立式雙擺角銑頭幾何誤差數(shù)學(xué)建模與解耦研究*

高秀峰 劉春時(shí) 李焱 林劍峰

（沈陽(yáng)機(jī)床（集團(tuán)）設(shè)計(jì)研究院有限公司，遼寧 沈陽(yáng) 110142）

立式雙擺角銑頭是中、大規(guī)格五軸聯(lián)動(dòng)加工中心的核心功能部件［1－2］，常用于加工具有復(fù)雜曲面的大型精密零部件，例如飛機(jī)的機(jī)身結(jié)構(gòu)件、風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉輪等。但由于零部件加工誤差以及裝配誤差等原因，立式雙擺角銑頭存在多項(xiàng)幾何誤差，而幾何誤差又嚴(yán)重影響精密零部件的加工精度，因此，必須對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償［3］。但立式雙擺角銑頭由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，多項(xiàng)幾何誤差常常耦合在一起，因此，必須先通過(guò)幾何誤差建模與解耦，才能分別對(duì)各項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

1 立式雙擺角銑頭幾何誤差

如圖1所示，以配置立式雙擺角銑頭的龍門式五軸加工中心為例，立式雙擺角銑頭包括圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)的C軸以及圍繞Y軸擺動(dòng)的B軸，C軸與B軸的聯(lián)動(dòng)可以帶動(dòng)主軸實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面加工。

龍門式五軸加工中心在配置立式雙擺角銑頭之前仍存在多項(xiàng)三軸機(jī)床誤差，為防止三軸機(jī)床誤差與立式雙擺角銑頭的幾何誤差耦合在一起并且簡(jiǎn)化計(jì)算，龍門式五軸加工中心在配置立式雙擺角銑頭之前，應(yīng)當(dāng)對(duì)三軸機(jī)床的各項(xiàng)誤差進(jìn)行檢測(cè)與補(bǔ)償。

立式雙擺角銑頭理論幾何精度應(yīng)當(dāng)為C軸軸線與主軸軸線重合，B軸軸線與主軸軸線垂直相交。

但由于在實(shí)際制造過(guò)程中，存在的零部件加工誤差以及裝配誤差，導(dǎo)致立式雙擺角銑頭裝配完成后，C軸軸線、B軸軸線以及主軸軸線之間存在一定的位置誤差與角度誤差，各項(xiàng)幾何誤差如表1所示。

表1中，δxSB表示主軸軸線（S軸）與B軸軸線在X方向產(chǎn)生的位置誤差，其他位置誤差符號(hào)含義與此相同。αSB表示主軸軸線與B軸軸線圍繞X軸方向產(chǎn)生的角度誤差，其他角度誤差符號(hào)含義與此相同。

表1 立式雙擺角銑頭與龍門式五軸加工中心幾何誤差表

2 立式雙擺角銑頭幾何誤差數(shù)學(xué)模型與幾何誤差解耦

2．1 立式雙擺角銑頭幾何誤差數(shù)學(xué)模型

將立式雙擺角銑頭的各項(xiàng)幾何誤差分別分解到機(jī)床坐標(biāo)系的YMZM平面與XMZM平面上，各幾何誤差如圖2與圖3所示。

根據(jù)圖2與圖3可以得到如下關(guān)系式:

其中:L為B軸軸線與球桿儀球心之間的距離。

當(dāng)θB=0°時(shí)，式（3）與式（4）為

當(dāng)θB=90°時(shí)，式（3）與式（4）為

當(dāng)θB= －90°時(shí)，式（3）與式（4）為

由式（1）～（5）可以得出，主軸、B軸與C軸的各項(xiàng)位置誤差與角度誤差均耦合在一起，為簡(jiǎn)化建模，采取B軸與C軸非聯(lián)動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)的方法，并借助于球桿儀進(jìn)行各項(xiàng)綜合誤差的檢測(cè)。

建立B軸與C軸幾何誤差數(shù)學(xué)模型的原則是:通過(guò)B軸與C軸非聯(lián)動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)，借助球桿儀分別測(cè)量出各項(xiàng)誤差敏感方向的綜合誤差值，然后通過(guò)分析各項(xiàng)位置誤差與角度誤差在誤差檢測(cè)方向之間的耦合關(guān)系，才能最終確定B軸與C軸的幾何誤差數(shù)學(xué)模型。

2．1．1 C軸幾何誤差數(shù)學(xué)模型

當(dāng)B軸位于0°時(shí)，旋轉(zhuǎn) C軸從0°～180°，并利用球桿儀如圖4所示分別測(cè)量XM方向與YM方向的C軸綜合誤差。然后通過(guò)將C軸位于 0°、90°與 180°時(shí)球桿儀的測(cè)量值減去球桿儀測(cè)量球桿的長(zhǎng)度 R，并將 0°、90°及180°同一方向的計(jì)算誤差值按照式（18）至式（21）的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相加減，便可以得到位于機(jī)床坐標(biāo)系下的XM方向與YM方向C軸綜合誤差LXM1、LXM2、LYM1與LYM2。

由圖2與圖3，并考慮立式雙擺角銑頭與機(jī)床坐標(biāo)系之間的角度誤差γCM，C軸綜合誤差在C軸坐標(biāo)系的XCYC平面與各項(xiàng)幾何誤差之間的耦合關(guān)系如圖5所示。

由圖5可以分別得出在C軸坐標(biāo)系的XC方向與YC方向C軸綜合誤差，各項(xiàng)誤差如式（12）～（17）所示。

考慮C軸坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系之間的角度誤差αCM與βCM，將式（12）～（17）由C軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系，便可以得到機(jī)床坐標(biāo)系下的XM方向與YM方向C軸綜合誤差數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型如式（18）～（21）所示。

