基于序列線性規(guī)劃方法的型鋼混凝土梁的優(yōu)化

朱杰江, 陳庭軍

(上海大學(xué) 土木工程系,上海 200072)

基于序列線性規(guī)劃方法的型鋼混凝土梁的優(yōu)化

朱杰江, 陳庭軍

(上海大學(xué) 土木工程系,上海 200072)

在改進(jìn)的帶步長(zhǎng)限制的序列線性規(guī)劃 (sequential linear programming,SLP)優(yōu)化思路基礎(chǔ)上,編制優(yōu)化程序,并將其應(yīng)用到型鋼混凝土和鋼筋混凝土梁的優(yōu)化中.實(shí)例表明,該優(yōu)化方法收斂快速且準(zhǔn)確.通過對(duì)型鋼混凝土和鋼筋混凝土優(yōu)化結(jié)果的比較可知,鋼筋混凝土梁在無(wú)梁高限制時(shí)較型鋼混凝土梁經(jīng)濟(jì).

序列線性規(guī)劃;型鋼混凝土梁;鋼筋混凝土梁;優(yōu)化;二次插值

1 優(yōu)化模型

1.1 基本變量

取型鋼混凝土梁典型截面為優(yōu)化模型,如圖 1所示.圖中,b為截面寬度,h為截面高度,As為受拉鋼筋面積,A′s為受壓鋼筋面積,Asv為箍筋截面積,s為箍筋間距,bf為型鋼翼緣寬度,tf為型鋼翼緣厚度,hw為型鋼腹板高度,tw為型鋼腹板厚度,c為受拉鋼筋保護(hù)層厚度,as為受拉鋼筋合力點(diǎn)至混凝土受拉邊距離 (考慮到配筋量較大,采用雙排鋼筋,取60 mm),a′s為受壓鋼筋合力點(diǎn)至混凝土受壓邊距離,a為型鋼受拉翼緣和受拉鋼筋共同作用合力點(diǎn)至混凝土受拉邊距離,h0為型鋼受拉翼緣和受拉鋼筋共同作用合力點(diǎn)至混凝土受壓邊距離,a′a為型鋼受壓翼緣合力點(diǎn)至混凝土受壓邊的距離,δ1h0為型鋼腹板上端至截面上邊緣距離,δ2h0為型鋼腹板下端至截面上邊緣距離.

圖 1 型鋼混凝土梁典型截面Fig.1 Typ ical section of steel reinforced concrete composite beam

考慮受壓鋼筋、腰筋按構(gòu)造配置,型鋼腹板沿梁高充滿布置,只在兩端留置構(gòu)造要求的間距,故受壓鋼筋、腰筋和型鋼高度均不作為優(yōu)化變量.型鋼混凝土梁的優(yōu)化變量為 b,h,As,Asv,s,bf,tf,tw.

1.2 目標(biāo)函數(shù)

本研究中的單位長(zhǎng)度造價(jià)考慮了混凝土、型鋼、縱筋、箍筋和模板的造價(jià),并且各材料單價(jià)均按照現(xiàn)行定額標(biāo)準(zhǔn)和人材機(jī)單價(jià)及考慮材料、加工等各種費(fèi)用的綜合單價(jià),較符合工程實(shí)際.取目標(biāo)函數(shù)為

式中,fObj為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度總造價(jià),Cc為混凝土綜合單價(jià),Aa為型鋼截面積,Ca,Cs,Csv分別為型鋼綜合單價(jià)、縱筋綜合單價(jià)、箍筋綜合單價(jià),Cf為模板綜合單價(jià),ρ為鋼材密度,取 7.85 t/m3,其余符號(hào)意義同前.

1.3 約束條件

參考《型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ138—2001)[6]的要求,列出以下約束條件.

