運(yùn)用阿貝成像原理進(jìn)行平面密鋪結(jié)構(gòu)的頻譜分析

王漢琛,劉 璟,潘永華,周 進(jìn)

(南京大學(xué)物理系,江蘇南京210046)

運(yùn)用阿貝成像原理進(jìn)行平面密鋪結(jié)構(gòu)的頻譜分析

王漢琛,劉 璟,潘永華,周 進(jìn)

(南京大學(xué)物理系,江蘇南京210046)

運(yùn)用阿貝成像原理分析了平面密鋪結(jié)構(gòu)的頻譜.使用AutoCAD繪制密鋪圖樣作為物,用透過液晶光閥的擴(kuò)束激光作為物光,經(jīng)F透鏡變換后形成頻譜和物像.當(dāng)物面的精細(xì)度和其構(gòu)成線段的分布規(guī)律發(fā)生改變時(shí),頻譜面上相應(yīng)的頻譜也發(fā)生變化.通過分析形成密鋪圖形的結(jié)構(gòu)基元和密鋪圖形本身的傅里葉變換之間的關(guān)系,確定當(dāng)密鋪圖形的結(jié)構(gòu)基元尺度介于可見圖形和光柵網(wǎng)格之間時(shí)頻譜的結(jié)構(gòu)特征及此特征的可能應(yīng)用.

阿貝成像;傅里葉變換;密鋪;空間頻譜;光柵

1 引 言

阿貝成像原理將凸透鏡成像看成2個(gè)傅里葉變換過程.物面發(fā)出的平面波經(jīng)過凸透鏡后,在凸透鏡的后焦面(下稱 F面)上將得到物光的完整傅里葉變換.該傅里葉變換將在像面上進(jìn)行逆變換而得到還原的物像.由于 F面上得到的是物光的精確傅里葉變換,因此一個(gè)凸透鏡系統(tǒng)就是一個(gè)完整的傅里葉變換系統(tǒng).由此,可以用凸透鏡光學(xué)系統(tǒng)研究物光的空間頻率分布性質(zhì)[1].

平面密鋪結(jié)構(gòu)是指應(yīng)用一種或幾種基本單元,通過不斷地重復(fù)平移、旋轉(zhuǎn)、反演變換可以無縫隙、無重疊地得到整個(gè)平面的一種二維空間結(jié)構(gòu)[2].這種結(jié)構(gòu)是形成空間晶體結(jié)構(gòu)的二維平面基礎(chǔ),幾乎所有晶體的空間晶格都是由相當(dāng)于二維平面密鋪結(jié)構(gòu)的晶面組成,因此對平面密鋪結(jié)構(gòu)的研究將對晶體結(jié)構(gòu)研究有重要意義.

2 原理分析與理論推導(dǎo)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的依據(jù)為阿貝成像原理.設(shè)在 x,y平面上有一光場的復(fù)分布(例如二維圖像),由于在阿貝成像系統(tǒng)中,整個(gè)透鏡成像過程可以看成2次對物光函數(shù)的傅里葉變換(下稱F變換),第一次F變換發(fā)生在透鏡的后焦面上,得到物光的精確的傅里葉變換關(guān)系:

其中λ為波長,f是透鏡焦距,x′和y′是后焦面上的坐標(biāo),g(x,y)是物的光場復(fù)振幅分布,G(x′,y′)是在透鏡像方焦面上的光場復(fù)振幅分布,空間分布為

由(1)～(2)式可以看出νx正比于x′,νy正比于 y′,所以在頻譜面上 x′和y′較大處(遠(yuǎn)離光軸處)集中了物光頻譜的高頻成分,對應(yīng)的是物光或像面上的精細(xì)結(jié)構(gòu),反之,在0級附近集中了物光的低頻成分,反映了物光函數(shù)的較均勻部分[1].如果使用單一圖形平移產(chǎn)生二維重復(fù)性結(jié)構(gòu),由上面的分析,當(dāng)物面函數(shù)只有1個(gè)結(jié)構(gòu)基元時(shí),F面上呈現(xiàn)的是這個(gè)結(jié)構(gòu)基元的空間頻譜,而當(dāng)物面是上述結(jié)構(gòu)基元形成的二維密鋪平面,平面上的基元數(shù)非常多時(shí),該二維密鋪平面則可看作二維光柵,F面上呈現(xiàn)的應(yīng)是分立的點(diǎn)譜.在物面從單一基元向密鋪結(jié)構(gòu)過渡時(shí),物面包含的結(jié)構(gòu)基元數(shù)逐漸增加,而每個(gè)結(jié)構(gòu)基元本身隨這個(gè)過程縮小,F面上的結(jié)構(gòu)也會(huì)逐漸從結(jié)構(gòu)基元的頻譜過渡到類似光柵的頻譜.這個(gè)過渡過程的變化規(guī)律就是本實(shí)驗(yàn)的研究課題.

