基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋內(nèi)波模擬研究

李娟，顧行發(fā)，余濤，孫源，郭丁，徐京萍，董文

（1.中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所 遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100101；2.國家航天局 航天遙感論證中心, 北京100101）

基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋內(nèi)波模擬研究

李娟1,2，顧行發(fā)1,2，余濤1,2，孫源1,2，郭丁1,2，徐京萍1,2，董文1,2

（1.中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所 遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100101；2.國家航天局 航天遙感論證中心, 北京100101）

主要是利用非線性發(fā)展方程豐富的解析解，基于含有散射項(xiàng)和微擾項(xiàng)的Korteweg-de Vries方程對(duì)臺(tái)灣東北部東海海域內(nèi)波的傳播特性進(jìn)行研究，并著重分析海洋內(nèi)波在SAR圖像上的信號(hào)特征，進(jìn)而討論耗散項(xiàng)和微擾項(xiàng)對(duì)海洋內(nèi)波所引起的表層流速變化的影響。

海洋內(nèi)波；Korteweg-de Vries方程；解析解

Abstract: Utilizing the abundant analytical soliton solutions of nonlinear evolution equation, the propagation characteristics of the internal waves in the northeast of Taiwan in the East China Sea have been investigated based on the Korteweg-de Vries equation including the dissipative and perturbed terms.In a two-layer ocean system, the variation of signature characteristics for the internal wave on SAR image have been discussed.The effects of dissipative and perturbed terms on internal waves and horizontal velocity of the ocean surface current has been presented.

Keywords: ocean internal wave; Korteweg-de Vries equation; analytical solutions

在穩(wěn)定層化的海洋與大氣地球流體中，流體由于受到擾動(dòng)可激發(fā)內(nèi)波，故內(nèi)波一般都發(fā)生在流體內(nèi)部。密度穩(wěn)定層化不僅是內(nèi)波存在的必要條件，而且其強(qiáng)度對(duì)內(nèi)波的頻率和速度均有影響，一般強(qiáng)度越小，頻率越低，傳播速度越小。據(jù)研究資料表明，盡管海洋內(nèi)波產(chǎn)生于海洋內(nèi)部分層界面，但與表面波相比它具有更大的破壞力，對(duì)海洋運(yùn)輸、潛艇、石油鉆井機(jī)和水下通訊均有很大影響。

在過去的幾十年間，世界各國的科學(xué)家利用各種不同的方法對(duì)海洋內(nèi)波特性進(jìn)行了較廣泛的研究，并取得豐碩成果，包括海洋內(nèi)波的激發(fā)、傳播和消衰。1992年在Long Island 附近海域進(jìn)行了美-俄聯(lián)合內(nèi)波實(shí)驗(yàn)（Joint U.S.-Russia Internal Wave Experiment，JUSREX），獲取了豐富的同步機(jī)載和星載衛(wèi)星數(shù)據(jù)[1]。1979年Maxworthy通過實(shí)驗(yàn)室水槽實(shí)驗(yàn)，對(duì)Lee波激發(fā)機(jī)制進(jìn)行了驗(yàn)證[2]。通過在Korteweg–de Vries（KdV）方程中增加地形效應(yīng)、旋轉(zhuǎn)分量、徑向傳播等效應(yīng)，Liu等人對(duì)Sulu海與New York灣的海洋內(nèi)波的傳播特征進(jìn)行了研究[3-4]。利用數(shù)百幅海洋內(nèi)波遙感圖像，Liu和Zhao等人繪制出中國南海北部海洋內(nèi)波的空間分布圖，發(fā)現(xiàn)這些海洋內(nèi)波大都是由呂宋海峽激發(fā)并向西傳播[5-6]。

