深部巷道圍巖散熱Laplace解析計(jì)算

馮 強(qiáng), 陳 舟

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇 徐州 221008;2.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

深部巷道圍巖散熱Laplace解析計(jì)算

馮 強(qiáng)1, 陳 舟2

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇 徐州 221008;2.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

目前礦井建設(shè)越來(lái)越深,熱害給煤礦日常生產(chǎn)帶來(lái)了嚴(yán)重的影響。針對(duì)深埋巷道的特點(diǎn),將計(jì)算模型簡(jiǎn)化為二維平面圓模型,采用 Laplace變換與逆變換的方法對(duì)深埋巷道圍巖溫度場(chǎng)及散熱量進(jìn)行分析,將時(shí)間域上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 Laplace域上的問(wèn)題,得到 Laplace域上的解,再將Laplace域上的解反變換到時(shí)間域上;用 Laplace積分逆變換的形式解析表示計(jì)算結(jié)果。由于計(jì)算時(shí)間域上的解較困難,需將 Laplace域上的解采用 Stehfest反演方法進(jìn)行數(shù)值逆變換,得到時(shí)間域上的數(shù)值解答。誤差驗(yàn)算表明,當(dāng)循環(huán)級(jí)數(shù) N=18時(shí),誤差為 10-5～10-7。工程實(shí)例也說(shuō)明此方法的正確性。

圍巖溫度場(chǎng);圍巖散熱量;Laplace變換及逆變換;Stehfest算法;MATLAB

Abstract:This paper is aimed at studying the serious effect of increasingly deeperm ine-induced heat harm on m ining operation.The study consists of simplifying the analyticalmodel into circularity,drawing on the characteristic of deeply buried roadways,analyzing the temperature field and heat radiation by the Laplace transform and the inverse Laplace transform,transform ing the problem from time domain into Laplace domain,developing the Laplace domain solution which is inversely transformed to that in time domain,and finally expressing the computed result by the form of the inverse Laplace transform.The more difficult calculation of the time domain solution necessitates Stehfest inverse transformation ofLaplace domain solution,thus giving the numerical solution in time domain.The error check shows thatwhen the cycle seriesN=18,the error is about 10-5～10-7.The method proves correct.

Key words:temperature field of surrounding rock;surrounding rock heat radiation;Laplace transform and inverse Laplace transform;arithmetic of Stehfest;MATLAB

隨著煤炭資源的大量消耗,礦井建設(shè)越來(lái)越深,井下巷道圍巖的溫度也越來(lái)越高,熱害問(wèn)題日益嚴(yán)重。熱害嚴(yán)重影響井下工人的身體健康和礦井的正常生產(chǎn),已與瓦斯、頂板、粉塵、水、火一同被列為礦井六大災(zāi)害。圍巖散熱是熱害最主要的來(lái)源[1],了解巷道圍巖的溫度場(chǎng)分布及圍巖散熱量有助于采取合理的降溫措施。

目前,很多學(xué)者對(duì)圍巖散熱現(xiàn)象進(jìn)行了大量研究,其方法包括有限差分[2]、邊界元[3]、有限元[4]、無(wú)因次分析。這些研究是基于數(shù)值計(jì)算而進(jìn)行的。筆者采用 Laplace解析的方法對(duì)圍巖散熱問(wèn)題求解[5],得出了較理想的結(jié)果。

1 圍巖散熱問(wèn)題描述

據(jù)深井巷道圍巖散熱的復(fù)雜性,作如下簡(jiǎn)化:

(1)巷道周?chē)鷰r體為均質(zhì);

(2)巷道截面為圓形;

(3)同一界面上風(fēng)流溫度不隨時(shí)間變化。

考慮巷道較長(zhǎng)、深埋和圍巖沿軸線溫度梯度較小,該圍巖散熱計(jì)算模型為平面二維模型,見(jiàn)圖 1。假設(shè)在初始時(shí)刻巷道圍巖具有相同的溫度,即深部地溫[6](若初始溫度是不均勻的,可類似進(jìn)行計(jì)算)。

圖 1 分析模型Fig.1 Analyticalmodel

采用極坐標(biāo),巷道圍巖熱傳導(dǎo)問(wèn)題的控制方程為

T——徑向 r處及 t時(shí)刻巷道圍巖的溫度,℃;

t——時(shí)間 (t>0),d;

r——以巷道中心為原點(diǎn)的圓柱坐標(biāo),m;

a——熱擴(kuò)散率 ,a=λ/ρc,m2/s;

λ——導(dǎo)熱系數(shù),W/(m·K);

ρ——密度,kg/m3;

c——比熱容,J/(kg·K)。

問(wèn)題的邊界和初始條件分別為:

式中:Tw——t時(shí)刻巷道表面的氣溫,℃;T0——圍巖的初始溫度,℃。

2 Laplace積分變換

圍巖溫度場(chǎng)的確定采用 Laplace積分變換方法[1]。時(shí)間函數(shù) f(t)的 Laplace積分變換 ˉf定義為

3 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解

為了便于圍巖溫度場(chǎng)解析計(jì)算,將熱傳導(dǎo)問(wèn)題作變量替換。取

將變量替換式 (6)分別代入式 (1)、(2)和 (3),熱傳導(dǎo)問(wèn)題[7-8]可重新表示為:

