基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑模控制的不確定混沌系統(tǒng)同步*

李華青 廖曉峰 黃宏宇

(重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400044)

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑?？刂频牟淮_定混沌系統(tǒng)同步*

李華青廖曉峰 黃宏宇

(重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400044)

(2010年4月12日收到;2010年5月21日收到修改稿)

基于滑?？刂萍夹g(shù)和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)出一種神經(jīng)滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)了兩個(gè)不確定混沌系統(tǒng)的同步.控制器的設(shè)計(jì)不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，只與系統(tǒng)的輸出狀態(tài)有關(guān)，而且對(duì)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性.最后，利用本方法設(shè)計(jì)出控制器實(shí)現(xiàn)了未知 Lorenz系統(tǒng)的自同步、未知 Lorenz系統(tǒng)與 Chen系統(tǒng)之間的異結(jié)構(gòu)同步，而且響應(yīng)時(shí)間短，同步效果好.

混沌同步，滑?？刂?，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不確定混沌系統(tǒng)

PACS:05.45.Xt

1.引 言

1990年，Pecora和Carroll［1］在混沌同步方面作了開創(chuàng)性的研究工作.混沌同步在物理、通信、信息科學(xué)、生物工程等領(lǐng)域都有較好的應(yīng)用前景，這激發(fā)了許多學(xué)者的研究熱情.各種混沌同步方法相繼被提出［2—11］，如耦合同步法［2］、變結(jié)構(gòu)同步法［3］、自適應(yīng)同步法［4］、線性和非線性反饋同步法［5—7］、脈沖同步法［8，9］、投影同步法［10，11］和其他方法［12—29］.這些同步方法大多都是在假設(shè)模型參數(shù)確定不變和沒有外界干擾的前提下給出的，即使有模型參數(shù)不確定性和外界干擾的影響，通常也僅是考慮它們滿足一定的匹配條件.在實(shí)際應(yīng)用中，限于測(cè)量條件和工具的限制，外界很難精確知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即系統(tǒng)對(duì)于外界往往是未知的，或者系統(tǒng)受外界干擾是時(shí)變的，且外界干擾往往不滿足某種匹配條件.在這種情況下，大量依賴系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的同步方法就會(huì)失效［12，13］.但人們能夠較容易地獲得系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)的輸出，因此尋找一種只需要狀態(tài)輸出的控制器來同步未知混沌系統(tǒng)的方法有較大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.而這方面的研究還未見報(bào)道.

一方面，考慮到徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種局部逼近網(wǎng)絡(luò)，已經(jīng)證明它能以任意精度逼近任意的連續(xù)函數(shù)［14］，所以RBF具有較強(qiáng)的處理不確定性和外界干擾的能力.另一方面，滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)對(duì)于滿足一定匹配條件的模型不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)穩(wěn)健性，因此被廣泛用于控制領(lǐng)域，但是常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制伴隨的抖振會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，這在一定程度上限制了它在混沌控制中的深入應(yīng)用［12］.基于以上考慮，本文設(shè)計(jì)一種含有積分項(xiàng)的滑模面(可以在一定程度上減弱斗振)，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)一種神經(jīng)滑模控制器來同步未知混沌統(tǒng).具體步驟為:首先設(shè)計(jì)出n(系統(tǒng)維數(shù))個(gè)含有積分項(xiàng)的滑模面，然后分別以這n個(gè)滑模面為輸入設(shè)計(jì)n個(gè)SISO(單入單出)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，n個(gè)控制器分別為這n個(gè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出.按照滑模趨近條件推導(dǎo)出各個(gè)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的在線調(diào)整規(guī)律.設(shè)計(jì)這種控制器只需要系統(tǒng)的狀態(tài)輸出，不必知道系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，追蹤切換控制代價(jià)較小，而且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)的穩(wěn)性.本方法還可以實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的投影步、廣義同步以及對(duì)參考信號(hào)的追等.控制器和網(wǎng)絡(luò)權(quán)值在線調(diào)整規(guī)律可以具有相同的形式，只需要修改滑模面即可.最后通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)該同步方法進(jìn)行了驗(yàn)證.