3 實(shí)驗(yàn)方法

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示,屏上圖案用外接相機(jī)拍攝.顯示器件為電尋址液晶光閥.液晶光閥是利用液晶的光學(xué)特性而制作的空間光調(diào)制器,它通過輸入電壓的變化控制液晶分子的取向從而改變通過液晶屏的光的強(qiáng)度和相位.利用液晶光閥的電光特性,可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)顯示屏圖樣到液晶屏的實(shí)時(shí)輸出[3-4].實(shí)驗(yàn)使用 AutoCAD繪制三重、四重和五重旋轉(zhuǎn)對稱平面密鋪圖樣,其結(jié)構(gòu)基元和基本幾何參量如圖2所示.將圖樣輸出到液晶光閥,經(jīng)過傅里葉透鏡變換后在傅氏透鏡的后焦面上得到物面的空間頻譜分布,并在像面上重新成像[5].拍攝這2個(gè)面的圖像并加以分析.

圖2 實(shí)驗(yàn)使用的密鋪圖樣結(jié)構(gòu)基元及其幾何參量

液晶光閥本身可以看作二維正交光柵,其對應(yīng)縫間距為1 px.在沒有外接計(jì)算機(jī)顯示時(shí)其空間頻譜如圖3所示,而在顯示密鋪圖樣時(shí)空間頻譜則是密鋪圖樣和液晶光閥二維光柵的卷積.由(2)式代入液晶光閥像素寬度、光路基本數(shù)據(jù)和激光波長,可以得到在實(shí)驗(yàn)光路條件下,液晶光閥譜點(diǎn)間距的計(jì)算值為1.103 cm,實(shí)際測量的譜點(diǎn)間距為1.100 cm.在下文所述實(shí)驗(yàn)中如有需要,將以實(shí)測值1.100 cm為準(zhǔn).

圖3 液晶光閥的空間頻譜

3.1 四重對稱

圖4(a)顯示了四重對稱的結(jié)構(gòu)基元,即1個(gè)正方形方格,相鄰兩平行線間距為400 px,線寬為1 p x.根據(jù)(2)式,其在 F面上的譜點(diǎn)間距約為0.03 mm.

F面上所成頻譜如圖4(b).圖中央的亮點(diǎn)是液晶光閥的0級點(diǎn),四周的亮點(diǎn)是液晶光閥的±1級衍射點(diǎn).相比單純由液晶光閥形成的分立點(diǎn)譜,在顯示四重對稱圖樣之后 F面上出現(xiàn)了四輻對稱的連續(xù)譜,譜線從液晶光閥的衍射點(diǎn)出發(fā),伸展方向和對應(yīng)的結(jié)構(gòu)基元中與線段元素的方向垂直.此種頻譜反映了結(jié)構(gòu)基元本身的信息.

圖4 四重對稱密鋪的結(jié)構(gòu)基元和頻譜

將圖4(a)所示的結(jié)構(gòu)基元進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)變換后,得到近似正交光柵的高密度四重對稱圖樣,如圖5(a)所示.圖5(b)顯示了此時(shí)的結(jié)構(gòu)基元,每個(gè)方格的邊長為8 px,每條邊的線寬為1 px.圖5(c)為其 F面頻譜,由于物面的結(jié)構(gòu)近似正交光柵,此時(shí)得到的譜是分立的.放大精細(xì)結(jié)構(gòu)并對比圖4(b)可見,先前出現(xiàn)在液晶光閥的0級和1級頻譜點(diǎn)之間的連續(xù)譜被8等分,變成了7個(gè)分立譜點(diǎn).由(2)式知,此時(shí)的物面結(jié)構(gòu)應(yīng)該是縫寬1 px、縫間距8 px的正交光柵,它準(zhǔn)確地反映了物面密鋪圖形中結(jié)構(gòu)基元的點(diǎn)陣分布.

