三次NURBS樣條曲線插補(bǔ)加工螺旋轉(zhuǎn)子建模與加工研究*

余道洋 韓 江 夏 鏈

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽合肥 230009)

螺旋轉(zhuǎn)子流量計(jì)是20世紀(jì)90年代末新推出的一種新型流量計(jì)，它具有如下優(yōu)點(diǎn):動(dòng)平衡良好，振動(dòng)及噪聲小，體積小，計(jì)量容量大;不產(chǎn)生脈沖;轉(zhuǎn)子表面無負(fù)荷，在旋轉(zhuǎn)過程中不產(chǎn)生磨損，使用壽命大大延長［1］。螺旋轉(zhuǎn)子是其中最關(guān)鍵的零件，其端面輪廓齒形截面如圖1所示。

螺旋轉(zhuǎn)子端面輪廓曲線由3段曲線組成:漸開線、擺線和圓弧。圓弧可以由數(shù)控系統(tǒng)圓弧插補(bǔ)來實(shí)現(xiàn)，漸開線和擺線現(xiàn)在一般采用微小直線段來擬合實(shí)現(xiàn)。但是，微小直線段不僅代碼量非常巨大，而且直線段間的不連續(xù)破壞了曲率的光滑性，會(huì)導(dǎo)致速度加速度的不連續(xù)［2］，存在加工效率低的問題，在四軸加工中心上加工模數(shù)為13.5 mm的螺旋轉(zhuǎn)子需要3 h，加工模數(shù)更大的螺旋轉(zhuǎn)子需要更長加工時(shí)間，有的甚至需要20 h以上。要克服這些不足，提高加工效率，必須采用自由曲線插補(bǔ)。本文提出用三次NURBS樣條插補(bǔ)來擬合漸開線和擺線，大大提高了加工效率。

1 三次NURBS曲線構(gòu)造與計(jì)算

1.1 構(gòu)造三次NURBS曲線

本文以端面輪廓其中擺線段為例，說明三次NURBS曲線的構(gòu)造過程。三次NURBS曲線可以表示為1個(gè)分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)。

式中:型值點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1;控制頂點(diǎn)為di(i=0，1，…，n+2)，其順次相連構(gòu)成控制多邊形;wi為與控制頂點(diǎn)di相對(duì)應(yīng)的權(quán)因子;Ni，3是3次B樣條基函數(shù)。

圖2是螺旋轉(zhuǎn)子端面輪廓曲線擺線上的7個(gè)型值點(diǎn)(本文中設(shè)n=6)，型值點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示，求通過這些點(diǎn)的三次NURBS曲線。

表1 NURBS曲線上型值點(diǎn)的坐標(biāo)

1.2 確定節(jié)點(diǎn)矢量

根據(jù)曲線上的型值點(diǎn) pi，i=0，1，…，n(n=6)，采用平方根法確定節(jié)點(diǎn)矢量。設(shè)7維矢量a=(a0a1…a6)，求得a的各個(gè)分量如表2所示。

根據(jù)式(2)，兩端采用四重節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造n+7(即13)維節(jié)點(diǎn)矢量

分別在曲線兩端構(gòu)造4次重節(jié)點(diǎn)，即u0=u1=u2=u3;u9=u10=u11=u12，求得各分量的值如表3所示。

1.3 計(jì)算基函數(shù)

采用 De Boor－Cox遞推算法［3］，

計(jì)算時(shí)需分別求出0、1、2、3次B樣條基函數(shù)，亦即將k=0，1，2，3依次代入公式，通過遞推關(guān)系計(jì)算得三次B樣條基函數(shù)。由于篇幅關(guān)系，本文只列出三次B樣條基函數(shù)。三次B樣條基函數(shù)為:

1.4 反求控制頂點(diǎn)

用于擬合n+1 個(gè)型值點(diǎn)pi，i=0，1，…，n的三次B 樣條曲線可表示為［4－5］:

表2 7維矢量a各分量值

表3 節(jié)點(diǎn)矢量各分量值

將定義域u∈［u3，un+3］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入式(5)，有

取n=6，結(jié)合邊界條件可求解;設(shè)NURBS曲線的控制頂點(diǎn) d0、d1、d7、d8和NURBS相切，從而可以求出控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如表4所示。

表4 控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)

2 計(jì)算三次NURBS樣條曲線插補(bǔ)刀位數(shù)據(jù)

由于大多數(shù)高端數(shù)控機(jī)床都具有刀補(bǔ)功能，計(jì)算出三次NURBS樣條曲線的基函數(shù)和控制頂點(diǎn)后，可以直接用這些點(diǎn)的數(shù)值進(jìn)行編程［6］。

由式(5)可知:

由1.3節(jié)已求出Ni，3，由 1.4節(jié)已求出控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)i=3時(shí)，即u∈［u3，u4］時(shí)，可以用三次NURBS樣條曲線來擬合求出螺旋轉(zhuǎn)子端面輪廓擺線段其中一段:

同理可求出其他幾段，這樣就實(shí)現(xiàn)了用三次NURBS樣條曲線來擬合端面輪廓擺線段。

由三次NURBS樣條曲線性質(zhì)［7］，經(jīng)過矩陣變換，將式(6)變換成數(shù)控系統(tǒng)所需要的三次樣條曲線插補(bǔ)方程，就實(shí)現(xiàn)了用三次樣條插補(bǔ)加工螺旋轉(zhuǎn)子端面輪廓擺線段。

3 刀位數(shù)據(jù)模擬與誤差分析

將式(6)輸入到Pro/E軟件中，結(jié)果如圖3，細(xì)線條表示理論擺線輪廓，粗線條是式(6)表示的三次樣條曲線的擬合曲線，經(jīng)過分析比較三次樣條插補(bǔ)曲線與理論擺線誤差后得出，最大誤差為:0.048 mm，小于螺旋轉(zhuǎn)子的加工制造允許誤差范圍。同理可以分析比較其他幾個(gè)三次樣條曲線的擬合曲線和理論擺線輪廓誤差，經(jīng)過分析計(jì)算，輪廓曲線誤差都在允許的誤差范圍之內(nèi)。

4 在加工中心上加工驗(yàn)證

螺旋轉(zhuǎn)子的實(shí)際加工運(yùn)用立式四軸加工中心進(jìn)行數(shù)控銑削加工。經(jīng)過實(shí)際加工試驗(yàn)，采用三次NURBS樣條曲線插補(bǔ)加工螺旋轉(zhuǎn)子，比采用微直線段插補(bǔ)加工螺旋轉(zhuǎn)子大大提高了螺旋轉(zhuǎn)子的加工效率，在保證螺旋轉(zhuǎn)子制造加工精度的前提下，可以提高螺旋轉(zhuǎn)子的加工效率50%以上。同時(shí)，本文采用的三次NURBS樣條曲線插補(bǔ)加工方法對(duì)于加工一些特殊曲線和曲面也具有一定的借鑒意義。

［1］余道洋，韓江，夏鏈.螺旋轉(zhuǎn)子數(shù)控加工的數(shù)學(xué)建模分析與研究［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30(11):1433 －1435.

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