一種比例尺蒙特卡羅濾波算法＊

趙 新，寧小磊，梁 興

（中國(guó)華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西華陰 714200）

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一種基于Monte Carlo方法的粒子濾波器［1－13］（particle filter，PF）為解決非線性非高斯濾波問(wèn)題提供了新途徑，其基本思想是用一組帶有權(quán)值的粒子集表示解決問(wèn)題時(shí)需要的后驗(yàn)概率密度，然后用這一近似的表示來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)［3］。然而，在粒子濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，普遍存在計(jì)算量較大和粒子退化等問(wèn)題，限制了其在工程領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用。常用的解決退化問(wèn)題的方法有重采樣和適當(dāng)選取建議分布。重采樣雖然在一定程度上可以解決粒子退化問(wèn)題，但卻因此帶來(lái)了粒子枯竭的問(wèn)題。為此，文中提出了一種新的比例尺粒子濾波算法（scale particle filter，SPF）。該算法按粒子重要性權(quán)值將粒子集劃分成好（重要性權(quán)值大）粒子群和較差（重要性權(quán)值?。┝Ｗ尤?，然后對(duì)好粒子和差粒子求取比例尺加權(quán)值，從而生成一些備選粒子，并通過(guò)重要性權(quán)值的優(yōu)選實(shí)現(xiàn)重采樣后粒子集多樣性的增加。

1 基本粒子濾波器算法及其缺陷

設(shè)非高斯、非線性隨機(jī)狀態(tài)空間模型為［5－9］：

式中：xk和zk分別是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量和量測(cè)值；映射分別是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型函數(shù)和量測(cè)模型函數(shù)；ωk和vk分別是過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲。狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題描述可歸結(jié)為利用所有可能得到的觀測(cè)序列遞歸的估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)xk的后驗(yàn)概率分布由于包括序貫估計(jì)的完全信息，進(jìn)而可得到系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)所需參數(shù)如均值、方差等信息。）一般由下列方法可以得到：

然而，式（2）～式（4）所示Bayes遞推過(guò)程中的積分一般不可積。粒子濾波通過(guò)采用Monte Carlo采樣技術(shù)實(shí)現(xiàn)了上述積分運(yùn)算，具體過(guò)程可描述為以下兩個(gè)階段：

1中隨機(jī)抽取的樣本。

圖1給出了基本粒子濾波器算法的迭代過(guò)程。

圖1 基本粒子濾波器方法

建議分布的選取是設(shè)計(jì)粒子濾波的關(guān)鍵技術(shù)之一，它對(duì)濾波算法效率的影響是明顯的，尤其關(guān)系到粒子權(quán)值的退化速度。Doucet［13］等給出了一個(gè)最優(yōu)的建議分布它能使粒子權(quán)重的方差為0，但遺憾的是一般從中抽樣是困難的。在實(shí)際應(yīng)用中，建議分布通常選取為先驗(yàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的形式，它使粒子的采樣和權(quán)值的遞推計(jì)算容易實(shí)現(xiàn)，但沒(méi)有引入系統(tǒng)最近觀測(cè)信息，具有一定的盲目性，容易引起粒子退化，使得重要性采樣后粒子重要性權(quán)值方差加大，多數(shù)粒子的權(quán)值趨于0，只有少數(shù)粒子的權(quán)值趨于1。這就浪費(fèi)了有限的計(jì)算資源，降低了系統(tǒng)狀態(tài)的推理精度?？朔嘶瘑?wèn)題的一個(gè)有效方法是在權(quán)重規(guī)格化處理后，根據(jù)權(quán)重進(jìn)行重采樣。重采樣過(guò)程將權(quán)重高的粒子復(fù)制多份，權(quán)重微小的粒子則被刪除，粒子被復(fù)制的概率與權(quán)重成正比，從而把計(jì)算資源按照粒子權(quán)值進(jìn)行分配。但重采樣容易引起粒子多樣性的喪失，使大量粒子成為權(quán)值較大粒子的子代，極大減少了參與估計(jì)的支撐集樣本，引起粒子枯竭現(xiàn)象，降低了濾波效果。

2 比例尺粒子濾波器算法

樣本集“多樣性”變差會(huì)導(dǎo)致粒子濾波出現(xiàn)退化現(xiàn)象，以下給出一種改善樣本集多樣性的策略，使好樣本被保留參與狀態(tài)估計(jì)，以提高粒子濾波的估計(jì)與跟蹤能力。

