考慮停車視距的優(yōu)化速度函數(shù)

宋 濤, 董力耘, 鄺 華, 李興莉, 戴世強(qiáng)

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072;2.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西桂林 541004;3.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,山西太原 030024)

考慮停車視距的優(yōu)化速度函數(shù)

宋 濤1, 董力耘1, 鄺 華2, 李興莉3, 戴世強(qiáng)1

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200072;2.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西桂林 541004;3.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,山西太原 030024)

在分析優(yōu)化速度函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,提出有理函數(shù)型優(yōu)化速度函數(shù)的一般表達(dá)式.該函數(shù)以曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界間距為特征控制參數(shù),并能構(gòu)造非凹基本圖.利用臨界間距的重尺度化關(guān)系式,采用停車視距構(gòu)建一種新的優(yōu)化速度函數(shù),以表征人-車-路環(huán)境交互影響下的司機(jī)駕駛行為.與其他優(yōu)化速度函數(shù)對(duì)比分析后可以發(fā)現(xiàn),新的優(yōu)化速度函數(shù)能夠更好地反映與駕駛行為關(guān)聯(lián)的流密關(guān)系數(shù)據(jù)散布、通行能力變化等實(shí)際交通特征.

優(yōu)化速度函數(shù);非凹基本圖;臨界間距;停車視距;駕駛行為

1995年,del Castillo等[1]提出了由速度-密度(簡(jiǎn)稱速密)關(guān)系曲線描述的幾類函數(shù)形式,并據(jù)此給出了構(gòu)建凹的基本圖的方法.但直到目前為止,尚未有關(guān)于構(gòu)建非凹基本圖以及同時(shí)描述 S形速密和速度-間距 (簡(jiǎn)稱速距)關(guān)系曲線的普遍方法.這里“非凹基本圖”是指流密關(guān)系函數(shù)不僅是凹函數(shù)形式的基本圖,也并非單純的凸函數(shù).以前研究的基本圖通常是凹的,而非凹基本圖中存在拐點(diǎn),使得函數(shù)的凹性發(fā)生變化.表現(xiàn)在中小密度范圍內(nèi)呈現(xiàn)凹性,大密度范圍內(nèi)呈現(xiàn)凸性.本研究分析了優(yōu)化速度函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),提出以 S形曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界間距為關(guān)鍵控制參數(shù)的函數(shù)形式,依此構(gòu)建一類優(yōu)化速度函數(shù)簇,并同時(shí)獲取非凹基本圖.將臨界間距重尺度化為停車視距后,新的優(yōu)化速度函數(shù)能夠反映交通流受到人-車-路交互環(huán)境的影響情況.對(duì)比分析正常和限速路況下速距和流密關(guān)系曲線,并考慮司機(jī)的駕駛行為可以發(fā)現(xiàn),新的優(yōu)化速度函數(shù)既能反映經(jīng)驗(yàn)觀測(cè)中的流密關(guān)系形狀,又可描述數(shù)據(jù)散布、道路通行能力變化等多種交通現(xiàn)象.

1 優(yōu)化速度函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和新的函數(shù)表達(dá)式

目前,在優(yōu)化速度類模型中,一般使用 S形曲線的速距關(guān)系函數(shù)又稱優(yōu)化速度函數(shù) (optimal velocity function,OVF)來構(gòu)造非凹基本圖.針對(duì)高速路交通流建模,常見的有兩類優(yōu)化速度函數(shù):一類是 Bando等[5]根據(jù)日本高速公路實(shí)測(cè)交通數(shù)據(jù)提出的 tanh型函數(shù)

另一類則是Mahnke等[9]對(duì)比德國高速公路的實(shí)測(cè)交通數(shù)據(jù)[8]提出的二階 Hill型函數(shù)

式中,h為車頭間距.優(yōu)化速度函數(shù) Vopt(h)反映了車輛在定常均勻態(tài)下,速度與 h之間的單值映射關(guān)系.

研究表明[1,7,10-13],優(yōu)化速度函數(shù)必須滿足以下數(shù)學(xué)性質(zhì):

③存在 hstop＞lc的某個(gè)值,使得 h∈[0,hstop]時(shí),Vopt(h)≡0;

④當(dāng) h＞hstop時(shí),Vopt(h)＞0且有界;

⑤當(dāng)h＞hstop時(shí),V′opt(h)＞0,即Vopt(h)是關(guān)于h的單調(diào)遞增函數(shù);

⑥存在 hI＞hstop的某個(gè)值,使得 hstop＜h＜hI時(shí),V″opt(h)＞0,而h＞hI時(shí),V″opt(h)＜0.