(1)抗彎要求如下:式中,M為彎矩設(shè)計(jì)值,x為混凝土受壓區(qū)高度,Maw為型鋼腹板承受的軸向合力對(duì)型鋼受拉翼緣和受拉鋼筋合力點(diǎn)的力矩 (計(jì)算詳見文獻(xiàn)[6]),Naw為型鋼腹板承受的軸向合力(計(jì)算詳見文獻(xiàn)[6]),Aaf,分別為型鋼受拉、受壓翼緣面積,為界限相對(duì)受壓區(qū)高度,fc為混凝土受壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值,為型鋼受壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值,α1,β1為系數(shù).這里未考慮受壓鋼筋的作用.

(2)抗剪要求如下:

式中,V為剪力設(shè)計(jì)值,fyv為箍筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值,fa為型鋼受拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值,ft為混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值 ,βc為系數(shù).

(3)構(gòu)造要求如下:

型鋼含量要求為

最小配筋率要求為

高寬比要求為

翼緣寬度要求為

翼緣寬厚比要求為

腹板高厚比要求為

(4)正常使用極限狀態(tài)要求如下:

最大裂縫寬度要求為

最大撓度要求為

式中,ωmax,ωlim分別為最大裂縫寬度和裂縫寬度限值,f,flim分別為梁最大撓度和撓度限值 (詳見文獻(xiàn)[6]).

1.4 優(yōu)化模型

將優(yōu)化模型綜合,即求

同時(shí) ,xil≤xi≤xiu,i=1,2,…,8,xil,xiu分別為變量的下限和上限.

2 SL P方法簡(jiǎn)介

2.1 SL P方法基本原理

對(duì)帶約束的非線性優(yōu)化問題,有

min Z=f(X),

s.t. gj(X)≤0, j=1,2,…,m,

X =[x1,x2,…,xn]T.

將目標(biāo)函數(shù)、約束條件按泰勒級(jí)數(shù)展開,取一次項(xiàng),得到線性表達(dá)式為

式中,X(k)為第 k次循環(huán)后得到的變量.

此時(shí),原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,可以采用單純形法尋找最優(yōu)解,并將得到的最優(yōu)解取代 X(k)進(jìn)行下一循環(huán),直至滿足精度要求.由于單純形法一般能準(zhǔn)確穩(wěn)定地得到最優(yōu)解,故 SLP方法具有快速、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn).

2.2 改進(jìn)的帶活動(dòng)限制的 SL P方法

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明,單純使用 SLP方法有時(shí)會(huì)出現(xiàn)最優(yōu)解附近存在振蕩的問題,因此,可采用活動(dòng)限制法 (move limitmethod)來(lái)克服上述缺點(diǎn)[7].該方法即在原有 SLP方法的基礎(chǔ)上附加如下約束條件:

Bhavikatti[8]在帶活動(dòng)限制的 SLP方法的基礎(chǔ)上作了以下幾點(diǎn)改進(jìn),使其在工程應(yīng)用中更加有效.

2.2.1 將變量“拉回”可行域

當(dāng)設(shè)計(jì)變量位于不可行區(qū)域時(shí),采用下述方法將設(shè)計(jì)變量“拉回”至可行域約束邊界附近以繼續(xù)優(yōu)化:

式中,X(k+1)為“拉回”后的設(shè)計(jì)變量,Xt為位于不可行區(qū)域的設(shè)計(jì)變量,Xk為上一個(gè)循環(huán)得到的設(shè)計(jì)變量,gj(Xt)為超出可行域邊界最大的約束.該步驟的幾何意義如圖 2所示.

圖 2 將點(diǎn)“拉回”可行域并判斷方向可行性Fig.2 Steer the point into feasible area and the judgement of the usability of d irection

若一次未能將設(shè)計(jì)變量“拉回”至可行域,可以多次嘗試該步驟;若仍不能“拉回”至可行域,可以重新計(jì)算 Δg(Xt),再繼續(xù)上述步驟;若經(jīng)過一定次數(shù)嘗試均未能將設(shè)計(jì)點(diǎn)“拉回”至可行域,可以直接進(jìn)行下一循環(huán),即允許中間循環(huán)中出現(xiàn)不可行點(diǎn),以保證程序的連續(xù)運(yùn)行及最后穩(wěn)定收斂.

