VTI介質(zhì)隱式有限差分平面波偏移

韓 利，韓立國，崔 杰，鞏向博

(吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，長春130026)

VTI介質(zhì)隱式有限差分平面波偏移

韓 利，韓立國，崔 杰，鞏向博

(吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，長春130026)

這里研究了VTI(Vertical Transverse Isotropy)介質(zhì)隱式有限差分(IFD)波場外推算子和VTI介質(zhì)平面波偏移。在文中設計了VTI介質(zhì)IFD波場外推算子，將Taylor分析法求得的差分系數(shù)，作為初始解，用非線性優(yōu)化方法迭代求得算子系數(shù)。將設計的外推算子頻散曲線和偏移脈沖響應與理論解進行了對比分析，驗證出外推算子有較高的精度。從各向同性介質(zhì)平面波偏移理論出發(fā)，結(jié)合VTI介質(zhì)IFD波場外推算子，將平面波偏移推廣到VTI介質(zhì)中。對Hess VTI標準模型擬合數(shù)據(jù)進行偏移，偏移結(jié)果驗證了平面波偏移在VTI介質(zhì)中的有效性，以及在加強特定陡傾界面成像方面的優(yōu)勢。并且，與常規(guī)VTI介質(zhì)疊前深度偏移相比，VTI介質(zhì)平面波偏移在保證成像質(zhì)量的前提下，大大減少了計算量，為各向異性偏移成像研究提供了新的技術(shù)思路。

平面波偏;VTI介質(zhì)偏移;各向異性偏移;VTI介質(zhì)波場外推;隱式有限差分算子

0 前言

波動方程疊前深度偏移，可以克服Kirchhoff偏移多路徑和高頻假設的限制，能在橫向變速強烈的復雜地區(qū)產(chǎn)生更好的成像。但是，波動方程疊前偏移耗時很大。為此，許多學者研究了平面波偏移在減少計算量，提高波動方程偏移效率上的潛力。Berkhout［1]提出面炮偏移技術(shù);張叔倫等［2]實現(xiàn)了傅立葉有限差分平面波偏移;Zhang等［3]實現(xiàn)3D延遲放炮偏移;Stoffa等［4]對共檢波點道集和共炮道集分別作平面波偏移，再疊加以提高成像精度;崔興福等［5]利用平面波偏移進行了分角度成像和AVA分析;葉月明等［6]研究了起伏地表下的平面波偏移;Shan等［7]提出傾斜坐標系下平面波偏移以提高高角度成像準確度;韓利［8]實現(xiàn)對稱非穩(wěn)態(tài)相移法平面波偏移。平面波偏移還可以自然地產(chǎn)生共角度道集，用來進行速度更新［3]。

但這些關(guān)于平面波偏移的研究，基本都是在各向同性介質(zhì)下，沒有考慮各向異性介質(zhì)情況。而各向異性在石油勘探中普遍存在，如果地下介質(zhì)存在較強各向異性而在偏移時被忽略，反射波將不能被正確歸位［9]，甚至扭曲構(gòu)造形態(tài)，這對地層連續(xù)性和橫向構(gòu)造均有較大影響［10、11]。VTI模型可以有效地刻畫地下許多沉積地質(zhì)模型，常被用來進行各向異性偏移研究。

與各向同性介質(zhì)相比在VTI介質(zhì)中波的頻散關(guān)系要復雜些，因為其傳播速度依賴于相位角。所以，在VTI介質(zhì)波場外推經(jīng)常使用相移加內(nèi)插［12]或顯性卷積方法［13、14]，因為復雜的頻散關(guān)系并不增加這些方法的復雜性。但是對于相移加內(nèi)插法，需要大量的參考波場。顯性卷積方法在各向同性下都很難保證穩(wěn)定性，而且需要很長的卷積濾波算子以保證精度。作者在本文選用能很好處理橫向變速問題的隱式有限差分(Implicit Finite Difference:IFD)算法［15]。Ristow等［16]基于弱各向異性假設和Taylor分析將其拓展到VTI介質(zhì)。為了改善精度，Liu等［17]在有限差分后加入了相位改正算子。Shan［18、19]提出了優(yōu)化的方法，將非線性問題降解為線性優(yōu)化問題，再利用線性優(yōu)化解出的系數(shù)求解差分系數(shù)。作者在本文延用Shan避開弱各向異性假設及優(yōu)化的思想，不同的是作者直接建立非線性優(yōu)化問題，并將Taylor序列展開法求得的系數(shù)作為初始解，直接使用非線性最小二乘求解差分系數(shù)，得到VTI介質(zhì)中IFD外推算子。