上述 5點(diǎn)性質(zhì)中:vmax表示 OVF的上界值,由車輛自身和當(dāng)前路況同時(shí)決定;hstop表示堵塞車頭間距,對(duì)應(yīng)于現(xiàn)實(shí)的特征堵塞密度ρjam,其值大于車長(zhǎng)lc.OVF的單調(diào)性和可微性則可表征交通流中連續(xù)光滑過渡機(jī)制的可能存在性[1].近期,眾多研究人員[7,10-12]指出:性質(zhì)⑥是優(yōu)化速度函數(shù)必備的,即OVF必須是 S形曲線,(hI,Vopt(hI))為其拐點(diǎn).V′opt(h)在h＞hstop時(shí),僅有一個(gè)最大值V′opt(hI),這樣就可根據(jù)模型的穩(wěn)定性判據(jù),劃分“穩(wěn)定→不穩(wěn)定→穩(wěn)定”三個(gè)連續(xù)的交通區(qū)域,從而能夠自發(fā)地產(chǎn)生穩(wěn)定的時(shí)停時(shí)走波或扭結(jié)反扭結(jié)波.對(duì)于 S形的OVF,其關(guān)鍵參數(shù) hI通常認(rèn)為是車輛之間是否產(chǎn)生相互作用的特征距離,這也意味著在車頭間距處于hI附近時(shí),司機(jī)駕車很難維持穩(wěn)定車速 Vopt(hI),從而產(chǎn)生不穩(wěn)定性.因此,本研究中稱 hI為臨界間距(critical headway).目前,OVF中的臨界間距是通過數(shù)據(jù)擬合的手段來確定的[5,9],且僅在 tanh型優(yōu)化速度函數(shù)中顯式表達(dá),即式 (1)中的“25”.

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)[13],可以通過有理函數(shù)顯式表達(dá)臨界間距作為控制參數(shù),這樣便可據(jù)此構(gòu)建新的OVF表達(dá)式,并預(yù)期獲得非凹基本圖.不妨令 h^-1=(h-hstop)/hstop,即選取特征長(zhǎng)度 hstop無量綱化 h.不失一般性,期望的優(yōu)化速度函數(shù)可記為

式中,n＞1且為整數(shù).為了便于分析,有以下假設(shè):

(3)令 aj=bj=0,j=1,2,…,n-1,且記 D:=b0/bn(b0,bn＞0),則 VRopt滿足 OVF的數(shù)學(xué)性質(zhì)④,⑤和⑥.

另外,由式 (6)可知,vmax,hstop和 hI為量綱控制參數(shù),其中 vmax和 hstop一般被視為交通流的特征參數(shù),可取定值[1],而 hI的取值可由數(shù)據(jù)擬合的方法確定[5].本研究則給出另一種解決方案,即采用一種特征距離重尺度化的方法確定臨界間距 hI的數(shù)值.

2 臨界間距的重尺度化和停車視距

臨界間距可視為車輛從相互作用轉(zhuǎn)變?yōu)榉窍嗷プ饔玫囊环N特殊的“距離長(zhǎng)度”[5,7,9].由于車輛的行駛受到司機(jī)以及道路環(huán)境的影響,臨界間距是人-車-路環(huán)境下司機(jī)駕車行為的一種表征,與司機(jī)的駕車特性和習(xí)慣密切相關(guān).

眾所周知,司機(jī)通常會(huì)保持一個(gè)安全行車距離.以當(dāng)前車速行駛的車輛在到達(dá)前方的“固定物體”之前安全停車的距離稱為停車視距[2-3](stopp ing sight distance,SSD).SSD由感覺-反應(yīng)距離 dr:=v0τ和制動(dòng)距離組成,其中τ為司機(jī)的感覺-反應(yīng)時(shí)間(percep tion-response time,PRT),v0為司機(jī)在感覺接受信息時(shí)的車速,G為車輛的自身重量,Gb為配備制動(dòng)器閘的輪軸所能支撐的重量,g為重力加速度,μ為車輛輪胎與道路表面的摩擦系數(shù).可以看出,停車視距依賴于車速、司機(jī)駕駛行為以及道路和車輛自身性能的特征長(zhǎng)度.

