基于灰理論的時滯經(jīng)濟預測模型及應(yīng)用＊

唐偉敏

（中南財經(jīng)政法大學會計學院 武漢 430073）

0 引 言

灰色系統(tǒng)理論自1982年問世以來，理論研究與應(yīng)用都取得了很大進步.GM（1，1）模型作為常用模型，在經(jīng)濟領(lǐng)域也常用作預測模型.在建立GM（1，1）模型進行預測時，模型誤差是不可避免的.模型殘差產(chǎn)生的原因有很多，其中一個就是模型未引入滯后項所導致的，這在經(jīng)濟數(shù)據(jù)中是普遍存在的.滯后效應(yīng)是指因變量受到自身或另一解釋變量的前幾期值影響的現(xiàn)象.因此，本文在對殘差進行分析時，試圖利用時間序列處理數(shù)據(jù)的思想對數(shù)據(jù)相對較多的序列進行殘差修正，充分提取殘差信息.

為了提高模型的精度，有很多學者專家從殘差方面研究，對GM（1，1）模型進行改進.文獻［1－2］介紹了已提出的殘差GM（1，1）模型，時序殘差GM（1，1）模型等.文獻［3－4］針對常規(guī)的灰色模型沒有考慮時滯效應(yīng)的問題，在 MGM（1，m）模型中引入時滯項，提出了時滯 MGM（1，m）模型.文獻［5－6］采用GM（1，1）模型對原始數(shù)據(jù)進行預測后，再用ARMA模型對殘差進行擬合，利用二者的組合模型進行預測，取得了較好的結(jié)果.文獻［7－8］與文獻［9－11］引入了 GM（1，1，sinω）模型，該模型對于波動性較大且具有周期擺動的資料較為適用，在離散性越大的情況下越能體現(xiàn)出它的優(yōu)越性.

本文在對殘差進行自相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際中經(jīng)濟數(shù)據(jù)存在的時滯效應(yīng)，提出新的時滯GM（1，1）模型，在實例中顯示，擬合效果較好，并且新模型的殘差為白噪聲序列.

1 模型的建立與檢驗

1.1 GM（1，1）模型

將最小二乘法求得的結(jié)果代入微分方程，求解的 GM（1，1）預測模型為

1.1.2 模型的檢驗

式中：ρ為取定的最大百分比，一般取0.5；Δ（k）為原始序列與模型擬合值的絕對誤差，Δ（k）＝｜（0）（k）－ x（0）（k）｜.

1.2 AR模型

具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR（p）：

條件一：φp≠0，這個限制條件保證了模型的最高階數(shù)為p.

條件二：E（εt）＝0，Var（εt）＝σ2ε，E（εtεs）＝0，s≠t，這個限制條件實際上是要求隨機干擾序列｛εt｝為零均值白噪聲序列.

條件三：Exsεt＝0，?s＜t，這個限制條件說明當期的隨機干擾與過去的序列值無關(guān).

當φ0＝0時，自回歸模型又稱為中心化的AR（p）模型.對一個平穩(wěn)非白噪聲且自相關(guān)的序列，可以建立AR（p）模型來提取信息.

1.3 一種新的時滯GM（1，1）模型

1.3.1 模型建立

為了使模型的精度更高，對數(shù)據(jù)的信息從分利用，對GM（1，1）模型擬合的殘差進行白噪聲檢驗，若發(fā)現(xiàn)殘差序列非白噪聲，說明殘差部分還有信息沒有提取，不能將殘差部分丟掉，因此需對殘差建立適當模型來修正灰色模型預測的誤差.當殘差存在自相關(guān)時，即存在滯后問題，因此嘗試用含滯后項的灰色 GM（1，1）模型，考慮x（1）（t）－＾x（1）（t）的滯后問題，取含有滯后時期為p 階的灰色GM（1，1）模型進行分析.