2.問題描述

考慮以下兩個(gè)同步的混沌系統(tǒng):

這里x，y∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;A1，A2∈Rn×n為定常矩陣;f1(·)，f2(·)為光滑的非線性矢量;ΔA1x，ΔA2y為線性擾動(dòng)項(xiàng);Δf1(x，t)，Δf2(y，t)為非線性擾動(dòng)項(xiàng);d1(t)，d2(t)為外部干擾;u(t)∈Rn為控制輸入.定義狀態(tài)誤差為 e=y-x=［e1，e2，…，en］T，我們的目標(biāo)是充分利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的在線學(xué)習(xí)能力與滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)來設(shè)計(jì)一組控制器u(t)∈Rn使得定義n個(gè)滑模面為

其中ci>0.根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近原理，任何一個(gè)連續(xù)的非線性函數(shù)都可以通過理想權(quán)值和充分多的輸入基函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來以任意精度逼近［14，15］.為此我們?cè)O(shè)計(jì)第i個(gè)神經(jīng)滑?？刂破鳛?/p>

這里 m為隱含層個(gè)數(shù)，ωij，cij，bij∈Rn×m.接下來的任務(wù)就是根據(jù)滑模趨近條件來推導(dǎo)出m×n個(gè)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的在線學(xué)習(xí)調(diào)整規(guī)律.我們控制的目標(biāo)是使得

那么第i個(gè)RBF神經(jīng)權(quán)值調(diào)整指標(biāo)為

則可以得到網(wǎng)絡(luò)權(quán)值在線調(diào)整規(guī)律

其中ηi>0為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)率，(i=1，2，…，n)，(j=1，2，…，m).

從以上分析過程可以看出:這種控制器只需要系統(tǒng)的狀態(tài)輸出，不必知道系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，追蹤切換控制代價(jià)較小，而且對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)的穩(wěn)性.

3.仿真實(shí)驗(yàn)

3.1.混沌系統(tǒng)描述

Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

當(dāng)a=10，b=8/3，c=28時(shí)，系統(tǒng)(7)處于混沌狀態(tài).

Chen系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

當(dāng)α=35，β=3，γ=28時(shí)，系統(tǒng)(8)處于混沌狀態(tài).

3.2.Lorenz系統(tǒng)的自同步

仿真實(shí)驗(yàn)中采用步長(zhǎng)為0.001的四階龍格-庫塔法，主 Lorenz系統(tǒng)的初始值選取為［0.2，0.91，3］;線性擾動(dòng)項(xiàng)為δa=0.05，δb=0.04，δc=0.03;非線性擾動(dòng)項(xiàng)為 Δf11=0，Δf12=0.1x1x3，Δf13= 0.2x1x2;外界擾動(dòng)為d11(t)=0.5sin(2πt)，d12(t)= 0.3cos(πt)，d13(t)=0.5sin(2πt).從Lorenz系統(tǒng)的初始值選取為［3，2，1］，線性擾動(dòng)項(xiàng)為δa=0.03，δb =0.04，δc=0.05;非線性擾動(dòng)項(xiàng)為Δf21=0，Δf22= 0.2x1x3，Δf23=0.1x1x2;外界擾動(dòng)為 d21(t)= 0.4sin(2πt)，d22(t)=0.4sin(2πt)，d23(t)= 0.4sin(2πt);滑模面系數(shù)為c1=c2=c3=5;RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層個(gè)數(shù)為m=7，高斯函數(shù)的參數(shù)為

3.3.Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步

主Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)與3.2.節(jié)選取相同的值;從Chen系統(tǒng)的初始值選取為［3，2，1］;線性擾動(dòng)項(xiàng)為δα=0.03，δβ=0.04，δγ=0.05;非線性擾動(dòng)項(xiàng)為Δf21=0，Δf22=0.2x1x3，Δf23=0.1x1x2;外界擾動(dòng)為d21(t)=0.4sin(2πt)，d22(t)=0.4sin(2πt)，d23(t) =0.4sin(2πt);RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的所有參數(shù)與3.2.節(jié)相同.仿真結(jié)果如圖3，4所示.從以上仿真結(jié)果可以看出:兩個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量在利用本方法設(shè)計(jì)的控制器的作用下達(dá)到了同步，同步所需要的響應(yīng)時(shí)間很短而且同步效果較好.