這里需特別指出的是,PRT作為交通流理論中描述司機(jī)行為的一項(xiàng)關(guān)鍵參數(shù),之前一直是作為常值被引入微觀交通流建模的[2-3,5,7].但近期的研究發(fā)現(xiàn)[3,14],PRT事實(shí)上是一個(gè)時(shí)變量,不存在用一個(gè)所謂較好的常值來代替.針對(duì)各類行車事件以及司機(jī)的生理和個(gè)性差異,PRT的取值是變化的,統(tǒng)計(jì)后的典型值也各不相同,例如高預(yù)期性事件的 PRT為0.70～0.75 s,意外物體和突發(fā)事件出現(xiàn)時(shí)的 PRT分別為 1.57和 2.45 s,最大的正常的 PRT也會(huì)高達(dá)6 s.因此,正常的 PRT取值范圍[3]為τ∈[0.5,6],故此也有關(guān)于采用隨機(jī)變量形式 PRT的交通流建模研究[15].

另外,制動(dòng)距離 db中的一個(gè)重要控制參數(shù)為摩擦系數(shù)μ,它主要受車輪的結(jié)構(gòu)和材料以及道路表面形狀與材質(zhì)影響,天氣條件變化對(duì)其的影響也很大.一般建議的取值為干燥水平道路μ=0.65,潮濕水平道路μ=0.35[2-3].

工程上為了保證安全性,取 v0=vmax和G=Gb來計(jì)算 SSD[2-3],因此 ,有

式 (8)滿足人們考慮發(fā)生的“最壞可能情況”.

通過對(duì)一系列優(yōu)化速度函數(shù)進(jìn)行比較分析可知[13],臨界間距一般為堵塞車頭間距的 2～5倍,即13～50 m量級(jí),這與實(shí)際交通流情形吻合.但是,直接將式 (8)作為臨界間距的計(jì)算公式引入式 (6)是不合適的,因此,需要先將 SSD重尺度化.

假設(shè)停車視距和臨界間距的重尺度化關(guān)系為

式中,m＞0且為有理數(shù).考慮上述 hI與 hstop的倍數(shù)關(guān)系,可用不等式

表征停車視距與特征參數(shù) hstop之間的尺度聯(lián)系.用重尺度化的 SSD代替式 (6)中的臨界間距,從而得到一類可表征駕駛行為的優(yōu)化速度函數(shù).

3 考慮停車視距的優(yōu)化速度函數(shù)

由于引入了停車視距作為重尺度化的臨界間距的表征,可以在一定程度上表示司機(jī)在人-車-路環(huán)境交互作用下的一種駕駛行為.我們將這種表征駕駛行為(driving behavior,DB)的優(yōu)化速度函數(shù)稱為DBOVF,其具體表達(dá)式為

式中,停車視距的計(jì)算公式見式 (8).考慮到有三次可微性質(zhì)的 OVF具有持續(xù)研究的可能性[7,11-12],我們選擇 n=3,根據(jù)式 (10),可確定 m=1.8.其他參數(shù)建議取值[1]分別為m.下文就 PRT是統(tǒng)計(jì)平均意義上的固定值情況進(jìn)行分析,取正常行駛條件下司機(jī)的感覺-反應(yīng)時(shí)間τ=1.5 s[2-3,12,14],μ為 0.65和 0.35分別對(duì)應(yīng)普通和低摩擦路況情形.對(duì)限速情況的 OVF和 FD也進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比討論,而對(duì) PRT為時(shí)變量的情況以及與OVF相關(guān)的動(dòng)力學(xué)模擬研究,則另文專述[13].