前述的2組實(shí)驗(yàn)給出了液晶光閥顯示條件下密鋪結(jié)構(gòu)空間頻譜的2種極限狀態(tài).低密度顯示結(jié)構(gòu)基元時(shí),F面給出了連續(xù)分布的空間頻譜,這是非周期性圖形的頻譜特征;而高密度顯示密鋪結(jié)構(gòu)時(shí),其空間頻譜是分立的,呈現(xiàn)出光柵特有的頻譜分布和密鋪圖樣的平面點(diǎn)陣.

若物面的精細(xì)度介于非周期性圖形和光柵結(jié)構(gòu)之間,則可將物面函數(shù)看成結(jié)構(gòu)基元的物面函數(shù)與密鋪點(diǎn)陣在平面上的乘積[2].將這個(gè)結(jié)果代入(1)式并積分,得到物面空間頻譜應(yīng)是結(jié)構(gòu)基元和光柵結(jié)構(gòu)兩者的傅里葉變換的線性疊加[6].只有當(dāng)密鋪非常細(xì)密使得基元的結(jié)構(gòu)信息完全丟失,物面才會(huì)顯現(xiàn)完全的光柵特性.而如果密鋪不夠細(xì)密,結(jié)構(gòu)基元的信息沒有完全丟失,其空間頻譜將兼?zhèn)浣Y(jié)構(gòu)基元和光柵的特征.

一個(gè)典型的例子如圖6(a)所示,當(dāng)物面為中間尺度的4重對稱網(wǎng)格時(shí),此時(shí)物面的精細(xì)度介于圖形和光柵之間,如圖6(b)所示.從圖6(c)可以看出其空間頻譜的分布也介于圖形的連續(xù)譜和光柵的分立譜之間,即同時(shí)存在四輻對稱的連續(xù)譜線和其上分布的分立譜點(diǎn),這說明通過物面的光線同時(shí)攜帶了基元的結(jié)構(gòu)信息以及光柵的結(jié)構(gòu)信息.

圖5 高密度的四重對稱密鋪及其頻譜

圖6 中間尺度的密鋪圖形及其空間頻譜

3.2 三重對稱

使用三重對稱圖樣重復(fù)實(shí)驗(yàn),結(jié)果見圖7.圖7(b)顯示了三重對稱結(jié)構(gòu)基元的空間頻譜分布特性,即譜線的取向和構(gòu)成密鋪結(jié)構(gòu)的線段元素垂直;圖7(d)顯示了三重對稱在近光柵情況(此處的近光柵情況是指在液晶光閥做顯示器件時(shí),在每個(gè)結(jié)構(gòu)基元都不發(fā)生失真的前提下系統(tǒng)所能達(dá)到的最高結(jié)構(gòu)基元顯示密度.下同.)下的空間頻譜,譜點(diǎn)分布呈現(xiàn)了三重對稱光柵的特征.對比2組圖片,可清晰看到前者呈現(xiàn)連續(xù)結(jié)構(gòu),表現(xiàn)了結(jié)構(gòu)基元本身的結(jié)構(gòu);后者為明顯的分立譜,呈現(xiàn)非常典型的光柵特征.

而當(dāng)密鋪圖樣的顯示比例在這兩者之間時(shí),物面的空間頻譜特性在基元顯示密度較低時(shí)主要呈現(xiàn)準(zhǔn)連續(xù)譜(如圖8).但三重對稱的空間頻譜呈現(xiàn)了和四重對稱不同的特性,即2組平行的主譜線之間還有1組與主譜線方向平行的、較細(xì)也較暗的子譜線,如圖8中標(biāo)注所示.