首先，作者介紹了各向同性介質(zhì)下的平面波偏移理論，接著闡述了在VTI介質(zhì)中IFD算子系數(shù)設計，結(jié)合二者，將平面波偏移推廣到VTI介質(zhì)中。將設計的外推算子頻散曲線和偏移脈沖響應，分別與理論解做了對比分析，應用Hess VTI標準模型數(shù)據(jù)來驗證平面波偏移的有效性，并展示了平面波偏移在加強陡傾目標界面成像方面的優(yōu)勢。

1 各向同性介質(zhì)平面波偏移

常規(guī)疊前偏移是通過對單個炮集進行獨立偏移得到單炮成像，并通過疊加所有的單炮成像得到整個地下成像。波動方程單炮偏移過程需要兩步:①將震源波場和接收波場從地表外推到地下所有的深度;②在每個深度通過對震源波場和接收波場，應用成像條件(如做互相關(guān))得到成像。

炮集記錄可以合成一個新的數(shù)據(jù)體，來表征一個現(xiàn)實中沒有進行的物理實驗。這種數(shù)據(jù)合成方法的一個重要的例子，就是組合炮集記錄建立平面波震源記錄。在數(shù)學上，可以通過對共檢波點道集進行傾斜疊加(線性Radon變換)來實現(xiàn):

其中R=R(sx，x，z，ω)是接收波場;sx是震源位置;psx是相應于sx的射線參數(shù);rx是地表檢波器位置。相應的地表平面波震源波場為:

和常規(guī)波動方程炮域偏移一樣，典型的平面波偏移也需要二步:①將震源波場Sp和接收波場Rp，分別用單程波動方程獨立地外推到地下所有深度點;②含有射線參數(shù)Psx的平面波成像，通過對震源波場和用圓頻率ω加權(quán)了的檢波波場作互相關(guān)實現(xiàn):

其中S*p是震源波場Sp的復共軛。

整個圖像通過疊加所有Psx值的平面波成像得到:

因為傾斜疊加和偏移都是線性算子，在連續(xù)情況下，平面波偏移與傳統(tǒng)的炮剖面偏移效果一樣［2]。在實際離散形式下，需要有足夠數(shù)量的P值使二種成像等同。Zhang等討論了在平面波偏移方法實際應用中需要的共P剖面數(shù)量Np及分量采樣步長Δp:

其中f=ω/2π，Ns為一個共檢波道集中的炮數(shù);Δxs為炮間距，所以NsΔxs為一個共檢波道集的長度;入射角α1≤αs≤α2;vs為地表速度。

2 VTI介質(zhì)中IFD算子設計

2.1 VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系

VTI介質(zhì)有一個豎向旋轉(zhuǎn)對稱軸，相速度依賴于介質(zhì)的豎向速度及相速度的傳播角。在VTI介質(zhì)中，qP－波和qSV－波的相速度，可以用Thomsen符號表示(Tsvankin，1996):

其中 θ為波的相位角，即波傳播方向與豎向軸之間的夾角;f=1－(vs0/vp0)2;vp0和vs0分別為qP－波和qSV－波在豎向方向的速度。

在式(6)中，當根號前符號為正時，v(θ)為qP－波的相速度，為負時，v(θ)為qSV－波的相速度。

通過式(6)及相位角θ和波數(shù)的關(guān)系，可以得到VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系［18]:

其中sz=kzvp0/ω，系數(shù)d0、d2和d4分別為:4

其中sx=kxvp0/ω。

VTI介質(zhì)中的頻散關(guān)系式(7)是一個有四個解的四次方程，其中二個解代表上行/下行qP－波，另外二解代表上行/下行qSV－波。我們只考慮qP－波的外推。

2.2 IFD算子系數(shù)設計

在實際應用中，假設在qSV－波速比qP－波速度小得多時有f≈1，Shan［18、19]根據(jù)這個假設，從式(7)中簡化qP－波的頻散關(guān)系為:

該頻散關(guān)系雖然有一點假設，但不受弱各向異性的限制。對式(8)進行逆Fourier變換，得到VTI介質(zhì)下的上行和下行單程聲波方程式(9)(用代替sz，用代替s2x)。

為了設計式(9)的IFD模式，需要用一個加權(quán)函數(shù)式(10)近似sz:

這里加權(quán)函數(shù)系數(shù)αi和βi也可以通過Pade展開得到。Shan提出用優(yōu)化的方法求解，首先建立加權(quán)優(yōu)化函數(shù)，并將其化為線性最小二乘可解的優(yōu)化函數(shù)，在求得優(yōu)化系數(shù)后進一步分裂為式(11)的形式:

