基于壓縮傳感的寬帶頻譜協(xié)方差感知算法*

魏 苗，練秋生

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島 066004)

隨著無線通信技術(shù)的飛速發(fā)展，頻譜資源變得越來越緊張，尤其是3 GHz以下頻段的頻譜利用率低，認(rèn)知無線電(Cognitive Radio，CR)被認(rèn)為是目前解決這一問題最有潛力的通信技術(shù)之一［1－2］。頻譜感知是認(rèn)知無線電的基本功能，是實(shí)現(xiàn)頻譜管理、頻譜共享的前提。所謂“感知”，就是在時(shí)域、頻域和空域多維空間，對(duì)被分配給主用戶(初始授權(quán)用戶)頻段不斷地進(jìn)行頻譜檢測(cè)，檢測(cè)這些頻段內(nèi)主用戶是否工作，從而得到頻譜的使用情況［3］。

認(rèn)知無線電需要檢測(cè)一個(gè)非常大的頻帶范圍來找到最好的可利用的頻帶，帶寬可能要高達(dá)幾GHz，稱為寬帶感知。寬帶感知是實(shí)現(xiàn)認(rèn)知無線電系統(tǒng)的前提，是未來認(rèn)知無線電通信系統(tǒng)必須解決的關(guān)鍵技術(shù)之一，它需要超寬的射頻前端，非?？斓臄?shù)字處理設(shè)備，高頻率處理轉(zhuǎn)換技術(shù)水平嚴(yán)重制約了高寬帶的發(fā)展。如果在一個(gè)很大的頻帶范圍內(nèi)是空閑的，也就是說信號(hào)在頻域是稀疏的，又由于實(shí)際稀疏數(shù)據(jù)觀察值成組出現(xiàn)，即組稀疏的特性，可以將最近發(fā)展起來的壓縮傳感 CS(Compressed Sensing，CS)［4］技術(shù)應(yīng)用于寬帶頻譜感知，此時(shí)再采樣時(shí)就不用高于信號(hào)帶寬的兩倍，減緩了數(shù)字處理設(shè)備的壓力。網(wǎng)絡(luò)能夠正常運(yùn)行，依賴于信息的快速傳輸，因此需要快速準(zhǔn)地找到可利用的頻譜［5］。

本文在頻譜協(xié)方差感知(Spectrum Covariance Sensing，SCS)［6］的基礎(chǔ)上利用寬帶信號(hào)頻譜稀疏以及組稀疏的思想提出了基于壓縮傳感的頻譜協(xié)方差感知算法，對(duì)欠采樣信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，直接使用重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行傳輸和檢測(cè)，大大降低了傳輸信號(hào)信道帶寬的要求和信號(hào)存儲(chǔ)的要求，緩解了信號(hào)采集端的壓力，降低了系統(tǒng)的成本。

1 SCS頻譜感知方法

令xc(t)=sc(t)+ηc(t)為接收信號(hào)，其中sc(t)為可能的主用戶信號(hào)，ηc(t)為噪聲信號(hào)。定義x(n)xc(nTs)，s(n)sc(nTs)，其中Ts=1/fs為采樣間隔，fs為采樣率。存在兩種假設(shè):①H0表示主用戶不存在;②H1表示主用戶存在。接收信號(hào)樣本表示如下:

x(n)為認(rèn)知用戶接收到的實(shí)際信號(hào);s(n)為主用戶發(fā)射信號(hào);η(n)為加性高斯白噪聲(AWGN)。

頻譜協(xié)方差感知算法利用接收信號(hào)和噪聲在頻域的不同的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性進(jìn)行檢測(cè)來判斷主用戶的存在與否。根據(jù)統(tǒng)計(jì)協(xié)方差理論，計(jì)算接收信號(hào)樣本部分頻譜的協(xié)方差矩陣，構(gòu)造檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量T1/T2，當(dāng)其大于閾值γ時(shí)，則主用戶信號(hào)存在，否則主用戶信號(hào)不存在，該方法稱為SCS算法［6］。其中T1為協(xié)方差矩陣所有元素的和，T2為協(xié)方差矩陣對(duì)角線元素的和，閾值γ由預(yù)設(shè)虛警概率Pfa確定。頻譜感知的性能可由兩種概率來衡量:檢測(cè)概率Pd與虛警概率Pfa。其中