2.1 算法思想

比例尺粒子濾波算法的基本思路是：在重要性抽樣后，將粒子集按權(quán)值遞增的順序進(jìn)行排序；然后，選擇一些權(quán)值較大的粒子作為榜樣群，剩余的粒子作為候選粒子；接著，對(duì)榜樣群和候選群中的粒子序貫求取以初始設(shè)置的比例尺為參數(shù)的加權(quán)值，生成一些候選粒子；最后，依據(jù)粒子重要性權(quán)值對(duì)重要性抽樣生成的候選粒子和比例尺加權(quán)生成的粒子實(shí)現(xiàn)粒子優(yōu)選。優(yōu)選法則為：重要性權(quán)值大者，優(yōu)選晉級(jí)；重要性權(quán)值小者，優(yōu)選失敗，給以淘汰。

2.2 算法步驟

比例尺粒子濾波算法描述如下：

步驟2重要性采樣。當(dāng)k≥1時(shí)：

3）按粒子重要性權(quán)值將粒子集劃分為好粒子集和較差粒子集

其中：xk′為好粒子群；N′為好粒子的個(gè)數(shù)；xk″為較差粒子群；N″為較差粒子的個(gè)數(shù)。它們的確定方法可以初始設(shè)置時(shí)給以確定，也可以根據(jù)粒子退化情況動(dòng)態(tài)自適應(yīng)的確定。

4）比例尺加權(quán)求取備選粒子

方法是從好粒子群選擇一個(gè)最好的粒子，然后序貫的從較差粒子群中抽取粒子按下式以生成備選粒子：

5）計(jì)算粒子權(quán)值

6）歸一化權(quán)值

7）優(yōu)選粒子

步驟4結(jié)果輸出。按下式對(duì)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)：

其中：δ（）·為在xik的狄拉克delta函數(shù)。

步驟5令k＝k＋1，返回步驟2。

2.3 算法分析

1）算法有效性分析。比例尺粒子濾波算法在重要性抽樣之后，通過(guò)初始設(shè)置比例參數(shù)，對(duì)重要性采樣粒子集某些粒子求取加權(quán)值，生成一些備選粒子，并通過(guò)重要性權(quán)值的度量，實(shí)現(xiàn)了粒子的優(yōu)選，使較好的粒子參與狀態(tài)估計(jì)，從而緩解了粒子退化對(duì)濾波結(jié)果的影響。同時(shí)，這些備選粒子包括了粒子集中的好粒子和較差粒子信息，充分利用了粒子濾波的信息，所以能夠最大限度的改進(jìn)粒子濾波性能。

2）算法復(fù)雜度分析。比例尺粒子濾波算法，僅在重要性抽樣之后對(duì)某些粒子實(shí)行比例加權(quán)計(jì)算，其計(jì)算量相對(duì)于基本粒子濾波算法僅增加了（）O N″，可見(jiàn)，這種改進(jìn)策略基本上不增加算法的復(fù)雜度。此外，如果基本粒子濾波器沒(méi)有出現(xiàn)粒子退化現(xiàn)象，可以避過(guò)比例尺加權(quán)計(jì)算步驟，進(jìn)一步降低運(yùn)算量。當(dāng)然，此時(shí)運(yùn)行此步可以提高算法精度。

3）算法實(shí)用性分析。比例尺粒子濾波算法原理簡(jiǎn)單，工程實(shí)現(xiàn)方便，但卻能有效緩解粒子退化現(xiàn)象對(duì)粒子濾波造成的不良影響，因此，很有前景。同時(shí)，根據(jù)粒子濾波的具體情況，可以一直運(yùn)行，亦可以根據(jù)需要間斷運(yùn)行；此外，比例尺加權(quán)系數(shù)和參與計(jì)算的粒子數(shù)也可以根據(jù)具體情況自適應(yīng)的調(diào)整。所有這些都反映了比例尺粒子濾波算法的優(yōu)勢(shì)，使其更具有工程應(yīng)用前景。

