基于牛頓－拉普森及Hertz理論的軸承性能分析

康文龍 李琳琳

（遼寧工程技術(shù)大學機械工程學院，遼寧阜新 123000）

深溝球軸承摩擦系數(shù)小并且極限轉(zhuǎn)速高，尺寸和形式變化多樣，堅實耐用，通用性強，運行時噪聲較低，常用于煤礦機械、各種機床、汽車、摩托車、精密儀表、低噪聲電機等一般機械中，是機械工業(yè)中應用最為廣泛的一類軸承。深溝球軸承主要用來承受徑向載荷，也可承受一定的軸向載荷。當深溝球軸承受到一定的徑向載荷時，滾動體由于剛性原因會發(fā)生變形，從而引起轉(zhuǎn)軸與軸承座即殼體產(chǎn)生相對位移，輕則影響傳動精度，重則會導致噪聲、震動，甚至損壞機械。本文即利用有限元分析軟件和接觸理論對受一定徑向載荷的軸承進行應力和剛度分析，對深溝球軸承的認識與應用有極其重要的作用，首先可以更好地了解深溝球軸承的接觸變形特性，在進行機械設(shè)備設(shè)計中更準確地選擇軸承的規(guī)格型號;其次通過深入了解軸承的接觸變形性能，可以更好地對運行中的軸承進行維護，提高其使用壽命和運行可靠性;第三，可以利用此分析方法對各種類型軸承的接觸變形性能進行分析，以便更精確的選用和維護，并不局限于本文所選的國標軸承。

1 深溝球軸承的接觸應力分析

1．1 深溝球軸承建模［1－2］

本文的研究對象是材料為GCr15軸承鋼的深溝球軸承，型號6248，內(nèi)徑 d=240 mm，外徑 D=440 mm，寬度B=72 mm，裝配倒角不小于4 mm，滾動體數(shù)Z=15，彈性模量 E=2．1 ×1011Pa，泊松比μ=0.3。然后利用布爾運算命令并用自底向上法和自頂向下法，建模如圖1所示。

1．2 模型的網(wǎng)格劃分和創(chuàng)建接觸對

實體建模是為了劃分網(wǎng)格以生成節(jié)點和單元，包括定義單元屬性和網(wǎng)格生成控制并生成網(wǎng)格。在單元庫中選用SOLID45為實體單元，材料屬性中彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比PRXY=0.3，摩擦因數(shù) MU=0.2，先利用命令（SWEEP）對內(nèi)圈和外圈進行網(wǎng)格劃分，使深溝球軸承內(nèi)外圈劃分網(wǎng)格，然后對滾動體進行網(wǎng)格劃分，并把軸承可能接觸的部分進行細化（REFINE），劃分過后軸承的網(wǎng)格如圖 2 所示［3－4］。

再利用ANSYS接觸導向?qū)⒔佑|軸承內(nèi)圈的外滾道溝曲面與滾動體的球面設(shè)置為接觸對，使軸承內(nèi)圈的弧面為接觸面，滾動體的球面為目標面;將接觸軸承外圈的內(nèi)滾道溝曲面與滾動體的球面設(shè)置為接觸對，使軸承外圈的弧面為接觸面，滾動體的球面為目標面。接觸類型為柔體與柔體的面面接觸，如圖3、圖4所示。

1．3 邊界條件與載荷

ANSYS面－面接觸單元使用GAUSS積分點作為接觸檢查點的缺省值，它使Newton－Cotes節(jié)點積分項產(chǎn)生更精確的結(jié)果。定義邊界條件及施加載荷。根據(jù)軸承實際的工作情況和計算載荷的特點，邊界條件為:在柱坐標系下（X向表示半徑、Y向表示圓心角、Z向表示軸向），約束深溝球軸承的外圈的外表面在X，Y，Z三個方向的自由度。徑向載荷通過軸作用于內(nèi)圈，位于上半圈的滾動體基本不受力，下半圈的滾動體將載荷傳到外圈，滾動體上的載荷沿圓周變化。鑒于深溝球軸承主要工作環(huán)境和本文研究的重點及計算工作的簡化，建模中作出2個假設(shè):①軸承的初始間隙為零;②軸承只承受徑向載荷，載荷沿內(nèi)圈線性變化，y=0°處載荷最大，y=90°處載荷為零。加載后的軸承模型如圖5所示，軸承所加載荷應力如圖6。