圖7 三重對稱的基元和光柵結(jié)構(gòu)及頻譜

圖8 基元寬度80 px的三重對稱 F面

通過放大照片計(jì)算譜線之間的像素?cái)?shù)并進(jìn)行長度換算,得到主譜線和最明亮的與主譜線平行的子譜線的距離平均為1.375 mm.根據(jù)(2)式,再代入縫間距為1 px的液晶光閥正交光柵產(chǎn)生的頻譜點(diǎn)間距為1.100 cm這一結(jié)果,可以推出這組譜線的產(chǎn)生應(yīng)是由于物面上的線段元素存在一系列沿線段方向分布,長度約8 px的周期.這個(gè)周期的形成是由于液晶光閥作為像素顯示器件,在顯示傾斜的線段時(shí),系統(tǒng)會(huì)使用最接近的像素近似[7].

圖9表示的是實(shí)驗(yàn)所用的PC的像素顯示系統(tǒng)處理30°斜線的方法示例.從圖中可以看到2種明顯的周期,第一種如圖中虛線所示,為1×2的像素塊.第二種如長實(shí)線所示,為水平4 p x,豎直7 px的周期,由勾股定理,沿斜線方向就是約8 px的周期.用同樣的原理,如果物面上的結(jié)構(gòu)基元組成了高于像素尺度的周期性分布,比如每k個(gè)像素或結(jié)構(gòu)基元組成1個(gè)團(tuán)簇或每隔k個(gè)基元出現(xiàn)了基元重復(fù)、缺失或填隙,對應(yīng)的譜線在空間頻譜上也是可以觀察到的.

圖9 像素顯示系統(tǒng)樣例

用非常高的密度顯示三重對稱時(shí),其部分放大的結(jié)構(gòu)如圖10(a)所示,可以看到三重對稱的結(jié)構(gòu)基元本身已經(jīng)發(fā)生了變形.由于三重對稱的構(gòu)成元素不是沿著液晶光閥的像素排列方向的,因此在這種極限狀況下,雖然顯示的結(jié)構(gòu)更細(xì)密了,但圖形的整體可重復(fù)性其實(shí)降低了,因?yàn)橛捎谧冃?組成密鋪的結(jié)構(gòu)基元不是完全相同的.其頻譜清楚地表現(xiàn)了這一點(diǎn),如圖10(b)所示,此時(shí)在0級點(diǎn)周圍還是可以看到三重對稱光柵的結(jié)構(gòu)(如圖中白圈內(nèi)的六邊形),但是只要稍微遠(yuǎn)離0級點(diǎn),對稱結(jié)構(gòu)就無法觀察到了.在這種形變發(fā)生之前,一個(gè)顯示系統(tǒng)能達(dá)到的最高的結(jié)構(gòu)基元顯示密度反映了這個(gè)顯示系統(tǒng)的性能指標(biāo).借由觀察一個(gè)顯示系統(tǒng)在光柵極限能達(dá)到的最高顯示周期,結(jié)合之前的用測量子譜線觀察像素近似的方法,可以得到一種獲取像素顯示系統(tǒng)的顯示精度的方法.

圖10 極小比例三重對稱密鋪及空間頻譜

3.3 五重對稱

用由5個(gè)特征頂角為72°菱形和5個(gè)特征頂角為36°菱形組成的花樣為中心點(diǎn),輻射狀向外側(cè)以同心圓形式向外擴(kuò)展,每向外1層,組成同心圓的基本單元增加5個(gè)[8],最終形成以中心點(diǎn)為對稱中心的五重旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)[2].此種平面密鋪形式具有五重旋轉(zhuǎn)對稱性,但沒有平移對稱性.圖11給出了當(dāng)顯示的密鋪圖樣逐漸由單一結(jié)構(gòu)基元向光柵型轉(zhuǎn)化的過程的代表性物面及其空間頻譜.同樣,只要在顯示精度范圍內(nèi),五重對稱的空間頻譜在0級點(diǎn)周圍顯著地呈現(xiàn)了五輻旋轉(zhuǎn)對稱的主譜線[圖11(b)中的大圈內(nèi)所示],與主譜線平行的子譜線同樣具有五重對稱的特征.而且當(dāng)顯示密度足夠高時(shí),可以觀察到譜線有逐漸向分立譜發(fā)展的趨勢[圖11(b)中的小圈].