SCS算法流程圖如圖1所示。

圖1 SCS算法流程圖

SCS算法的虛警概率與檢測(cè)概率表達(dá)式分別為［6］

其中，K表示低通濾波器的截止頻率，Nd表示感知窗的數(shù)目，γ表示SCS算法的決策閾值，與分別表示Nd個(gè)感知窗下導(dǎo)頻與噪聲的相關(guān)累加和，Γp表示有效的信噪比。

SCS是一種高度有效的頻譜感知算法，有效降低了頻譜感知時(shí)間，提高了感知靈敏度且有效克服了噪聲不確定性。

2 基于壓縮傳感的SCS算法

寬帶傳輸技術(shù)比傳統(tǒng)的傳輸技術(shù)有很多優(yōu)點(diǎn)，因而引起了廣泛的關(guān)注。但是寬帶頻譜感知面臨著相當(dāng)大的技術(shù)挑戰(zhàn)，一個(gè)最主要的實(shí)現(xiàn)方面的挑戰(zhàn)是傳統(tǒng)的頻譜估計(jì)方法的采樣率為奈奎斯特速率或者是高于奈奎斯特速率。要使信號(hào)采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍，該采樣率稱作奈奎斯特采樣率，該理論也是統(tǒng)治了信息處理領(lǐng)域多年的基本理論之一。

認(rèn)知無線電需要檢測(cè)一個(gè)非常大的頻帶范圍來找到最好的可利用的頻帶，帶寬可能要高達(dá)幾GHz，稱為寬帶感知。目前的認(rèn)知無線電局限于對(duì)存在硬件設(shè)備允許的操作帶寬范圍內(nèi)，寬帶感知需要超寬的射頻前端，非?？斓臄?shù)字處理設(shè)備，頻譜感知的許多理論工作在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)。壓縮傳感為解決高寬帶帶來的模數(shù)轉(zhuǎn)換和器件方面的技術(shù)瓶頸提供了一條指路明燈。為此，本文結(jié)合壓縮傳感與SCS的思想提出了基于壓縮傳感的頻譜協(xié)方差感知算法。壓縮傳感理論是對(duì)傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的擴(kuò)展，可大大減少恢復(fù)信號(hào)所需的采樣值數(shù)目，在信號(hào)及圖像處理領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。它允許獲得稀疏信號(hào)的欠采樣，然后重構(gòu)奎斯特速率信號(hào)，最后進(jìn)行重構(gòu)信號(hào)的CR頻譜感知。

基于壓縮傳感的SCS算法流程圖如圖2所示。

圖2 基于壓縮傳感的SCS算法流程圖

壓縮傳感重構(gòu)是指利用獲得的觀測(cè)值通過合適的算法恢復(fù)原始信號(hào)或圖像的過程。目前的重構(gòu)算法大致分基于貪婪思想的重構(gòu)算法和基于最優(yōu)化思想的重構(gòu)算法。貪婪算法中經(jīng)典算法是匹配追蹤(MP，Matching Pursuit)算法［7］，正交匹配追蹤 OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法［8］，逐步正交匹配追蹤算 StOMP［9］(Stagewise Orthogonal Matching Pursuit)等，基于最優(yōu)化的算法有非凸優(yōu)化算法［10］、凸優(yōu)化算法及光滑l0范數(shù)(SL0)算法［11］等。

接收信號(hào)使用模擬信息轉(zhuǎn)換器［12－13］(analog-toinformation converter，AIC)進(jìn)行壓縮采樣，AIC在概念上可以理解為奈奎斯特速率下的ADC操作，然后再進(jìn)行壓縮采樣。ADC的輸出rk為N×1維向量

記壓縮采樣矩陣A為M×N維矩陣，則AIC的輸出yk為M×1維向量(M＜N)

于是得到(9)式:

其中，A為M×N維的壓縮采樣矩陣。

根據(jù)寬帶頻譜中信號(hào)頻譜的稀疏特性，可求信號(hào)在頻域的稀疏表示Zx為

則(9)式可表達(dá)為

則對(duì)寬帶信號(hào)的頻譜感知可以轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)的最優(yōu)化問題:

在一些實(shí)際應(yīng)用中，非零稀疏系數(shù)通常不是隨機(jī)分布的，而是成組出現(xiàn)，稱為組稀疏。本文利用寬帶信號(hào)頻譜稀疏特性的基礎(chǔ)上結(jié)合非零稀疏系數(shù)成組出現(xiàn)即組稀疏的特性對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

將Zx進(jìn)行分組為

其中，Zxk，i為第k組的第i個(gè)樣本。

因此，組稀疏的最優(yōu)化問題可通過復(fù)合范數(shù)‖Zx‖2，1來解決，即

其中，

重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)可表述為以下步驟:

①設(shè)置參數(shù) 輸入加噪信號(hào)x和觀測(cè)矩陣A，求得觀測(cè)值:y=Ax。

②初始化 加噪信號(hào)x=0。

③求取與加噪信號(hào)x等長度的隨機(jī)信號(hào)的平均頻譜xnsg，設(shè)置初始化參數(shù)xsigma=0.001。

④設(shè)置最大迭代次數(shù)Iter，dsigma=xsigma/Iter，令初始迭代次數(shù)k=0。

⑤約束平面投影 將x向約束平面作正交投影，并更新重構(gòu)信號(hào)。

xk+1=xk+AT(y－Axk)

⑥計(jì)算重構(gòu)信號(hào)xk+1的頻譜Zx，并獲得鄰域頻譜向量 Zx1=［Zx(2)，Zx(1:n－1)T］T和 Zx2=［Zx(2:n)T，Zx(n－1)］T，其中n為奈奎斯特樣本數(shù)目。

⑧閾值判斷 若M＞xsigma*xnsg，則保留頻譜Zx的幅值，否則置0，獲得重構(gòu)信號(hào)頻譜。

⑨對(duì)重構(gòu)信號(hào)頻譜求逆變換獲得重構(gòu)加噪信號(hào)x。

⑩更新參數(shù)xsigma=xsigma-dsigma。

（11）迭代結(jié)束條件判斷 若k＜Iter，令k=k+1，返回步驟⑤，否則向下執(zhí)行步驟（12）。

（12）輸出重構(gòu)信號(hào)xk+1。

3 仿真結(jié)果

在IEEE 802.22中使用許多主用戶信號(hào)，僅考慮基于DTV信號(hào)的WAS_3_27_06022000_REF信號(hào)作為主用戶信號(hào)。21.52 MHz采樣的ATSC信號(hào)經(jīng)下抽樣后采樣率Fs=2.152 MHz，為了驗(yàn)證算法的性能，需要添加白噪聲來獲得不同的信噪比，本文對(duì)WAS_3_27_06022000_REF信號(hào)進(jìn)行1 000次檢測(cè)驗(yàn)證主用戶的存在與否。

在圖3中，使用固定虛警概率Pfa=0.01，其中選擇感知窗數(shù)目Nd=6，每個(gè)感知窗的時(shí)間ts=0.1 ms，因此總感知時(shí)間Ts=ts×Nd=0.6 ms，驗(yàn)證了 SCS算法以及壓縮比分別為M/N=0.25，0.5，1時(shí)在不同信噪比下的檢測(cè)概率，SCS算法的檢測(cè)概率與壓縮比為M/N=1時(shí)的檢測(cè)概率完重合。由圖3可以看出，隨著信噪比的提高，檢測(cè)概率有所提高，但是壓縮比的降低對(duì)檢測(cè)概率影響不大。例如當(dāng)信噪比分別為6 dB與8 dB時(shí)，壓縮比為0.25時(shí)僅僅比壓縮比為1時(shí)檢測(cè)概率分別降低0.076與0.068。