圖 1綜合顯示了正常和限速條件下以及經(jīng)過參數(shù)標(biāo)定的優(yōu)化速度函數(shù)的比較結(jié)果.我們分別就優(yōu)化速度函數(shù)和基本圖進(jìn)行對(duì)比分析,其中正常路況下 vmax值取 33 m/s,限速條件下 vLmax值取25 m/s.從圖1(a)可以看出,DBOVF在普通路面上的表現(xiàn)和Bando OVF接近一致,特別是在 20～30 m處曲線重合,在 48 m處達(dá)到 vmax值的 95%,在稍大于41 m處分別達(dá)到 vmax值 95%的 Bando和 Mahnke OVF.另外,在低摩擦力路面上,由于考慮駕駛安全,DBOVF的取值整體上低于正常路面行車速度,這和我們預(yù)期的一致.圖 1(b)則給出了關(guān)于流量的宏觀量級(jí)比較,顯然,DBFD也能正確預(yù)測(cè)道路的實(shí)際通行能力,在密度為 30 veh/km時(shí)流量達(dá)到最大值 2 632 veh/h,略低于 Bando基本圖預(yù)測(cè)的在 29 veh/km處達(dá)到最大值 2 785 veh/h.而Mahnke基本圖由于標(biāo)定時(shí)僅和暢行交通的數(shù)據(jù)一致,沒有擁擠交通數(shù)據(jù)的驗(yàn)證,因而無法合理預(yù)測(cè)擁擠交通范圍內(nèi)的速度和流量.整體而言,對(duì)于普通高速路的流密關(guān)系,三類基本圖的表現(xiàn)在自由流區(qū)域一致,而低摩擦力路面的DB基本圖整體小于正常路面的現(xiàn)象也符合常理.在正常路面條件下,Bando和 DB基本圖均顯示流量在各自的ρjam密度的 20%處達(dá)到最大,而低摩擦力路面的臨界密度小于此值主要是由于安全駕駛導(dǎo)致的制動(dòng)距離增大的緣故.

文獻(xiàn)[5]建議在限速情況下采用小參數(shù)修正OVF的方法,即圖 1(c)和 1(d)中的Bando與Mahnke的優(yōu)化速度函數(shù)就是這樣描述的,而 DBOVF則直接使用了 vLmax替代原有的 vmax,不過需注意 SSD中的 vmax也要同時(shí)被替換.為了合理反映司機(jī)的 PRT變化,取 0.7,1.5,2.5 s依次表征司機(jī)在高預(yù)期性事件、突發(fā)事件以及安全行駛下的PRT值.另外,為了反映由于天氣變化的影響而引起的限速,我們也考慮了潮濕和干燥路面摩擦系數(shù)的變化.圖 1(c)顯示了一系列速度變化的結(jié)果,可以看出,司機(jī)在緊張的高預(yù)期心理活動(dòng)下,速度值均偏高,反映了小尺度的PRT具有促使司機(jī)加快行程的作用.而基于安全因素的考慮,司機(jī)在潮濕路面上駕車時(shí)會(huì)小心翼翼,速度值偏低,反映了司機(jī)針對(duì)天氣變化對(duì)路面的影響和車輛制動(dòng)考慮下安全駕駛的行為.

圖 1 正常路況和限速條件下優(yōu)化速度函數(shù)以及基本圖的對(duì)比Fig.1 Compar ison of optimal veloc ity functionsand fundam ental d iagram s under normal and speed lim it road cond itions

圖 1(d)刻畫了限速條件下基本圖的變化.基本圖反映了直接用小參數(shù)修正原有 OVF可能存在過多折減通行能力的弊端.一般而言,限速會(huì)增大司機(jī)的 PRT,這是由于駕駛員需要更多時(shí)間判斷限速區(qū)的路況[3].限速區(qū)的臨界密度會(huì)增大,這也是由于司機(jī)謹(jǐn)慎駕駛造成的,DBOVF能很好地預(yù)測(cè)該現(xiàn)象.即使不考慮道路摩擦系數(shù)的變化,我們也可以看出,在限速時(shí)考慮不同 PRT值的 DBFD涵蓋了密度為 20～100 veh/km的二維區(qū)域,這與實(shí)測(cè)的流密關(guān)系在中高密度值范圍的數(shù)據(jù)散布現(xiàn)象一致,說明僅考慮司機(jī)的駕駛行為也可以導(dǎo)致流密數(shù)據(jù)散布的結(jié)果,補(bǔ)充了現(xiàn)有基本圖僅為單值曲線,不考慮人類行為的唯一平衡態(tài)的認(rèn)識(shí).事實(shí)上,Bando FD曲線的大部分區(qū)域也是落在DBFD的范圍之內(nèi)的.此外,我們也可看到,PRT值的降低即司機(jī)的反應(yīng)速度加快,可以增大臨界密度值從而提高道路流量,這是符合經(jīng)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果的.