圖11 介于光柵和圖形之間的五重對稱圖樣及空間頻譜

但當(dāng)密鋪元素結(jié)構(gòu)基元的大小接近光柵量級時(shí)[圖12(a)所示],在 F面頻譜圖中,中央0級點(diǎn)周圍很小范圍內(nèi)[如圖12(b)中的白圈內(nèi)]可以看到五重對稱性的分立譜點(diǎn)和花樣(可以看到圓圈內(nèi)有10個(gè)沿圓周均勻分布的譜點(diǎn)),但并沒有如三重或四重對稱的頻譜那樣明顯的光柵譜點(diǎn)分布模式.而其他處[圖12(b)白圈外側(cè)]卻呈現(xiàn)出明顯的四重對稱,即液晶光閥的頻譜特性.這種情況的發(fā)生是由于在結(jié)構(gòu)基元顯示密度非常高時(shí),由于液晶光閥像素結(jié)構(gòu)的短程有序性相比五重對稱結(jié)構(gòu)要好很多,液晶光閥的四重對稱特征將密鋪結(jié)構(gòu)的五重對稱特征掩蓋,從而無法在 F面上有效獲取到五重對稱的光柵結(jié)構(gòu)特征.

圖12 尺度接近光柵的五重對稱密鋪及其空間頻譜

4 結(jié)論與可能的應(yīng)用

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

在使用液晶光閥作顯示元件時(shí),考慮到液晶光閥本身的物理分辨率限制和顯示特性,可以把F面上的譜(點(diǎn)、線)分成以下3類:

第一類是從液晶光閥0級點(diǎn)和高級衍射點(diǎn)處出發(fā),延伸方向和結(jié)構(gòu)基元的線段元素垂直的譜線或譜點(diǎn)系.這一類譜線、譜點(diǎn)是組成平面密鋪的結(jié)構(gòu)基元本身的傅里葉變換.

第二類是液晶光閥0級點(diǎn)和高級衍射點(diǎn)之間,與相應(yīng)對稱性的光柵的傅里葉變換一致的分立譜點(diǎn)分布[如圖7(b)和(d)].當(dāng)同屏結(jié)構(gòu)基元數(shù)增加時(shí),此類譜點(diǎn)逐漸出現(xiàn)并增強(qiáng).這一類譜點(diǎn)反映了物面函數(shù)的光柵性質(zhì).

第三類是與第一類譜線或譜點(diǎn)同時(shí)存在,且方向平行、較弱同時(shí)也較細(xì)的譜線叢.這一系列譜線是由于液晶光閥本身的像素結(jié)構(gòu)限制,在顯示有角度線段時(shí)產(chǎn)生的沿線段延伸方向的長短不同的周期,體現(xiàn)了物面組成元素的周期性特點(diǎn),如圖8和圖9所示.

而物面在實(shí)驗(yàn)條件下顯現(xiàn)的是圖像性質(zhì)還是光柵性質(zhì),在物面本身的幾何尺度固定時(shí)完全取決于物面上的密鋪結(jié)構(gòu)基元密度.若結(jié)構(gòu)基元本身是非周期性的,在結(jié)構(gòu)基元的顯示密度較低時(shí),F面上給出的幾乎完全是結(jié)構(gòu)基元本身的信息.即使出現(xiàn)分立譜,譜點(diǎn)間距也非常小,從而可以看作準(zhǔn)連續(xù)的.隨顯示密度的增加,物面上開始出現(xiàn)高周期的元素,同時(shí) F面上也出現(xiàn)高周期的元素,表現(xiàn)為 F面上出現(xiàn)圖8所示的子譜線或分立的譜點(diǎn).但這一點(diǎn)并不是光柵的特性,這是多縫衍射特性與液晶光閥本身精度限制的綜合體現(xiàn).在本文的實(shí)驗(yàn)討論中,液晶光閥始終顯示寬度1 px的圖形,即光柵縫寬不變,從而衍射譜的包絡(luò)線不變;顯示比例的改變表現(xiàn)為縫間距改變,而縫間距越小,F面上譜點(diǎn)之間的距離越遠(yuǎn).當(dāng)顯示密度進(jìn)一步提高,譜點(diǎn)之間的距離可分辨時(shí),光強(qiáng)重新分布,F面開始顯現(xiàn)出光柵的特性.顯示密度非常高時(shí)(如圖5所示)光學(xué)行為已向光柵靠攏.而當(dāng)顯示密度介于高密度和低密度之間時(shí),物面的 F變換是基元的連續(xù)譜和光柵的分立譜的線性疊加.在物面向光柵結(jié)構(gòu)靠攏的過程中,基元的結(jié)構(gòu)信息逐漸丟失.當(dāng)每個(gè)基元非常小,呈現(xiàn)極限光柵情況時(shí),結(jié)構(gòu)基元本身的信息被弱化至消失.