其中 系數(shù)ai和bi通過αi和βi，i=1、…、n計算得到。

作者直接從式(8)設計加權(quán)函數(shù)式(11)，建立如式(12)的優(yōu)化問題。

式(12)是一個非線性優(yōu)化問題，需要用非線性最小二乘法解。作者采用高斯～牛頓迭代法解［23]，利用Taylor展開分析算出一組ai和bi，i=1、…、n作為迭代的初始解，這樣就可以減少迭代的計算量。在算出系數(shù)ai和bi后，VTI介質(zhì)中的IFD波場外推和各向同性下相同。

圖1是當各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15時，對幾種頻散關(guān)系與VTI介質(zhì)頻散關(guān)系解析解進行的比較。在圖1中，曲線“True”是由式(8)得到的真實頻散關(guān)系;曲線“Isotropic”是不考慮各向異性影響時的頻散關(guān)系;曲線“Taylor－weak”是由D Ristow等［16]方法解出的頻散關(guān)系。可以看出，這種近似在低相位角時擬合的很好，而在高相位角時有些偏差;曲線“Optimization”為用本文建立的優(yōu)化式(12)解出的頻散關(guān)系，由圖1中可以看出，這種近似與真實頻散關(guān)系幾乎完全匹配，精度很高。幾種近似方法在各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15時，對應的四階優(yōu)化系數(shù)(n=2)見表1。用同樣的辦法也可以擬合更高階差分系數(shù)。

圖1 頻散關(guān)系曲線比較(ε=0．2，δ=0．15)Fig.1 Dispersion relation comparison withε=0．2，δ=0．15

表1 ε=0．2、δ=0．15幾種方法求出的四階(n=2)優(yōu)化系數(shù)Tab.1 The coefficients of different approximately operators withε=0．2，δ=0．15

圖2(見下頁)是在各向異性參數(shù)為ε=0.2、δ=0.15，速度vp0=2 000 m/s，時間t=0.8 s時，幾種方法的偏移脈沖響應。其中，深色線是根據(jù)式(6)及速度時間等參數(shù)算出的理論曲線(理論曲線單程按t=0.4 s計算)。圖2(a)是各向同性IFD 80°差分算子對各向異性介質(zhì)下的脈沖響應，從圖2(a)中可以明顯看出，忽略各向異性將會帶來很大誤差，尤其是在橫向方向誤差較大;圖2(b)是由Taylor展開法計算得到的差分系數(shù)構(gòu)建差分算子得到的脈沖響應，從圖2(b)中可以看出，脈沖響應與理論曲線基本吻合，但在在大角度時失真。圖2(c)為解本文構(gòu)建的非線性優(yōu)化問題式(12)得到的差分系數(shù)得到的偏移脈沖響應，與理論曲線匹配的非常好，這就證明本文使用直接解非線性優(yōu)化問題得到的差分系數(shù)非常準確。

圖2 幾種方法的脈沖響應，VTI介質(zhì)參數(shù):vp0=2 000 m/s，ε=0．2，δ=0．15，t=0．8 sFig.2 Impulse response of a tilted VTImedia with vp0=2 000 m/s，ε=0．2，δ=0．15，t=0．8s

3 VTI介質(zhì)平面波偏移

在各向同性介質(zhì)中，平面波偏移通過解上行/下行波方程，再利用式(3)和式(4)的成像過程成像。在VTI介質(zhì)中，平面波的合成過程和成像物理過程是不變的，但應用的波傳播方程不一樣了。利用上面構(gòu)建的VTI介質(zhì)中IFD外推算子，來解VTI介質(zhì)中聲波方程(9)。VTI介質(zhì)中波場外推算子的精度越高，成像越精確，但算子精度越高需要求解的優(yōu)化問題計算量就越大，這就使得各向異性偏移計算量一般要高于各向同性情況。應用平面波偏移，較常規(guī)各向異性偏移大大減少了偏移的計算量。

另外，在常規(guī)VTI介質(zhì)偏移中，由于偏移孔徑的限制，單炮偏移只能加強很窄孔徑內(nèi)的成像，而應用平面波偏移，每一個P面的成像孔徑是整個測線，參數(shù)P又與地下界面傾角有一定的關(guān)系，根據(jù)這一原理，對特定P參數(shù)成像，可加強地下特定角度界面的成像。