若變量超出了上 (下)限,可以將該變量賦值為上 (下)限,再檢查約束對(duì)該變量的一次偏微分的符號(hào),如有超出上 (下)限的趨勢(shì),則將該偏微分定義為零.

2.2.2 二次插值

當(dāng)采用單純形法得到一個(gè)新的變量值時(shí),若此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值比上一循環(huán)目標(biāo)函數(shù)值大,則采用二次插值法 (quadratic interpolation technique)尋找更優(yōu)解,即當(dāng) f(X(k+1))＞f(X(k))時(shí),得

式中,

α＊f(X(k)),f(X(k+1))分別為第 k,k+1次循環(huán)的目標(biāo)函數(shù)值,X＊為二次插值后的設(shè)計(jì)變量,M,M(k)分別為修正后和原來(lái)的活動(dòng)限制向量,即進(jìn)行了二次插值,同時(shí)將活動(dòng)限制縮小同樣的比例.若M小于精度要求,則結(jié)束優(yōu)化,待重新設(shè)定初值后,再進(jìn)行新的優(yōu)化.二次插值的幾何意義如圖 3所示.

圖 3 二次插值Fig.3 Quadratic interpolation

2.2.3 方向可行性的檢驗(yàn)

上述二次插值須在方向可行的前提下執(zhí)行,即

2.3 程序框圖

根據(jù)上述理論,我們自行編制了優(yōu)化程序,主要步驟如下:

(1)選定一初始點(diǎn),檢驗(yàn)該點(diǎn)是否在可行域內(nèi),若不在,則將其“拉回”至可行域內(nèi);

(2)定義此時(shí)變量為舊變量,目標(biāo)函數(shù)值為舊值,判斷循環(huán)次數(shù)是否超過了限值,如果是,轉(zhuǎn)至步驟(9);

(3)將目標(biāo)函數(shù)、約束條件進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,得到線性規(guī)劃模型,然后求解單純形;

(4)檢驗(yàn)得到的新解是否在可行域內(nèi),若不在,則將其“拉回”至可行域;

(5)將新的目標(biāo)函數(shù)值與舊值比較,若二者差值滿足精度要求,可認(rèn)為已收斂至最優(yōu)解,轉(zhuǎn)至步驟(8),否則,進(jìn)行下一步;

(6)若新值小于舊值,即目標(biāo)函數(shù)減小,則轉(zhuǎn)至步驟 (2),否則,進(jìn)行下一步;

(7)若此時(shí)方向可行,則進(jìn)行二次插值,找到使目標(biāo)函數(shù)值比舊值小的新點(diǎn),若插值后的新點(diǎn)落在可行域外,則將其“拉回”至可行域,轉(zhuǎn)至步驟 (2),若方向不可行,直接轉(zhuǎn)至步驟 (2);

(8)將此時(shí)的點(diǎn)定義為最優(yōu)解,優(yōu)化結(jié)束;

(9)在限制循環(huán)次數(shù)下,無(wú)法收斂,優(yōu)化結(jié)束.

根據(jù)上述步驟,程序框圖如圖 4所示.

圖 4 SL P方法的程序框圖Fig.4 Flow d iagram of SL Pmethod

3 優(yōu)化實(shí)例

本工作為體現(xiàn)型鋼混凝土的優(yōu)越性,采用大跨度、大荷載簡(jiǎn)支梁,并改變梁高上限,與鋼筋混凝土進(jìn)行比較.一簡(jiǎn)支型鋼混凝土梁參數(shù)如下:跨度 l0=10.0 m,樓板傳來(lái)恒載 g1k=35.8 kN/m,樓板傳來(lái)活載 qk=20.0 kN/m,型鋼混凝土梁自重g2k=[As+Aa+Asv(b+h-100)/s]×78.5×10-6+(bh-Aa-As)×24.5×10-6kN/m.

