幾種模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

姚朝龍，劉立龍

（桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 廣西 桂林 541004）

幾種模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

姚朝龍，劉立龍

（桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 廣西 桂林 541004）

針對(duì)在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)選取不同模型將得到不同的轉(zhuǎn)換精度，通過所編程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn),對(duì)比了四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次曲面模型的轉(zhuǎn)換精度。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)合理選擇轉(zhuǎn)換點(diǎn)時(shí)二次曲面模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中精度高于四參數(shù)模型和六參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度。

平面坐標(biāo)；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；轉(zhuǎn)換模型；轉(zhuǎn)換精度

隨著測(cè)繪技術(shù)的發(fā)展，從常規(guī)的地面測(cè)量發(fā)展到衛(wèi)星大地測(cè)量，在不同時(shí)期、不同地方獲得了許多基于不同坐標(biāo)系統(tǒng)的測(cè)量成果。由于地圖坐標(biāo)是從參考橢球經(jīng)過投影轉(zhuǎn)換為平面坐標(biāo)，2個(gè)不同參考系統(tǒng)之間沒有直接的數(shù)學(xué)關(guān)系[1]。此時(shí)，常常采用二維轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。對(duì)于二維轉(zhuǎn)換模型，參數(shù)的選取依賴于工程項(xiàng)目的需要，在大多數(shù)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用中，常常使用四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次曲面模型進(jìn)行二維平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。本文將對(duì)比四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次曲面模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的轉(zhuǎn)換精度，得出算例的最佳模型。

1 模型及其參數(shù)求解

1.1 四參數(shù)模型

四參數(shù)模型[2]是從布爾莎公式演化而來的，其計(jì)算公式為:

設(shè)所有轉(zhuǎn)換點(diǎn)帶有誤差的觀測(cè)值等權(quán)，則由式(3)的誤差方程，通過間接平差法求得轉(zhuǎn)換參數(shù)向量＾的最小二乘解為：（其中 P為單位權(quán)），從而求出。則平移參數(shù)為再

1.2 六參數(shù)模型

六參數(shù)模型[1,3]是一種平面仿射變換，將兩坐標(biāo)軸的指向經(jīng)過2個(gè)角度旋轉(zhuǎn) 和 ，并采用2個(gè)尺度因子，即縱向尺度因子x和橫向尺度因子y。在任意2個(gè)平面坐標(biāo)間的六參數(shù)仿射變換，可以用如下公式：

由以上兩式可見，X和x、y之間存在線性關(guān)系，Y和x、y之間也存在線性關(guān)系，因此以上兩式完全可以由線性回歸原理進(jìn)行解算。

用一個(gè)通用型線性回歸模型代替以上兩個(gè)式子，即

對(duì)于通用線性回歸模型 (5)將 Z變?yōu)?X，則 k1、k2、k3即分別為a0、a1、a2；將Z變?yōu)閅，則分別為b0、b1、b2。

1.3 二次曲面模型

二次曲面模型[3,4]又稱二次多項(xiàng)式擬合，是多項(xiàng)式變換中的一種，已知點(diǎn)在兩坐標(biāo)系間的坐標(biāo)差異值可以用一個(gè)多項(xiàng)式來擬合，然后用這個(gè)多項(xiàng)式來預(yù)計(jì)其他點(diǎn)的坐標(biāo)差異值。在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中，通常采用二次曲面模型進(jìn)行擬合。其計(jì)算公式如下：

式 中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2、b3、b4、b5為轉(zhuǎn)換參數(shù)，當(dāng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)個(gè)數(shù)多于 6個(gè)時(shí)，可以通過最小二乘法結(jié)合線性回歸原理求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，其求解過程與六參數(shù)模型參數(shù)解算相似。

2 算例分析

所用算例數(shù)據(jù)[5]共15個(gè)公共點(diǎn)，其中10個(gè)點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換點(diǎn)，用于求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，5個(gè)點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，點(diǎn)位分布如圖 1所示。為了對(duì)比四參數(shù)模型、六參數(shù)模型和二次曲面模型在兩平面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換精度，本文采用筆者利用VB所編坐標(biāo)轉(zhuǎn)換程序進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，并進(jìn)行精度分析。

圖1 公共點(diǎn)點(diǎn)位分布圖

表1 三種模型的轉(zhuǎn)換殘差比較/m

表2 轉(zhuǎn)換殘差統(tǒng)計(jì)表/m

其中x'、y'為轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)值，x、y為同名點(diǎn)原坐標(biāo)值。

坐標(biāo)分量X、Y轉(zhuǎn)換中誤差：

當(dāng)計(jì)算內(nèi)符合精度，n為轉(zhuǎn)換點(diǎn)個(gè)數(shù)；計(jì)算外符合精度，n為檢驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

從表1、表2可以看出，四參數(shù)模型和六參數(shù)模型的最大、最小轉(zhuǎn)換殘差絕對(duì)值都在1 cm左右，六參數(shù)模型的內(nèi)符合精度優(yōu)于四參數(shù)模型，外符合精度與四參數(shù)模型相同。二次曲面模型的轉(zhuǎn)換精度均高于四參數(shù)模型和六參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度，其最大、最小轉(zhuǎn)換殘差絕對(duì)值都在mm級(jí)，轉(zhuǎn)換點(diǎn)內(nèi)、外符合點(diǎn)位中誤差也達(dá)到了mm級(jí)。

3 結(jié) 語

本文通過對(duì)比 3種模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的轉(zhuǎn)換精度可以看出，當(dāng)選擇合理的轉(zhuǎn)換點(diǎn)點(diǎn)位和轉(zhuǎn)換點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解時(shí)，3種模型的轉(zhuǎn)換精度都在cm級(jí)范圍內(nèi)，由于六參數(shù)模型采用了2個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和2個(gè)尺度因子，其轉(zhuǎn)換精度比四參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度高，而二次曲面模型由于考慮了系統(tǒng)畸變的影響，在2種轉(zhuǎn)換模型中轉(zhuǎn)換精度最高，達(dá)到mm級(jí)。

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Application of SeveralModels to Plane Coordinate Transformation

by YAO Chaolong

Aiming at the coordinate transformation between two 2D coordinate systems,diffrient accuracies from diffrientmodelsw ill be achieved.This paper utilized the program to compare the accuracy of four-parametermodel,six-parametermodel and second-degree polynom ialmodel.Results from testing showed when reasonable choose transforming points,theaccuracy of second-degree polynomialmodelisbetter than theaccuraciesof four-parametermodeland six-parametermodelin2D coordinate transformation.

plane coordinate systems,coordinate transformation,conversion model, transformation accuracy （Page:64）

P226.3

B

1672-4623(2011)02-0064-03

2010-01-14

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41064001）。

姚朝龍，碩士，主要從事測(cè)繪信息采集與數(shù)據(jù)處理研究。