目前，大多是采用實(shí)測資料分析、實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)、數(shù)值模擬和遙感圖像分析等方法對(duì)海洋內(nèi)部進(jìn)行研究，而在此方面取得的豐碩解析成果卻沒有引起人們的重視，特別是在海洋內(nèi)波的數(shù)值模擬研究中，基本是采用數(shù)值解和基于海洋內(nèi)波的 SAR成像過程開展研究，即流體動(dòng)力學(xué)調(diào)制、波致流場對(duì)表面微尺度波的調(diào)制、雷達(dá)波與表面微尺波的相互作用[7-9]。KdV方程作為孤子理論中的一個(gè)重要的模型，通過有效的研究方法，如逆散射方法、Painlevé 分析、AKNS 方法、B?cklund 變換、Darboux 變換、Hirota 方法、齊次平衡法、Tanh 函數(shù)展開法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法等，關(guān)于該方程的解析研究已取得豐碩成果[10-11]。

本文將研究帶有耗散項(xiàng)與微擾項(xiàng)的廣義變系數(shù)KdV模型，其形式如下：

式中：u(x, t)表示非線性波的振幅，是變量x和t的解析函數(shù)，f(t)≠0，g(t)≠0，l(t)和 h(t)為實(shí)的解析函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)于非線性項(xiàng)、色散項(xiàng)、耗散項(xiàng)和微擾項(xiàng)。該模型在淺水波、動(dòng)脈機(jī)制、不可壓縮玻色氣體和玻色愛因斯坦凝聚中均有著廣泛應(yīng)用。如文獻(xiàn)[10]所示，方程（1）在滿足一定的約束條件下是可積的，即在Painlevé約束條件

下具有自-B?cklund變換、雙線性變換、多孤子解和Lax對(duì)等性質(zhì)，其中c1和c2是兩個(gè)任意的實(shí)常數(shù)且滿足+≠0。利用豐富解析解，本文將基于方程（1）對(duì)海洋內(nèi)波進(jìn)行模擬研究，并著重分析海洋內(nèi)波在 SAR圖像上的信號(hào)特征和由內(nèi)波所引起的海洋表層流速變化。

1 變系數(shù)KdV方程

需要注意的是，約束條件（2）中的 c2是否為零，對(duì)模型（1）的解及 Lax對(duì)具有較大影響。當(dāng)f(t)=α，g(t)= β，l(t)=κ和h(t)=0時(shí)，方程（1）則退化為：

方程（3）可用于描述分層水體結(jié)構(gòu)中海洋內(nèi)波的傳播，其中 α=3κ(h1-h2)/2h1h2，β=κh1h2/6 和κ={gΔρh1h2/[ρ0(h1+h2)]}1/2分別是非線性項(xiàng)、色射項(xiàng)和線性波速的系數(shù)，g是重力加速度，ρ0是海水的平均密度，Δρ是上下分層的密度差。在h1＜h2時(shí)，方程（3）具有下降型孤子，而在 h1＞h2則為上升型孤子。

在約束條件（2）下，關(guān)于方程（1）的眾多可積性質(zhì)已被廣泛研究，包括多孤子型解。如文獻(xiàn)[10]所示，在c2=0和c1=1/δ時(shí)，變系數(shù)KdV模型（1）的單孤子型解為：

式中：12η2e-∫h(t)dt/δ和1/η分別代表孤波的振幅和波寬，δ為不為零的常數(shù)，孤波的速度是不斷變化的，而波形在傳播中卻保持不變。由（2）式可知，方程（3）同樣滿足 Painlevé約束條件，因此具有多孤子解。

2 海洋內(nèi)波仿真模擬

盡管微波只能穿透海面以下幾厘米的海水深度，而且海洋內(nèi)波一般都發(fā)生在深度為幾十米的海洋內(nèi)部，但由其引起的海洋內(nèi)部流場及表層流速的變化可在海洋表面可形成輻聚和輻散現(xiàn)象，而變化的流場又對(duì)海洋表面微尺度波產(chǎn)生調(diào)制，進(jìn)而SAR通過雷達(dá)波與表面微尺度波的相互作用進(jìn)行觀測，并能探測淺海海底地形等。基于海洋內(nèi)波的 SAR成像機(jī)理：流體動(dòng)力學(xué)調(diào)制、波致流場對(duì)表面微尺度波的調(diào)制、雷達(dá)波與表面微尺波的相互作用[12-15]，下面將給出基于方程（3）的海洋內(nèi)波SAR成像模擬算法。