采用 C 30混凝土、HRB 335縱筋、HPB 235箍筋、Q345型鋼 ,c=25 mm,Cc=364.323元 /m3,Cs=Csv=Ca=5 534.775元 /t,Cf=39.298元 /m2.300≤b≤600,600≤h≤1 200,402≤As≤8 000,57≤Asv≤308,50≤s≤300,50≤bf≤500,6≤tf≤40,6≤tw≤20.優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

鋼筋混凝土梁優(yōu)化模型從略,約束條件參考《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50010—2002)[9].考慮抗彎、抗剪、裂縫、撓度及構(gòu)造要求等約束,改變梁高上限,比較型鋼混凝土和鋼筋混凝土優(yōu)化效果,結(jié)果如表2所示.

表1 型鋼混凝土梁優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optim ized results of steel reinforced concrete composite beam

表2 不同梁高上限時(shí)型鋼混凝土和鋼筋混凝土優(yōu)化結(jié)果的比較Table 2 Com par ison of RC beam and steel reinforced concrete composite beam w ith d ifferent section height upper lim its

由表1可以看出,型鋼混凝土梁的優(yōu)化效果顯著,而其中型鋼尺寸趨于下限,可見型鋼“性價(jià)比”較鋼筋低.由表2可以看出,隨著梁高上限的下降,型鋼混凝土與鋼筋混凝土造價(jià)差逐漸減小,直至低于鋼筋混凝土.可見在沒有梁高限制時(shí),鋼筋混凝土梁較型鋼混凝土梁經(jīng)濟(jì);在一定梁高上限約束下,型鋼混凝土較鋼筋混凝土經(jīng)濟(jì).本工作算例初值尺寸未取自現(xiàn)有工程,但能代表現(xiàn)有工程的一般設(shè)計(jì)取值,可以反映現(xiàn)有工程中型鋼混凝土設(shè)計(jì)存在造價(jià)偏高的情況.

圖 5為本例型鋼混凝土梁優(yōu)化的迭代過程.整個(gè)優(yōu)化過程不到 10步便收斂,可見該方法收斂快速且穩(wěn)定,目標(biāo)函數(shù)在開始時(shí)下降很快.

圖 5 SL P方法優(yōu)化收斂過程Fig.5 Optim izated convergence process of SL Pmethod

4 結(jié) 論

由經(jīng)過改進(jìn)的帶步長(zhǎng)限制的 SLP方法在型鋼混凝土和鋼筋混凝土梁優(yōu)化中的應(yīng)用,得到以下結(jié)論.

(1)型鋼混凝土中鋼筋較型鋼更經(jīng)濟(jì),即優(yōu)化使型鋼尺寸趨于下限,而通過加大鋼筋用量滿足約束.

(2)型鋼混凝土梁優(yōu)化在荷載較大時(shí),有效約束為撓度、裂縫、寬高比等,而抗彎、抗剪約束均有富余,箍筋一般按構(gòu)造配置.故在優(yōu)化中,可以不考慮抗剪約束、箍筋面積和箍筋間距等變量.

(3)在大跨度、大荷載下,若梁高沒有限制,采用鋼筋混凝土較型鋼混凝土經(jīng)濟(jì);但梁高限制到一定程度時(shí),鋼筋混凝土必須依靠加大梁寬來(lái)滿足約束,此時(shí)型鋼混凝土較鋼筋混凝土經(jīng)濟(jì).

(4)本工作改進(jìn)的 SLP方法優(yōu)化程序收斂快速且穩(wěn)定,具有一定的工程意義.

本工作將改進(jìn)的 SLP方法應(yīng)用在型鋼混凝土梁的優(yōu)化中,取得了較理想的效果和有價(jià)值的結(jié)論,但仍然存在一些局限尚待繼續(xù)改進(jìn).