需要特別指出的是,優(yōu)化速度函數(shù)式 (11)的指數(shù)集 (n,m)并非僅有 (3,1.8)一個(gè)選擇.在考慮仍然使用停車視距重尺度化臨界間距的情況下,指數(shù)集 (n,m)選擇為 (2,1.2)也可以得到很好的結(jié)果[13].如要考慮利用現(xiàn)有標(biāo)定的臨界間距數(shù)值,例如 Bando OVF中的 25 m,則使用式 (6),選擇 n=5和 hI=25 m同樣有令人滿意的結(jié)果[13].因此,完全可以利用式(6)構(gòu)建一類優(yōu)化速度函數(shù)簇在實(shí)際情況中使用.例如,對(duì)于現(xiàn)今使用高摩擦系數(shù)路面-彩色防滑路面作為新型交通管理方式的交通流建模,采用考慮停車視距優(yōu)化速度函數(shù)的微觀模型已預(yù)測(cè)出其他模型不能正確模擬的交通波速降低和堵塞消散現(xiàn)象[16].

4 結(jié) 束 語

本研究通過分析優(yōu)化速度函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),從有理多項(xiàng)式函數(shù)出發(fā)構(gòu)造了一類以臨界間距為關(guān)鍵參數(shù)的優(yōu)化速度函數(shù),并給出了一般函數(shù)表達(dá)式.據(jù)此,提出了以臨界間距為特征參數(shù)構(gòu)建優(yōu)化速度函數(shù)且獲取非凹基本圖的方法.隨后利用重尺度化的方法,將臨界間距表述為停車視距的概念,以表征司機(jī)在人-車-路環(huán)境交互影響下的駕駛行為.考慮停車視距的優(yōu)化速度函數(shù)在與經(jīng)典的優(yōu)化速度函數(shù)的比較中顯示了一定的優(yōu)越性,并且一系列圖譜刻畫了因司機(jī)心理活動(dòng)不同而產(chǎn)生的對(duì)優(yōu)化速度和基本圖的影響,彌補(bǔ)了以往單值平衡態(tài)基本圖因不考慮人的因素而無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流密關(guān)系數(shù)據(jù)散布的缺陷,加深了人們對(duì)交通流的認(rèn)識(shí).

致謝:感謝孟劍平博士對(duì)本研究工作給予的研究建議和積極討論.

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Optimal Velocity Function Consider ing Stopp ing Sight D istance

SONG Tao1, DONGLi-yun1, KUANGHua2, L IXing-li3, DA IShi-qiang1
(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,ShanghaiUniversity,Shanghai200072,China;2.College of Physics and Technology,GuangxiNormal University,Guilin 541004,Guangxi,China;3.School of App lied Science,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,Shanxi,China)

Thispaper dealsw ith the op timal velocity function for traffic flow,characterized by a rational function form.The critical headway is taken as the control parameter and used to establish the nonconcave fundamental diagram.A new optimal velocity function considering stopping sight distance is proposed to describe human driving behavior in the driver-vehicle-road environment by rescaling the critical headway.Compared with other classical optimal velocity functions and related fundamental diagrams,the new function has advantages in explaining real traffic features such as scattering densitydependent flow data and variable highway capacity.

optimal velocity function;non-concave fundamental diagram;critical headway;stopping sight distance;driving behavior

O 29

A

1007-2861(2011)02-0147-06

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.02.008

2010-10-19

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃 (973計(jì)劃)資助項(xiàng)目 (2006CB705500);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (10532060,10962002,10902076,10972135);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010011004);上海大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(SHUCX080161)

董力耘 (1971～),男,副教授,博士,研究方向?yàn)榻煌骼碚?E-mail:dly@shu.edu.cn

(編輯:孟慶勛)

流量-密度 (簡(jiǎn)稱流密)關(guān)系曲線又稱基本圖(fundamental diagram,FD),其形狀和性質(zhì)一直是交通流理論研究中的基本問題.傳統(tǒng)研究[1-3]認(rèn)為,流密關(guān)系函數(shù)應(yīng)是凹的,即流量函數(shù) Q″(ρ)≤0.但 20世紀(jì) 90年代中期,Kerner等[4]和 Bando等[5]分別通過對(duì)宏觀連續(xù)介質(zhì)模型以及微觀優(yōu)化速度模型的研究,認(rèn)為基本圖的凹性變化是振蕩波形解產(chǎn)生的充要條件[6-7].近期的交通實(shí)測(cè)同樣證實(shí)了基本圖可能存在凹性變化的性質(zhì)[5,7-8].