圖1 Lorenz系統(tǒng)自同步誤差隨時(shí)間的演化曲線 (a)e1，(b)e2，(c)e3

圖2 Lorenz系統(tǒng)自同步時(shí)控制輸入隨時(shí)間的演化曲線 (a)u1，(b)u2，(c)u3

圖3 Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的同步誤差隨時(shí)間的演化曲線 (a)e1，(b)e2，(c)e3

本文提出方案的同步性能指標(biāo)取決于RBF網(wǎng)絡(luò)的隱含層個(gè)數(shù)、高斯函數(shù)參數(shù)、學(xué)習(xí)率和滑模面系數(shù).控制器的設(shè)計(jì)只需知道需要同步的系統(tǒng)狀態(tài)變量即可，不需要其他的非線性信息.到目前為止，許多經(jīng)典的同步方法都是通過直接或者間接地抵消掉響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)來達(dá)到系統(tǒng)同步的目的.但是這些方法一方面由于非線性項(xiàng)的難于測(cè)量而難應(yīng)用于實(shí)際領(lǐng)域，另一方面也會(huì)減弱受控系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.本文通過結(jié)合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑?？刂萍夹g(shù)，解決了傳統(tǒng)同步方法存在的這些不足.因?yàn)樵谕竭^程中只需要系統(tǒng)的狀態(tài)信息，而不需要其他的任何非線性信息，這就使得響應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不受影響.所以，本方法在同步兩個(gè)混沌系統(tǒng)方面具有較好的應(yīng)用前景.此外，本方法還可以實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的投影同步、廣義同步以及對(duì)參考信號(hào)的追蹤控制等，并且控制器和網(wǎng)絡(luò)權(quán)值在線調(diào)整規(guī)律可以具有相同的形式，只需要修改滑模面即可.

圖4 Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的控制輸入隨時(shí)間的演化曲線 (a)u1，(b)u2，(c)u3

4.結(jié) 論

本文提出一種普遍適用的未知混沌系統(tǒng)的同步方法.所設(shè)計(jì)的神經(jīng)滑模控制器和網(wǎng)絡(luò)權(quán)值在線調(diào)整規(guī)律具有統(tǒng)一的形式.該方法不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，只與系統(tǒng)的狀態(tài)輸出有關(guān)，而且對(duì)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性.當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)都存在系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界擾動(dòng)時(shí)，使用本方法能較好地實(shí)現(xiàn)同步.該方法還適用于廣義同步、投影同步和追蹤控制.

［1］Pecora L M，Carroll T L 1990 Phys.Rev.Lett.64 821

［2］Lü J H，Zhou T S 2002 Chaos Soliton.Fract.14 529

［3］Yin X H，Ren Y，Shan X M 2002 Chaos Solitton.Fract.14 1077

［4］Han X，Lu J A，Wu X 2004 Chaos Soliton.Fract.22 221

心臟移植術(shù)后急性排斥反應(yīng)可引起移植物血管病變，提高心臟衰竭的風(fēng)險(xiǎn)。一旦排斥反應(yīng)沒有及時(shí)處理，心肌將受到不可逆性損傷，嚴(yán)重可導(dǎo)致死亡。及時(shí)的免疫抑制治療可以顯著減少心臟移植急性排斥反應(yīng)的發(fā)生，盡早發(fā)現(xiàn)排斥反應(yīng)尤為關(guān)鍵[5-6]。

［5］Tao C H，Lu J A，Lü J H 2002 Acta Phys.Sin.51 1497(in Chinese)［陶朝海、陸君安、呂金虎2002物理學(xué)報(bào)51 1497］

［6］Chen Z S，Sun K H，Zhang T S 2005 Acta Phys.Sin.54 2580 (in Chinese)［陳志勝、孫克輝、張?zhí)┥?2005物理學(xué)報(bào) 54 2580］