(1)假設(shè)變量為連續(xù)型,但實(shí)際工程中通常為離散變量,如何將 SLP程序應(yīng)用到離散變量的優(yōu)化中.

(2)未考慮到鋼筋的配置等構(gòu)造要求,得到的優(yōu)化解可能在實(shí)際應(yīng)用中需要進(jìn)一步調(diào)整.

(3)如何將該優(yōu)化思路應(yīng)用到結(jié)構(gòu)整體優(yōu)化中(如框架等),并考慮更多的變量和約束條件,如鋼筋等級(jí)、混凝土等級(jí)和型鋼截面形式等.

[1] 范良宜.鋼筋混凝土矩形截面梁實(shí)用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].基建優(yōu)化,1998,19(3):27-29.

[2] 張靖靜.鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面設(shè)計(jì)優(yōu)化分析[J].工業(yè)建筑,2005,35(2):100-102.

[3] 劉海軍,吳子燕,艾兵,等.鋼筋混凝土梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].基建優(yōu)化,1997,18(3):29-32.

[4] 斯劍華.鋼筋混凝土受彎構(gòu)件優(yōu)化分析[J].河南科學(xué),2004,22(3):374-376.

[5] 刑國(guó)雷,張陵,劉志方.基于遺傳算法的鋼筋混凝土梁離散優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].基建優(yōu)化,2003,24(6):44-46.

[6] 中國(guó)建研院.中華人民共和國(guó)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn) (建工版)JGJ138—2001型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程 [S].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,2001.

[7] 張炳華,侯昶.土建結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì) [M].2版.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1988:150-159.

[8] BHAV IKATTI S S. Structural optimization using sequential linear programming[M].New Delhi:V IKAS Publishing House PVTLtd,2003.

[9] 中華人民共和國(guó)建設(shè)部.中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB50010—2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范 [S].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,2002.

Optim ization of Steel Reinforced Concrete Composite Beam Based on Sequential L inear Programm ing M ethod

ZHU Jie-jiang, CHEN Ting-jun
(Department of Civil Engineering,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China)

Based on the improved move limit method of the theory of sequential linear programming(SLP),thispaper develop a program applied to optimization of steel reinforced concrete composite and reinforced concrete beams.Practical examp les indicate that the op timization method converges quickly and accurately.Besides,reinforced concrete beam is more economical than steel reinforced concrete composite beam without constraint on the height of beam section according to the comparison of their optimized results.

sequential linear p rogramming(SLP);steel reinforced concrete composite beam;reinforced concrete beam;optimization;quadratic interpolation

TU 375

A

1007-2861(2011)02-0203-06

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.017

2009-08-21

朱杰江 (1963～),男,教授,博士后,研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)優(yōu)化及結(jié)構(gòu)抗震.E-mail:zhujjt@126.com

(編輯:孟慶勛)

目前,對(duì)鋼筋混凝土梁的優(yōu)化方法有優(yōu)化準(zhǔn)則法、網(wǎng)格搜索法、復(fù)合形法、庫(kù)-塔克最優(yōu)條件、遺傳算法等[1-5].很多優(yōu)化過程只取部分主要變量,且由于搜索最優(yōu)解的盲目性,得到的可能不是最優(yōu)解,且迭代次數(shù)也較多.本研究采用序列線性規(guī)劃(sequential linear programming,SLP)方法 ,在變量多、搜索方向明確的條件下,可以在較少的迭代次數(shù)情況下收斂到最優(yōu)解.單純配置鋼筋的混凝土梁由于截面尺寸及配筋率的限制,承載能力有限.若采用型鋼混凝土梁,則可以大大提高承載能力,且沒有配筋率的限制,并可以在大跨度結(jié)構(gòu)中使用.型鋼混凝土梁的延性好,有利于抗震設(shè)計(jì).由于型鋼混凝土梁的優(yōu)化較少涉及,因此,本研究應(yīng)用 SLP方法對(duì)型鋼混凝土梁的優(yōu)化進(jìn)行有益的探索.