在密度穩(wěn)定層化的海洋中，方程（3）的上升型海洋內(nèi)波所引起的海洋表面波的水平流速為：

式中：下標(biāo)i=1,2表示內(nèi)波數(shù)，而j=1,2則分別對(duì)應(yīng)層化流體上層和下層的水平流速。從（5）式可以看出，上層的表面波流速與內(nèi)波的傳播方向相反，而下層流速則與內(nèi)波傳播方向相同。同理，可以得到由下降型海洋內(nèi)波引起的海洋表面波的水平流速，并且具有和（5）式同樣的性質(zhì)。對(duì)于入射角在200-700范圍內(nèi)的典型的SAR而言，海面的雷達(dá)后向散射以Bragg散射為主，因此Δσ0和的關(guān)系可表示為：

上式即為海洋內(nèi)波進(jìn)行SAR成像模擬的公式。

2.1 分層海域內(nèi)波SAR仿真模擬

對(duì)于方程（3），在臺(tái)灣省東北部東海海域，假定海水的層化結(jié)構(gòu)參數(shù)為：海洋平均密度常數(shù)?ρ/ρ=10-3，最初的海水深度 h=160 m，混合層深h1=60 m, 最初的底層深h2=100 m，最終的底層深為40 m[5].如圖1（a）所示，在初始海區(qū)，下降型海洋內(nèi)波隨時(shí)間的發(fā)展可保持波形和速度的不變，圖1（b）則給出該海洋內(nèi)波在SAR圖像上的信號(hào)特征，即明暗相間的條紋。作為對(duì)比，在最終的海域則可以看到上升型海洋內(nèi)波的傳播過程（見圖2），同樣可保持振幅、波形和速度不變，而其在SAR圖像上的信號(hào)特征則是暗亮相間的條紋。

圖1 （a）下降型海洋內(nèi)波（參數(shù)為η=4 m, h1=60 m和h2=120 m）（b）下降型海洋內(nèi)波在SAR圖像上的信號(hào)特征（參數(shù)為γ=0.5, μ=0.025 s-1和φ=600）Fig.1 (a)The depression internal wave profile with η=4 m, h1=60 m and h2=120 m, (b) the signature characteristic of the depression internal wave in SAR image with γ=0.5, μ=0.025 s-1and φ=600

圖2 上升型海洋內(nèi)波和其在SAR圖像上的信號(hào)特征（其中參數(shù)除h1=60 m和h2=40 m外其它全部和圖1的參數(shù)一致）Fig.2 The elevation internal wave profile and signature characteristic of this wave in SAR image with the same parameters as in figure 1 except that h1=60 m and h2=40 m

2.2 非行波海洋內(nèi)波仿真模擬

當(dāng)方程（1）中的系數(shù)全為常數(shù)時(shí)，可得到波形與速度都不發(fā)生變化的海洋內(nèi)波如圖1和 2所示。當(dāng)解中的參數(shù)與系數(shù)函數(shù)不都取常數(shù)時(shí)，可得到波形或速度變化的非行波解。

2.2.1 耗散項(xiàng) l(t)ux對(duì)海洋內(nèi)波波形的影響 當(dāng)η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=3/8sin(t/8)和h(t)=0時(shí)，方程（1）具有非行波解，即非行波海洋內(nèi)波。圖3（a）展示了耗散項(xiàng)l(t)ux對(duì)上升型海洋內(nèi)波速度的影響，從中可以看出，此時(shí)的速度是隨著內(nèi)波的傳播而不斷變化。關(guān)于非行波的海洋內(nèi)波 SAR成像機(jī)制研究尚未成熟，故無法較精確地描述其在SAR圖像上的信號(hào)特征。借鑒行波海洋內(nèi)波的研究理論，本文只對(duì)由非行波海洋內(nèi)波引起的海洋表層流速的變化進(jìn)行模擬。如圖3（b）所示，海洋內(nèi)波的振幅一直保持不變，而速度則隨時(shí)間發(fā)生周期性變化，由于只是上升型內(nèi)波所引起的表層流速變化的模擬，故圖3（b）上的信號(hào)特征則是明暗相間的條紋，與在SAR圖像上的特征相反。圖4則描述了耗散項(xiàng)對(duì)下降型海洋內(nèi)波傳播特征的影響，傳播速度隨時(shí)間變化，引起的表層流速的變化為暗亮相間的條紋。