4 模擬算例

理論實驗模型數(shù)據(jù)采用Hess VTI標準模型，擬合數(shù)據(jù)由Amerada Hess提供，該數(shù)據(jù)是用Standford University SEP實驗室的有限差分正演軟件正演的，不包含與地表有關(guān)的多次波。數(shù)據(jù)由720個炮集組成，網(wǎng)格間距d x=d z=6.096 m，炮間距30.48 m，道間距12.192 m，最小偏移距0 m，最大偏移距7 985.8 m，采樣時長為7.992 s，采樣間隔為6 ms。模型如圖3所示。

圖3 Hess VTI標準模型Fig.3 Hess VTImodel

圖4是應用各向同性介質(zhì)下有限差分做的疊前深度偏移。

圖4 各向同性波動方程IFD法偏移結(jié)果Fig.4 Imaging obtained by Isotropic IFD operator

圖5是使用式(12)構(gòu)造的VTI介質(zhì)中波場外推算子做的常規(guī)炮剖面法VTI介質(zhì)疊前深度偏移。

對比圖4與圖5，從A、B二處可以看出，如果地下是各向異性介質(zhì)，用各向同性的方程偏移不能將地質(zhì)體正確歸位。

根據(jù)方程(5)，NsΔxs取最大偏移距長度為7 986 m，f取45 Hz，α 取 正、負30°，vs取1 500 m/s，則得到 Δp=2.8μs/m，Np=240。如果NsΔxs取小一點還可以取更少的P面。圖6是用240個P面疊加得到的VTI介質(zhì)中平面波偏移結(jié)果，與圖5比較，平面波偏移用小于常規(guī)偏移幾倍的計算量得到與之相同質(zhì)量的成像。

從圖5和圖6可以看出，不管是常規(guī)炮剖面偏移方法還是平面波偏移方法，在鹽體左腰處陡界面成像質(zhì)量都較差。因此，通過偏移加強陡傾界面成像意義重大。

圖5 VTI介質(zhì)中傳統(tǒng)波動方程IFD偏移結(jié)果Fig.5 Imaging obtained by conventional VTImedia shotprofilemethod wave equationmigration

圖6 VTI介質(zhì)中平面波IFD法偏移結(jié)果Fig.6 Imaging obtained by VTImedia plane wave IFDmigration

圖7(見下頁)是平面波偏移加強圖5、圖6中陡傾界面C的說明。圖7(a)分別為炮點在1 738 m、3 048 m、4 816 m、6 200 m處的單炮偏移剖面，圖7(b)分別為P等于 －131μs/m、－197μs/m、－262μs/m、－329μs/m時的單P偏移剖面。對比圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn)，受偏移孔徑限制，單炮偏移不能由某一炮或幾炮對地下陡傾界面進行成像加強，而在平面波偏移中，一個單P面偏移對與之對應傾角的地下界面成像貢獻較大，通過對特定的某個或幾個P面成像加權(quán)，就能加強特定地下界面成像。如圖7(c)為P等于300μs/m附近五個偏移剖面疊加之和，只對與之角度對應的界面成像(如界面C)。圖7(d)與圖7(e)分別為平面波偏移對界面C加強前后的效果。由圖7可見，陡傾界面C成像明顯加強。

圖8(見后面)為特定陡傾界面加強后的效果，從圖8中可以看出，陡傾界面C有了明顯的加強。在基本沒有增加計算量的情況下，在平面波偏移中，特定P面偏移改善了陡傾界面成像效果。

5 結(jié)論

作者在本文用優(yōu)化方法設計了VTI介質(zhì)隱式有限差分波場外推算子，將Taylor展開法求得的差分系數(shù)作為初始解，用非線性優(yōu)化方法迭代求得差分算子系數(shù)。通過與VTI介質(zhì)頻散關(guān)系和偏移脈沖響應理論解對比分析證明，各向同性IFD算子在VTI介質(zhì)偏移中會帶來很大誤差，尤其是在橫向方向。Taylor展開法VTI介質(zhì)IFD算子在低相位角時比較準，但高相位角時有一定誤差。而作者在文中用優(yōu)化的方法求取的VTI介質(zhì)IFD算子頻散曲線和偏移脈沖響應，與解析解匹配的都非常好，這也證明了設計算子的精度很高，而且不受弱各向異性假設限制。從計算量方面考慮，優(yōu)化的VTI介質(zhì)IFD算子比各向同性介質(zhì)多出的計算量部份，為求取差分系數(shù)的部份，如果建立優(yōu)化VTI差分系數(shù)庫，采用表格查找系數(shù)方式，這部份時間就可忽略，而求取系數(shù)之后的計算量和各向同性下相同。