1．4 應力求解和結(jié)果分析

對于非線性問題ANSYS的方程求解器，采用帶校正的線性近似來解。它將載荷分成一系列的載荷向量，可以在幾個載荷步內(nèi)或者一個載荷步的幾個子步內(nèi)施加。ANSYS使用牛頓－拉普森平衡迭代的算法，迫使在每個載荷增量的末端解達到平衡收斂。每次求解前，完全的NR方法估算出殘差矢量，這個矢量是回復力（對應于單元應力的載荷）和所加載荷的差值，然后使用非平衡載荷進行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解直到問題收斂。本文采用一個載荷步（其他均用缺省值）進行靜力學分析。計算結(jié)果可由深溝球軸承的接觸應力等值線圖表示，最大應力為3 833 Pa，我們可以清晰地從圖7中看到，在軸承的正下方的滾珠和與之相連接處受力最大，而真實的情況也是最容易在這個地方發(fā)生破壞。

2 深溝球軸承的剛度分析

2．1 Hertz 橢圓形點接觸理論［5］

Hertz求解點接觸的兩物體接觸應力與變形時，假設(shè)在外力Q的作用下，接觸點將變形放大進而形成一個平面，該接觸面在兩物體接觸點公法線方向上垂直投影所得為橢圓，其長軸和短軸分別為2a和2b，在接觸面內(nèi)接應力為半圓分布。由Hertz理論知道，如果Q通過接觸點公法線，則物體趨近于受力方向的變形量為

其中:A和B分別為第一、第二類完全橢圓積分;∑ρ為主曲率和;E1和E2分別為物體1和2的彈性模量;V1和V2分別為物體1和2的泊松比。

2．2 深溝球軸承徑向負荷作用變形量分析

本文的目的在于分析滾動體和內(nèi)圈、外圈的剛度即變形量，故要假設(shè)軸承座或殼體與轉(zhuǎn)軸均為剛性體，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸無間隙緊密接觸，外圈與軸承座或殼體無間隙緊密接觸，亦即內(nèi)、外圈無變形，緊隨著滾動體的變形而使相對曲率中心發(fā)生位移，當某一個滾動體處于軸正下方時，軸承內(nèi)圈與外圈的滾道溝曲率中心距離為L，軸承受載荷時滾動體變形，而曲率中心隨著滾動體的變形會發(fā)生上、下移動［6］（如圖8、圖9所示）。

軸承在受到徑向載荷時，雖然只有滾動體發(fā)生變形，但是與之接觸的內(nèi)圈和外圈卻在位置上會發(fā)生變動，結(jié)果是受載荷的轉(zhuǎn)軸軸心相對于軸承座或整個殼體位置發(fā)生變動，最大變動量如圖9中內(nèi)外圈滾道溝曲率中心的變形位移量μ1和μ2，因此在公法線方向上總的變形量為

其中:Q1和Q2分別為內(nèi)圈、外圈與滾動體接觸作用力;Eb、E1和E2分別為滾動體、內(nèi)圈和外圈的彈性模數(shù);Vb、V1和V2分別為滾動體、內(nèi)圈和外圈的泊松比。

在6248 軸承中，（∑ρ）1=0.045 2，對應=0.962 3，（∑ρ）2=0.033 4，對應=0.976 0，彈性模量Eb=E1=E2=2.1×1011Pa，泊松比 Vb=V1=V2=0.3。得到μ1=Q12/3× 0.093 μm，μ2=Q22/3×0.109 μm。當 Q1=Q2=300 N 時，μr=μ1+μ2=9.1 μm。