圖3 上升型非行波海洋內(nèi)波和所引起的海洋表層流速變化的模擬Fig.3 The elevation non-traveling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current

圖4 下降型非行波海洋內(nèi)波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中除δ=-6外其它參數(shù)與圖3中的一致Fig.4 Depression internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 3 except that δ=-6

2.2.2 微擾項(xiàng) h(t)u對(duì)海洋內(nèi)波波形的影響 當(dāng)h(t)≠0時(shí)，微擾項(xiàng)將影響海洋內(nèi)波的振幅。圖5（a）和 6（a）分別給出微擾項(xiàng)h( t) u對(duì)上升型和下降型內(nèi)波振幅的影響，即內(nèi)波的振幅隨時(shí)間不斷發(fā)生周期性變化。圖5（b）和 6（b）同樣描述了由上升型和下降型內(nèi)波所引起的海洋表層流速的變化特征，即分別為亮暗相間和暗亮相間條紋。從圖5和 6可以看出，在振幅最大時(shí)，條紋最亮，而振幅最小時(shí)條紋最暗。

圖5 上升型非行波海洋內(nèi)波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中參數(shù)為η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0和h(t)=sin(t/8)/8Fig.5 Elevation non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0 and h(t)=sin(t/8)/8

圖6 下降型非行波海洋內(nèi)波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中除δ=-6外其它參數(shù)與圖5中的一致Figure 6 Depression non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 5 except that δ=-6

3 總 結(jié)

本文主要是基于含有耗散項(xiàng)和微擾項(xiàng)的變系數(shù) KdV方程對(duì)海洋內(nèi)波的傳播特征進(jìn)行了模擬研究。當(dāng)方程（1）中的系數(shù)全為常數(shù)時(shí)，基于解析孤子解對(duì)臺(tái)灣東北部東海海域的上升型和下降型海洋內(nèi)波及其在SAR圖像上的信號(hào)特征進(jìn)行模擬，同時(shí)討論了耗散項(xiàng)和微擾項(xiàng)對(duì)海洋內(nèi)波波形和速度及所引起的海洋表層流速變化的影響。可以看出模擬的海洋內(nèi)波在 SAR圖像上的特征同已有衛(wèi)星數(shù)據(jù)比較一致，但由于實(shí)測數(shù)據(jù)和海洋環(huán)境參數(shù)，故只能對(duì)海洋內(nèi)波進(jìn)行定性分析而無法量化討論。希望本文的研究能夠?qū)?SAR圖像的分析提供一定的參考，為進(jìn)一步的海洋內(nèi)波定量模擬奠定基礎(chǔ)。

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Simulation investigation on the internal wave via the analytical solution of Korteweg-de Vries equation

LI Juan1,2, GU Xing-fa1,2, YU Tao1,2, SUN Yuan1,2, GUO Ding1,2, XU Jing-ping1,2, DONG Wen1,2

(1.State Key Laboratory of Remote Sensing Science, Jointly Sponsored by the Institute of Remote Sensing Applications of Chinese of Sciences Academy and Beijing Normal University, Beijing 100101, China，2.Demonstration Centre，Spaceborne Remote Sensing National Space Administration, Beijing 100101, China)

P731.24

A

1001-6932(2011)01-0023-06

2010-02-04；收修改稿日期：2010-05-22

中國科學(xué)院遙感應(yīng)用研究所、北京師范大學(xué)遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目（編號(hào)：O8Y01563KZ）；中國科學(xué)院知識(shí)創(chuàng)新工程重要方向項(xiàng)目∶ 航天遙感圖像仿真模擬關(guān)鍵技術(shù)研究（kzcx2-yw-303）；中國博士后科學(xué)基金（編號(hào)：2008-0440555）。

李娟(1978-),女,山東,博士后,助理研究員,主要從事海洋內(nèi)波傳播特性研究。電子郵箱：jlirsa@gmail.com。