1.3.2 模型求解

定理 若采用最小二乘線性回歸擬合，待估參數(shù)為：u＝［ψ1… ψpc b］T，則最小二乘法求解可得＾u＝（BTB）－1BTY.式中：

證明 將數(shù)據(jù)代入模型x（1）（t）＝ψ1x（1）（t－1）＋…＋ψpx（1）（t－p）＋ce－a（t－p）＋b寫成矩陣形式如

兩邊同乘以（BTB）－1，即可得＝（BTB）－1BTY，定理成立.

2 在GDP指數(shù)預測中的應(yīng)用

國內(nèi)生產(chǎn)總值是反映一國國民經(jīng)濟的生產(chǎn)規(guī)模及綜合實力的總量指標，在經(jīng)濟研究中發(fā)揮著重要的作用，是宏觀經(jīng)濟中最受關(guān)注的經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)字，是目前各個國家和地區(qū)用來衡量該國或地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展綜合水平通用的指標，同時也是政府制定經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略和經(jīng)濟政策的重要依據(jù).因此，對我國GDP指數(shù)進行預測具有重要意義.數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計年鑒.（1978～2008年GDP指數(shù)，以不變價格計算，1978年為100）.

下面運用3種不同的方法對我國GDP指數(shù)序列進行建模.

2.1 傳統(tǒng)GM（1，1）模型

2.2 文獻［2］單變量的時滯GM（1，1）模型

選擇擬合效果最好的三階滯后模型如下

2.3 新的時滯GM（1，1）模型

通過平穩(wěn)性檢驗發(fā)現(xiàn)殘差序列平穩(wěn)2階自相關(guān)，利用SAS軟件得到下面的殘差AR（2）模型表達式為

式中：殘差υt為白噪聲序列.說明信息已提取完.

計算出擬合的平均相對誤差絕對值MAPE＝1.1438%，說明精度有明顯提高.

對回歸方程參數(shù)顯著性檢驗可以看出，方程4個待估的參數(shù)均顯著.對殘差υt進行平穩(wěn)性檢驗以及白噪聲檢驗，發(fā)現(xiàn)殘差顯著為平穩(wěn)白噪聲序列，因而沒有信息可以提取，分析到此可結(jié)束.

3種模型結(jié)果對比見表1.

表1 3種模型結(jié)果對比

續(xù)表1

從表1可以看出3種模型的擬合值均能通過檢驗，但是在殘差分析方面，只有第3種模型的殘差為白噪聲，并且平均相對誤差絕對值明顯小于前兩種模型的殘差，精度98.86%，灰色關(guān)聯(lián)度也顯著大于前兩個模型的，由此可見，本文提出的時滯GM（1，1）模型可以用來預測經(jīng)濟數(shù)據(jù).

3 結(jié) 論

1）本文采用較多數(shù)據(jù)進行分析，是為了引入時間序列平穩(wěn)白噪聲序列無信息可提取的思想，用來說明經(jīng)濟系統(tǒng)變量存在的滯后性，取得了較好的結(jié)果，實際上，針對相對較少數(shù)據(jù)加入滯后項后精度也大大提高，其滯后期階數(shù)由擬合殘差的平均相對誤差絕對值最小而定.

2）對于經(jīng)濟變量數(shù)據(jù)，一般都存在滯后性，本文針對我國1978～2008年的GDP指數(shù)數(shù)據(jù)，在運用灰色GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上，運用時間序列AR模型處理經(jīng)濟數(shù)據(jù)滯后性問題，提出新的滯后GM（1，1）模型，在模型精度上取得了較好的結(jié)果.

3）對于滯后期的選取，本文由殘差滯后分析、參數(shù)顯著性以及對平均相對誤差絕對值最小所得，實際上計算出滯后一期的 ，滯后三期的（且有兩個滯后項的回歸系數(shù)不顯著）.

4）本文建立新的時滯GM（1，1）模型中發(fā)展系數(shù)a沒變，在參數(shù)估計方面，也可以采用遞推的方程估計，因而該模型還可以從這方面進行優(yōu)化.

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