圖7 平面波偏移加強特定陡傾界面成像Fig.7 Enhancing steep reflectors imaging by plane wavemigration

圖8 特定P剖面加強陡傾界面C成像后的效果Fig.8 Imaging after steep reflectors enhancing by specifical Pmigration

作者在文中，結(jié)合設計的VTI介質(zhì)下IFD波場外推算子，將平面波偏移理論推廣到VTI介質(zhì)中，并將該算法用于國際標準Hess VTI模型。擬合數(shù)據(jù)算例表明，VTI介質(zhì)下平面波偏移在保證成像質(zhì)量的同時，大大降低了計算量，這對各向異性偏移研究有重要意義。作者還給出了平面波偏移在加強特定陡傾界面成像方面的應用，平面波偏移用很少的計算量就能加強陡傾界面成像，這是常規(guī)炮剖面法偏移沒有的一個優(yōu)勢。

［1]BERKHOUTA J.A real shot－record technology［J].J Seis Expl，1992，1(3):251.

［2]張叔倫，孫沛勇.基于平面波合成的傅里葉有限差分疊前深度偏移［J].石油地球物理勘探.1999，34(1):1.

［3]ZHANG Y，SUN J，NOTFORSC，et al.Delayed－shot 3D depth migration［J].Geophysics.2005，70(5):E21.

［4]STOFFA PL，SEN MK，SEIFOULLAEV RK，et al.Plane－wave depth migration［J].Geophysics.2006，71(6):S261.

［5]崔興福，劉衛(wèi)東，劉桂寶，等.平面波偏移、分角度成像與AVA道集生成［J].石油物探.2007，46(6):615.

［6]葉月明，李振春，仝兆岐，等.起伏地表條件下的合成平面波偏移及其并行實現(xiàn)［J].石油地球物理勘探.2007，42(06):622.

［7]SHAN G J，BIONDIB.Plane－wavemigration in tilted coordinates［J].Geophysics.2008，73(5):S185.

［8]韓利.延遲激發(fā)平面波疊前深度偏移研究［D].長春:吉林大學，2009.

［9]MARTIN D，EHINGER A，RASOLOFOSAON P.Some aspects of seismic modeling and imaging in anisotropic media using laser ultrasonics:62nd Ann.Internat.Mtg［J].Soc.Expl.Geophys.In，1992:1373.

［10]VESTRUM RW，LAWTON D C，SCHMID R.Imaging structures below dipping TI media［J].Geophysics.1999，64(4):1239.

［11]YAN L，LINES L，LAWTON D.Influence of seismic anisotropy on prestack depthmigration［J].The Leading Edge.2004，23(1):30.

［12]ROUSSEAU J.Depth migration in heterogeneous，transversely isotropic media with the phase－shift－plus－interpolation method in 67th Ann［J].Internat.Mtg.Soc.of Expl.Geophys.1997:1703.

［13]BAUMSTEIN A，ANDERSON J.Wavefield extrapolation in laterally varying VTImedia in 73rd Ann［J].73th Annual InternationalMeeting，SEG，Expanded Abstracts.2003:945.

［14]REN J，GERRARD C，MCCLEAN J，et al.Prestack wave－equation depthmigration in VTImedia［J].The Leading Edge.2005，24(6):618.

［15]CLAERBOUT JF.Imaging the Earth's interior［M].Blackwell Scientific Publications，1985.

［16]RISTOW D，RüHL T.3－D implicit finite‐difference migration bymultiway splitting［J].Geophysics.1997，62(2):554.

［17]LIU L N，GAO H W，LIU H，et al.Wave equation depthmigration with optimum split－step Fourier method in 3－D VTImedia［J].Chinese Journal of Geophysics－Chinese Edition.2005，48(2):406.

［18]SHAN G J.Optimized implicit finite－difference and Fourier finite－differencemigrnation for VTImedia［J].Geophysics.2009，74(6):189.

［19]SHAN G.Optimized implicit finite－difference migration for VTImedia［J].In:SEG Annual Meeting;2006;New Orleans;2006:2367.

［20]Kelley CT.Iterative Methods for Optimization［M].SIAM Frontiers in Applied Mathematics，1999.

P 631.4

A

1001—1749(2011)02—0115—07

國家“973”項目(2007CB209603);國家863項目(2007AA060801)

2010－07－15改回日期:2010－10－25

韓利(1984－)，男，河北保定人，博士，主要從事地震偏移成像和反演方面的研究。