由式 (4)并利用初始條件式 (9),對(duì)熱傳導(dǎo)控制方程式 (7)進(jìn)行 Laplace積分變換,有

方程式 (10)的解式可表示為

式中:K0(·)——零階第二類變型 Bessel函數(shù);

A——積分參數(shù),由問(wèn)題的邊界條件確定。

對(duì)邊界條件 (8)的第一式進(jìn)行 Laplace變換,并代入式 (11),以確定待定參數(shù) A,再代回,可得

將式 (12)代入 Laplace逆變換式 (5),并代入變量替換式 (6),有

式(13)為圍巖溫度場(chǎng)的解析算式。將式 (13)對(duì) r進(jìn)行求導(dǎo)再乘以導(dǎo)熱系數(shù)λ可得熱流密度q,有

單位長(zhǎng)度巷道圍巖散熱量為

4 Laplace逆變換的數(shù)值計(jì)算

4.1 誤差驗(yàn)算

將式 (14)Laplace域上的解進(jìn)行逆變換得到時(shí)間域上的解較困難,故采用 Stehfest方法[9]對(duì) Laplace逆變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。該算法計(jì)算式為

式中 :t——自變量;

N、i、k——正整數(shù);

Vi——中間函數(shù) ,

原則上,算法中反演公式項(xiàng)數(shù) N取值越大,計(jì)算越精確。下面對(duì)該公式的誤差進(jìn)行驗(yàn)算。

誤差公式:

誤差驗(yàn)算結(jié)果如表 1～4所示。

表 1-1(s)=1/s2? f(t)=t誤差統(tǒng)計(jì)Table 1 Error statistics of-1(s)=1/s2?f(t)=t

表 1-1(s)=1/s2? f(t)=t誤差統(tǒng)計(jì)Table 1 Error statistics of-1(s)=1/s2?f(t)=t

?

表 2-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Error statistics of-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint

表 2-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Error statistics of-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint

?

表 3 當(dāng) N=18,t>1時(shí)-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 W henN=18,t>1,error statistics of-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint

表 3 當(dāng) N=18,t>1時(shí)-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 W henN=18,t>1,error statistics of-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint

?

從表 2、3中可知,當(dāng) 0≤t≤1且 14≤N≤22時(shí),誤差很小;當(dāng) N一定,t繼續(xù)增大時(shí),誤差則急劇增大。

表4-1(s)=1/p?f(t)=1/πt誤差統(tǒng)計(jì)Table 4 Error statistics of-1(s)=1/p?f(t)=1/π t

對(duì)比表 1～4可知,當(dāng)原函數(shù)不是周期函數(shù)時(shí),此法的誤差很小;當(dāng) N=18時(shí) Stehfest算法誤差最小,達(dá)到 10-5～10-7,能滿足工程需要。可見(jiàn),此方法在解答原函數(shù)為非周期函數(shù)時(shí)是正確的。

4.2 工程實(shí)例

工程實(shí)例[10]為山東新漢礦務(wù)局孫村礦。其中,巷道半徑為 2.0m,原始巖溫為 35.6℃,風(fēng)溫按工作面平均氣溫取 28.76℃,巖石的導(dǎo)熱系數(shù)λ為 1.073×10-2W/(m·K),熱擴(kuò)散率 a為 1.174×10-6m2/s。

利用MATLAB編程[11]進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果見(jiàn)表 5。

表 5 巷道圍巖散熱量Table 5 Surrounding rock heat rad iation of roadway

由計(jì)算結(jié)果可知:圍巖散熱量最大時(shí)是剛開(kāi)挖后的兩個(gè)月內(nèi),隨著時(shí)間的推移逐漸趨于穩(wěn)定。該方法能夠更清晰地觀測(cè)圍巖散熱隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。

5 結(jié) 論

(1)采用Laplace變換及其反變換的方法,建立了深埋巷道圍巖散熱計(jì)算的解析方法,為數(shù)值模擬和物理實(shí)驗(yàn)提供了理論依據(jù)。

(2)深埋巷道圍巖溫度場(chǎng)及散熱量可通過(guò) Laplace逆變換表示。實(shí)例計(jì)算可知,深埋巷道圍巖在前兩個(gè)月內(nèi)的散熱量占總散熱量的絕大部分,隨著時(shí)間的延長(zhǎng)散熱量逐漸減小,最終趨于穩(wěn)定。

(3)誤差驗(yàn)算表明,Stehfest方法用于 Laplace的數(shù)值反演,可以滿足工程需要。

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(編輯 晁曉筠)

Analytical calculation of surrounding rock heat radiation of deeply buried roadway

FENG Q iang1, CHEN Zhou2
(1.Shool ofMechanics&Civil Engineering,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221008,China;2.School of Civil Engineering&Transportation,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)

TD727

A

1671-0118(2011)01-0044-04

2010-11-23

馮 強(qiáng) (1985-),男,山東省威海人,碩士,研究方向:巖石力學(xué)理論及其應(yīng)用,E-mail:fengqiang889966@126.com。