Zhang C B，Chen Y P，Shi M H，F(xiàn)u P P，Wu J F 2009Acta Phys.Sin.58 7050(in Chinese)［張程賓、陳永平、施明恒、付盼盼、吳嘉峰2009物理學(xué)報(bào)58 7050］

［19］Jiang Z H，Zhao H F，Zheng R H 2009Acta Phys.Sin.58 7579(in Chinese)［姜澤輝、趙海發(fā)、鄭瑞華 2009物理學(xué)報(bào) 58 7579］

［20］Hua S C，Wang H G，Wang L Y，Zhang W，Liu G 2008Acta Phys.Sin.57 1241(in Chinese)［華邵春、王漢功、汪劉應(yīng)、張 武、劉 顧2008物理學(xué)報(bào)57 1241］

［21］Katz A J，Thompson A H 1985Phys.Rev.Lett.54 1325

［22］Shen J，Wang Y，Wu X 1996Acta Phys.Sin.45 1501(in Chinese)［沈 軍、王 鈺、吳 翔1996物理學(xué)報(bào)45 1501］

［23］Yun M J，Yu B M，Xu P，Cai J C 2008Chin.Phys.Lett.25 616

［24］Yu B M，Cheng P 2002Int.J.Heat Mass Transfer45 2983

［25］Kim S 2002J.Non-Newton.Fluid Mech.103 205

［26］Yu B M 2005Chin.Phys.Lett.22 158

［27］Govier G W，Aziz K 1972The Flow of Complex Mixtures(New York:Krieger)p73

［28］Bigyani Das，Batra R 1995J.Theor.Biol.175 1

［29］Yun M J，Yu B M，Cai J C 2008Int.J.Heat and Mass Transfer51 1402

［30］Wu J S，Yu B M 2007Int.J.Heat and Mass Transfer50 3925

［31］Xu P，Yu B M 2008Advances in Water Resources31 74

［32］Tsakiroglou C D 2002J.Non-Newton.Fluid Mech.105 79

［33］Zhang B，Yu B M，Wang H X，Yun M J 2006Fractals14 171

［34］Yu B M，Lee L J，Cao H Q 2002Polym.Compos.22 201

［35］Yu B M，Li J H 2004Chin.Phys.Lett.21 1569

PACS:47.56.+r，47.50.－ d，47.53.+n

Fractal analysis of Casson fluid flow in porous media*

Yuan Mei-Juan1)?Yu Bo-Ming2)Zheng Wei3)Yuan Jie1)
1)(Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process of Hubei Province，Department of Applied Physics，
School of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China)
2)(School of Physics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China)
3)(Key Laboratory of Dynamic Geodesy，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China)
(Received 30 December 2009;revised manuscript received 21 April 2010)

Fractal models for flow rate，velocity，starting pressure gradient and effective permeability for Casson fluid in porous media are proposed based on the fractal properties of porous media and capillary model.The proposed models are expressed as functions of fractal dimension，porosity，maximum pore size and representative length of porous media.All parameters in the proposed expressions have clear physical meaning，and the proposed models relate the properties of Casson fluid to the structural parameters of porous media.The velocity，starting pressure gradient and effective permeability versus different parameters are discussed，and the analytical expressions reveal the physical principles for flow velocity，starting pressure gradient and effective permeability in porous media.

porous media，Casson fluid，fractal

*湖北省耐火材料與高溫陶瓷重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室-省部共建國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地開放基金(批準(zhǔn)號(hào):G201009)，湖北省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):2009CDB187)，冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(批準(zhǔn)號(hào):C201019)，國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):10932010)和中國(guó)科學(xué)院動(dòng)力大地測(cè)量學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(批準(zhǔn)號(hào):L09-14)資助的課題.

*Project supported by the Open Research Fund Program of the Hubei Province Key Laboratory of Refractories and Ceramics Ministry-Province Jointly-Constructed Cultivation Base for State Key Laboratory(Grant No.G201009)，the Natural Science Foudation of Hubei Province，China(Grant No.2009CDB187)，the Open Research Fund of the Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process of Hubei Province，China(Grant No.C201019)，the Key Program of National Natural Science Foundation of China(Grant No.10932010)，and the Open Research Fund Program of the Key Laboratory of Dynamic Geodesy，Chinese Academy of Sciences(Grant No.L09-14).