［7］Sarasola C，Torrealdea F J，Anjou A D 2003 Int.J.Bifurc. Chaos 13 177

［8］Chen S H，Yang Q，Wang C P 2004 Chaos Soliton.Fract.20 751

［9］Sun J T，Zhang Y P 2003 Phys.Lett.A 36 306

［10］Liu J，Chen S H，Lu J A 2003 Acta Phys.Sin.52 1595(in Chinese)［劉 杰、陳士華、陸君安2003物理學(xué)報(bào)52 1595］

［11］Wang X Y，Wang Y 2007 Acta Phys.Sin.56 2498(in Chinese)［王興元、王 勇2007物理學(xué)報(bào)56 2498］

［12］Guo H J，Liu J H 2004 Acta Phys.Sin.53 4080(in Chinese)［郭會(huì)軍、劉君華2004物理學(xué)報(bào)53 4080］

［13］Yang S K，Chen S L，Yan H T 2002 Chaos Solition.Fract.13 767

［14］Guan X P，Tang Y G，F(xiàn)an Z P，Wang Y Q 2001 Acta Phys. Sin.50 2112(in Chinese)［關(guān)新平、唐英干、范正平、王益群2001物理學(xué)報(bào) 50 2112］

［15］Hornik K，Stinchombe M，White H 1989 Neural Networks 2 359

［16］Liu J K 2005 Matlab Simulation for Sliding Mode Control (Beijing:Tsinghua University Press)pp13—226(in Chinese)［劉金坤2005滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真(北京:清華大學(xué)出版社)第13—226頁］

［17］Ropaei M，Zolghadri M 2009 Nonl.Anal.Theo.Meth.Appl.71 4430

［18］Hajian M，Markadeh G 2009 Ener.Conv.Mana.50 2296

［19］Kong C C，Chen S H 2009 Chin.Phys.B 18 91

［20］Yu D C，Wu A G，Yang C P 2005 Chin.Phys.B 14 914

［21］Guo H J，Yin Y W，Wang H M 2008 Chin.Phys.B 17 1652

［22］Lou X Y，Cui B T 2008 Chin.Phys.B 17 4434

［23］Li L X，Peng H P，Guan B Z，Xu J M 2001 Chin.Phys.B 10 708

［24］Yue Y J，F(xiàn)eng R P 2001 Acta Phys.Sin.50 440(in Chinese)［薛月菊、馮汝鵬2001物理學(xué)報(bào)50 440］

［25］Liu D，Yan X M 2009 Acta Phys.Sin.58 3747(in Chinese)［劉 丁、閆曉妹2009物理學(xué)報(bào)58 3747］

［26］Li X C，Xu W，Xiao Y Z 2008 Acta Phys.Sin.57 4721(in Chinese)［李秀春、徐 偉、肖玉柱2008物理學(xué)報(bào)57 4721］

［27］Liu F C，Song J Q 2008 Acta Phys.Sin.57 4729(in Chinese)［劉福才、宋佳秋2008物理學(xué)報(bào)57 4729］

［28］Yang T，Shao H H 2005 Acta Phys.Sin.54 4584(in Chinese)［楊 濤、邵惠鶴2005物理學(xué)報(bào)54 4584］

［29］Yau H T，Yan J J 2009 Nonl.Anal.Real World Appl.10 1480

PACS:05.45.Xt

Synchronization of uncertain chaotic systems based on neural network and sliding mode control*

Li Hua-QingLiao Xiao-Feng Huang Hong-Yu
(College of Computer Science，Chongqing University，Chongqing 400044，China)

12 April 2010;revised manuscript

21 May 2010)

The synchronization between two unknown chaotic systems is achieved by designing a controller based on the sliding mode control technique and radial basis function neural network.The controller design method is independent of the system mathematical model，but only depends on the output of the system state.Moreover，it is robust to parameter uncertainties and the outside interference.Finally，synchronization between unknown Lorenz systems and between unknown Lorenz system and Chen system are achieved using the proposed method.The response time is very short and the synchronization performance is good.

chaos synchronization，sliding mode control，neural network，uncertain chaotic system

*中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(批準(zhǔn)號(hào):CDJXS10180012)和國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):60973114，61003247)資助的課題.

*Project Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities of China(Grant No.CDJXS10180012)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.60973114，61003247).