圖3 不同信噪比與壓縮比下的檢測(cè)概率

但是在圖3中，檢測(cè)性能并不理想。由于檢測(cè)性能與參數(shù)Nd和ts有關(guān)，在圖4和圖5中改變參數(shù)來驗(yàn)證系統(tǒng)檢測(cè)概率的變化。在圖4中，固定虛警概率Pfa=0.01，SNR=－6 dB，ts=0.1 ms，感知窗數(shù)目分別為Nd1=6，Nd2=12，因此總感知時(shí)間分別為Ts1=ts×Nd1=0.6 ms，Ts2=ts×Nd2=1.2 ms。在壓縮感知中，當(dāng)壓縮比為1時(shí)，每個(gè)感知窗的采樣點(diǎn)數(shù)為2|log2(Fs×ts)|=128，因此總采樣點(diǎn)數(shù)分別為N1=128×6=768，N2=128×12=1 536，壓縮比M/N(N=［N1，N2］)從 0.1%變化到50%，由圖4可知，Nd越大，檢測(cè)概率越高，即總感知時(shí)間越長檢測(cè)性能越好，且Nd的增加使檢測(cè)概率提高很快。

圖4 不同感知窗寬度下的檢測(cè)概率

在圖5 中，固定壓縮比M/N=0.25，SNR=－6 dB，Nd=6，每個(gè)感知窗的時(shí)間分別為ts1=0.1 ms，ts2=0.2 ms，因此總感知時(shí)間分別為Ts1=ts1×Nd=0.6 ms，Ts2=ts2×Nd=1.2 ms，虛警概率從 0.001 變化到 0.05。由圖5可知，在同一壓縮比下，虛警概率越小，檢測(cè)概率越低，ts越大，檢測(cè)概率越高，即總感知時(shí)間越長檢測(cè)性能越好，且ts的增加使檢測(cè)概率提高很快。

圖5 不同ts下的ROC曲線

由圖3可以看出壓縮比越大，檢測(cè)性能越好，但是壓縮比的改變對(duì)系統(tǒng)的檢測(cè)性能影響不大，因此下面需要進(jìn)一步驗(yàn)證當(dāng)壓縮比達(dá)到多少時(shí)就能達(dá)到理想的檢測(cè)效果，又由圖4、圖5可知，Nd與ts越大，檢測(cè)效果越好。如圖6所示，設(shè)置Nd=12，ts=0.2 ms，Pfa=0.01，驗(yàn)證信噪比分別為－6 dB 與－10 dB壓縮比M/N從0.1%變化到50%的檢測(cè)性能。由圖6可知，當(dāng)壓縮比為0.1時(shí)系統(tǒng)的檢測(cè)概率接近100%，達(dá)到了很好的檢測(cè)效果。

圖6 不同壓縮比下的檢測(cè)概率

圖7給出了SCS算法中低通濾波下采樣后信號(hào)z(n)的頻譜圖和M/N=0.1時(shí)對(duì)z(n)進(jìn)行重構(gòu)后的頻譜圖，圖8給出了z(n)的局部頻譜圖和M/N=0.1時(shí)對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)的局部頻譜圖，由圖8可以看出，低通濾波器的截至頻率為40 kHz。圖7、圖8表明當(dāng)壓縮比為0.1時(shí)能夠很好地重構(gòu)出頻譜的位置。

圖7 z(n)頻譜圖和M/N=0.1重構(gòu)頻譜圖

圖8 z(n)局部頻譜圖和M/N=0.1重構(gòu)局部頻譜圖

4 結(jié)束語

本為利用寬帶信號(hào)頻譜的稀疏性以及實(shí)際稀疏數(shù)據(jù)觀察值成組稀疏的特性，將壓縮傳感技術(shù)應(yīng)用到認(rèn)知無線電協(xié)方差頻譜感知中來減輕現(xiàn)代模擬數(shù)字硬件設(shè)備的采樣局限性，該方法對(duì)寬帶信號(hào)能以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣率的速率進(jìn)行采樣，大大降低了A/D轉(zhuǎn)換器的要求，緩解了信號(hào)采集端的壓力，降低了系統(tǒng)的成本，當(dāng)壓縮比為0.1時(shí)能很好地估計(jì)出信號(hào)所占用頻段。

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