2．1．2 B軸幾何誤差數(shù)學(xué)模型

當(dāng)C軸位于0°時(shí)，分別從0°順時(shí)針與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)B軸到90°與－90°，并利用球桿儀（如圖6所示）分別測(cè)量XM方向與ZM方向的B軸徑向與切向綜合誤差。然后通過(guò)將B軸位于0°、90°與－90°時(shí)球桿儀的測(cè)量值減去球桿儀測(cè)量球桿的長(zhǎng)度R，并將0°與90°及－90°同一方向的計(jì)算誤差值按照式（28）～（31）的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相加減，便可以得到位于機(jī)床坐標(biāo)系下的XM方向與 ZM方向 B軸綜合誤差 LXM3、LXM4、LZM1與LZM2。

由圖3，并考慮主軸與C軸之間的角度誤差βSC，B軸綜合誤差在B軸坐標(biāo)系的XBZB平面與各項(xiàng)幾何誤差之間的耦合關(guān)系如圖7所示。

由圖7可以分別得出在B軸坐標(biāo)系的XB方向與YB方向B軸綜合誤差，各項(xiàng)誤差如式（22）～（27）所示。

由于B軸坐標(biāo)系與C軸坐標(biāo)系平行，考慮B軸坐標(biāo)系與機(jī)床坐標(biāo)系之間的角度誤差αCM與βCM，將式（22）～（27）由B軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系，便可以得到機(jī)床坐標(biāo)系下的XM方向與ZM方向B軸綜合誤差數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型如式（28）～（31）所示。

2．2 立式雙擺角銑頭幾何誤差解耦

通過(guò)分析各幾何誤差之間的耦合關(guān)系，并借助于球桿儀分別測(cè)出各項(xiàng)誤差敏感方向的綜合誤差值，建立了式（18）～（21）、式（28）～（31）的幾何誤差數(shù)學(xué)模型。從表1可以得出立式雙擺角銑頭的4項(xiàng)位置誤差、6項(xiàng)角度誤差以及2項(xiàng)定位誤差，但幾何誤差數(shù)學(xué)模型僅有8個(gè)方程，因此不足以解出12項(xiàng)誤差值。

通過(guò)分析圖3，可知βSC表征B軸位于0°時(shí)的B軸定位誤差，因此，βSC可以借助B軸定位誤差檢測(cè)與補(bǔ)償加以解決。同理，γCM可以借助C軸定位誤差檢測(cè)與補(bǔ)償加以解決。

通過(guò)B軸與C軸定位誤差檢測(cè)與補(bǔ)償后，立式雙擺角銑頭只包括4項(xiàng)位置誤差與4項(xiàng)角度誤差，共8項(xiàng)誤差值，而幾何誤差數(shù)學(xué)模型有8個(gè)方程，因此，每個(gè)誤差均有唯一解。

B軸與C軸定位誤差可以借助于激光干涉儀與RX10回轉(zhuǎn)基準(zhǔn)分度器進(jìn)行檢測(cè)，詳如圖8所示。將檢測(cè)到的定位誤差值輸入到數(shù)控系統(tǒng)中便可以進(jìn)行相應(yīng)的誤差補(bǔ)償。

B軸與C軸定位誤差檢測(cè)與補(bǔ)償后，則有βSC=0，γCM=0。式（18）～（21）、式（28）～（31）分別化簡(jiǎn)為:

通過(guò)解方程（35）～（42）各項(xiàng)幾何誤差最終結(jié)果如下:

αSB+αBC表征主軸軸線與C軸軸線圍繞X軸方向產(chǎn)生的角度誤差，因此，可以將兩個(gè)角度誤差的和進(jìn)行補(bǔ)償，而沒(méi)有必要分別進(jìn)行補(bǔ)償。

3 結(jié)語(yǔ)

立式雙擺角銑頭在裝配完成后，C軸軸線、B軸軸線、主軸軸線以及配套機(jī)床之間存在4項(xiàng)位置誤差、6項(xiàng)角度誤差以及2項(xiàng)定位誤差，通過(guò)分析各幾何誤差之間的幾何關(guān)系，并借助于球桿儀對(duì)各誤差敏感方向進(jìn)行綜合誤差檢測(cè)，可以建立立式雙擺角銑頭幾何誤差數(shù)學(xué)模型，但該數(shù)學(xué)模型僅有8個(gè)方程。通過(guò)激光干涉儀與RX10回轉(zhuǎn)基準(zhǔn)分度器對(duì)B軸與C軸的定位誤差進(jìn)行檢測(cè)與補(bǔ)償，使得幾何誤差總數(shù)由12項(xiàng)減少為8項(xiàng)，因此，最終可以通過(guò)幾何誤差數(shù)學(xué)模型求得各幾何誤差的唯一解。

［1］林劍峰，閆明，鄭鵬，等．直驅(qū)式A/C軸雙擺角銑頭模態(tài)分析［J］．機(jī)械傳動(dòng)，2010，34（4）:61－63．

［2］林劍峰，閆明，鄭鵬，等．直驅(qū)式雙擺角銑頭C軸傳動(dòng)部分有限元分析［J］．機(jī)械傳動(dòng)，2010，34（5）:59－61．

［3］MUDITHA Dassanayake K M，MASAOMI Tsutsumi，AKINORI Saito．A strategy for identifying static deviations in universal spindle head type multi－ axis machining centres［J］．International Journal of Machine tools＆ Manufacture，2006，46:1097－1106．