用積分法將上述特殊位置的變形延伸至處于各個位置的滾動體，可得到整個軸承的徑向剛度。設(shè)滾動體與內(nèi)外圈接觸點公法線和軸承豎直方向所成角度為φ，當公法線向右偏時為正。當φ=0°時，軸承內(nèi)外圈發(fā)生最大徑向偏移μmax，因初始軸承間隙為零，故有μmax=μr，如圖10 所示有:

滾動體受到內(nèi)外圈的大小相等、方向相反的外力，根據(jù)式（4）、（5），所以有

當軸承處于靜力平衡時，負荷Fr等于軸承內(nèi)外圈與滾動體接觸作用力總和:

用積分形式表達即為

軸承剛度定義為當軸承承受一定外力作用時，為抵抗外力而產(chǎn)生的變形位移，用外力的改變量與相對變形位移量的比值表示:

對6248軸承，當初始間隙為零時，只有受載方向的8顆滾動體受力，此時可以得到

當轉(zhuǎn)軸受到向下的徑向載荷100 kN時，位于正下方的滾動體受到最大力54 645 N，而處于兩側(cè)各個角度的滾動體受力如表1所示。

表1 滾動體處于不同角度時所受力

利用MATLAB對上述12組數(shù)據(jù)進行基于二次樣條函數(shù)的一類保形擬插值，得到滾動體所受載荷與滾動體所處角度之間的函數(shù)曲線（圖11）。

根據(jù)上述結(jié)果可以得到不同徑向載荷下軸承的徑向變形量和相對徑向剛度（表2）。

表2 不同徑向載荷下軸承的徑向變形量和相對徑向剛度

利用MATLAB對上述8組數(shù)據(jù)進行基于二次樣條函數(shù)的一類保形擬插值，得到Fr和μr及Fr和Kr曲線圖（圖12、13）。從圖中可以看出，隨著軸承所受載荷越來越大，變形量會越來越大，但變化幅度有減小的趨勢，而剛度變化的幅度也會越來越小。

3 結(jié)語

相對于一些分析方法，如獨立的仿真軟件應力云圖法結(jié)果只是用圖形定性或估量表述軸承的接觸變形，不夠精確;還有的方法如古典數(shù)值法、邊界元等現(xiàn)代數(shù)值法，結(jié)果精度雖與牛頓－拉普森和Hertz理論相差不大，但過程比較繁瑣。在本文所述的方法里，只要掌握了牛頓－拉普森有限元接觸分析方法和研究對象的變形方式，就很容易更精確、有效、實用可靠地進行分析，更便于工程運用［7］:

（1）當深溝球軸承只受到向下的徑向負荷作用時，處于軸承正下方的滾動體受到的應力和壓強最大，而兩側(cè)滾動體則按一定規(guī)律遞減;軸承的徑向變形量和剛度會隨著徑向負荷的增加而增加，但是增加的幅度會逐漸減小。

（2）當負荷達到額定值時，我們可以得到軸承的最大徑向變形量，可作為轉(zhuǎn)軸設(shè)計和軸承選用時的參考依據(jù)。根據(jù)本文差值結(jié)果，在知道所受徑向負荷時，可以知道軸承的變形情況，進而根據(jù)變形情況在設(shè)計或計算裝配軸承和轉(zhuǎn)軸時做好預設(shè)，以減小轉(zhuǎn)軸工作時的誤差;同時，當知道對軸承施加某應力引起的變形情況時，可以反推得到軸承所受力的大小，在應力接近額定值時對工作環(huán)境和條件進行調(diào)整，以延長軸承工作壽命，提高工作效率。

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［6］丁長安，周曉文．圓錐滾子軸承的受載變形特性［J］．軸承，1996（7）:6－11．

［7］陳家慶，周海，吳世薪．圓柱滾子軸承載荷分布的理論研究［J］．軸承，2001（6）:8．