3 數(shù)字仿真

文中使用一個(gè)廣泛使用的非線性模型檢驗(yàn)比例尺粒子濾波算法的有效性。該模型運(yùn)動(dòng)模型和觀測(cè)模型為［8］：

一般用均方根誤差（RMSE）來(lái)度量粒子濾波算法的誤差，單次運(yùn)行的RMSE按式（14）計(jì)算：

多次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用RMSE的均值對(duì)濾波結(jié)果進(jìn)行度量，即：

其中：M為濾波迭代步數(shù)；Tf為Monte Carlo仿真次數(shù)；xk為第k步的狀態(tài)真值；＾xk為第k步的狀態(tài)估計(jì)。

圖2 不同非線性濾波算法產(chǎn)生的狀態(tài)估計(jì)曲線

圖3 不同非線性濾波算法產(chǎn)生的RMSE隨仿真次數(shù)的變化曲線

圖2給出了不同粒子濾波器進(jìn)行一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)所產(chǎn)生的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，可以看出，SPF所估計(jì)的狀態(tài)能較好的與真實(shí)狀態(tài)吻合，這說(shuō)明該算法是有效的。

圖3給出了經(jīng)過(guò)100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)、不同非線性濾波算法狀態(tài)估計(jì)的RMSE隨粒子數(shù)變化的柱狀圖，可以非常明顯地看出：比例尺粒子濾波算法的估計(jì)精度優(yōu)于EKF和基本粒子濾波算法，且濾波器比較穩(wěn)定。其中，EKF100次估計(jì)的，其方差為149.9207；基本粒子濾波算法100次估計(jì)的，其方差為0.9359；比例尺粒子濾波算法100次估計(jì)的，其方差為0.1808。

4 結(jié)束語(yǔ)

粒子濾波器在解決非線性非高斯濾波問(wèn)題方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，目前已吸引眾多學(xué)者進(jìn)行研究。文中針對(duì)粒子濾波的退化和枯竭問(wèn)題，提出一種新型粒子濾波器——比例尺粒子濾波算法（SPF），該算法通過(guò)比例尺加權(quán)策略為粒子濾波生成一些備選粒子，并使用重要性權(quán)值對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)選，從而得到更好的支持粒子集參與狀態(tài)估計(jì)。仿真結(jié)果表明，比例尺粒子濾波在濾波精度和算法穩(wěn)定性上均優(yōu)于基本粒子濾波。

［1］Anderson B D O，Moore J B.Optimal filtering［M］.Prentice－Hall，1979.

［2］王法勝，趙清杰.一種用于解決非線性濾波問(wèn)題的新型粒子濾波算法［J］.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2008，31（2）：346－352.

［3］武元新.對(duì)偶四元數(shù)導(dǎo)航算法與非線性高斯濾波研究［D］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)，2005.

［4］De Freitas.Sequential Monte Carlo methods to train neural network models［J］.Neural Computation，2000，12（4）：955－993.

［5］R van der Merwe，A Doucet，J F G de Freitas，et al.The unscented particles filter［Z］.Adv.Neural Inform.Process.Syst.，Dec.2000.

［6］段琢華，蔡自興，于金霞.移動(dòng)機(jī)器人軟故障檢測(cè)與補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)粒子濾波算法［J］.中國(guó)科學(xué)E輯，2008，38（4）：565－578.

［7］寧小磊，王宏力，張琪，等.區(qū)間衍生粒子濾波器［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59（7）：24－32.

［8］寧小磊，王宏力，寧宇琪，等.高斯衍生粒子濾波器［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44（6）：72－77.

［9］Julier S J，Uhlmann J K.Unscented filtering and nonlinear estimation［J］.Proceedings of the IEEE，2004，92（3）：401－422.

［10］Pitt M K，Shephard N.Filtering via simulation：auxiliary particle filters［J］.Journal of the American Statistical Association，1999，94（2）：590－599.

［11］Jayesh H Kotecha，Petar M Djuric.Gaussian sum particle filtering［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，Oct.2003，51（10）：2602－2611.

［12］Gordon N J，Salmond D J，Smith A F M.Novel approach to nonlinear/non－Gaussian Bayesian state estimation［J］.IEE Proceedings on Radar and Signal Processing，1993，140（2）：107－113.

［13］Doucet A.On sequential simulation－based methods for Bayesian filtering［R］.University of Cambridge：Technical Report，CUED/F－INFENG/TR.310，1998.