4.2 可能的有關(guān)應(yīng)用

由于本實(shí)驗(yàn)應(yīng)用的方法是針對平面做傅里葉變換,因此本文的實(shí)驗(yàn)原理可以用于反射式阿貝成像,從而可以觀察使用傳統(tǒng)的衍射觀察法較難得到有效信息的結(jié)構(gòu),比如晶體的晶面等納米或微米級平面結(jié)構(gòu),而且實(shí)驗(yàn)所需的設(shè)備也相比傳統(tǒng)透射衍射有所簡化.

利用本實(shí)驗(yàn)的原理可以設(shè)計(jì)出反射式光學(xué)傅里葉變換裝置,及其他用于監(jiān)控周期性重復(fù)結(jié)構(gòu)生成的儀器.由之前的實(shí)驗(yàn)分析,由平面結(jié)構(gòu)的第一類譜線可以獲取結(jié)構(gòu)的對稱性信息;由第三類譜線的位置與分布,可以觀察到平面密鋪結(jié)構(gòu)中尺度大于1個(gè)結(jié)構(gòu)基元的周期.在結(jié)構(gòu)包含的基元數(shù)量不是十分大時(shí)(幾千至幾十萬個(gè)基元單位),應(yīng)用本實(shí)驗(yàn)的原理,通過觀察圖樣的傅里葉變換,可以比較容易地觀察到結(jié)構(gòu)的扭曲、周期性形變、填隙等結(jié)構(gòu)缺陷.對于制備高純度晶體、監(jiān)控晶體摻雜過程或檢查表面沉積結(jié)構(gòu)具有一定的應(yīng)用意義[9].

如果將實(shí)驗(yàn)所用的波長擴(kuò)展至微波或無線電波波段,利用本實(shí)驗(yàn)原理理論上可以設(shè)計(jì)出形狀和結(jié)構(gòu)合適的密鋪結(jié)構(gòu),使得被這個(gè)結(jié)構(gòu)遮擋或覆蓋的物體在其夫朗和費(fèi)衍射區(qū)由于類光柵結(jié)構(gòu)的干擾失去原有的特征頻譜,轉(zhuǎn)而呈現(xiàn)密鋪結(jié)構(gòu)的光柵頻譜.在無線電通訊和探測技術(shù)中結(jié)合合適的設(shè)備,這種現(xiàn)象可有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

致謝:感謝南京大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院何漢源同學(xué)為本實(shí)驗(yàn)提供攝影支持!

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[責(zé)任編輯:任德香]

Analysisof spatial spectrum of plane tessellation using Abbe imagingmethod

WANG Han-chen,L IU Jing,PAN Yong-hua,ZHOU Jin
(Department of Physics,Nanjing University,Nanjing 210046,China)

A bbe considered that a lens imaging p rocess w as equivalent to two stages of Fourier transfo rmation.An op tical Fourier transfo rmation system that contains a liquid crystal light valve and a lens was p resented.Tessellation imaged on the valve would show its Fourier amp litude spectrum or image on the screen on the other side of the lens.Changes of the tessellation structure would lead to redistributionsof the spectrum.A hypothesison the spatial spectrum redistribution during the p rocess that a tessellation shrinks into a grating-scale structure was p resented.

Abbe imaging;Fourier transformation;tessellation;spatial spectrum;grating

O438

A

1005-4642(2011)01-0005-06

2010-09-21;修改日期:2010-11-12

王漢琛(1989-),男,山東青島人,南京大學(xué)物理系2008級本科生.

指導(dǎo)教師:潘永華(1971-),女,浙江義烏人,南京大學(xué)物理系高級工程師,學(xué)士,主要從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)和演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.