基于加權(quán)總體最小二乘的平面點(diǎn)云擬合方法

袁 慶，樓立志，陳瑋嫻

(同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092)

基于加權(quán)總體最小二乘的平面點(diǎn)云擬合方法

袁 慶，樓立志，陳瑋嫻

(同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092)

根據(jù)每個(gè)點(diǎn)云激光反射強(qiáng)度不同以及對(duì)于系數(shù)陣A的部分修正，在地面三維激光的平面點(diǎn)云擬合中引入加權(quán)總體最小二乘的方法，建立較最小二乘方法和總體最小二乘方法更加合理的模型。根據(jù)相應(yīng)的迭代算法，經(jīng)實(shí)例計(jì)算證明該方法更加合理，可以獲得更高精度的參數(shù)解。

點(diǎn)云;EIV模型;平面擬合;加權(quán)總體最小二乘

一、引 言

在地面三維激光掃描的應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到一些點(diǎn)云平面的擬合問題，如墻面平整度檢測(cè)、道路路面數(shù)據(jù)擬合等［1］。所謂平面點(diǎn)云擬合，即從掃面點(diǎn)云數(shù)據(jù)中得到一組有關(guān)平面的數(shù)據(jù)(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)。傳統(tǒng)的做法是建立高斯-馬爾科夫(Guass-Markov)模型，采用最小二乘(least squares，LS)方法擬合平面。用LS法可以求得參數(shù)的最或然值，此時(shí)需要有一個(gè)基本假設(shè)，即偶然誤差e只存在于觀測(cè)向量Y中，而系數(shù)矩陣A是不受偶然誤差影響的。然而，這并不符合事實(shí)，由于模型誤差、人為誤差、儀器誤差等使得點(diǎn)云數(shù)據(jù)中幾乎所有的觀測(cè)值中都存在誤差，因此，包含變量的系數(shù)矩陣A也含有誤差?？紤]引入總體最小二乘(total least squares，TLS)方法，建立變量誤差(EIV)模型，同時(shí)考慮觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的誤差。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的激光反射強(qiáng)度定義擬合權(quán)陣，得到加權(quán)總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)的平面擬合方法。經(jīng)實(shí)例計(jì)算證明，WTLS方法更加合理，可以得到更高精度的參數(shù)解。

二、最小二乘解算平面參數(shù)

經(jīng)過預(yù)處理后得到一組平面點(diǎn)云數(shù)據(jù)(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)?？臻g平面方程為

式中，a、b、c為待求參數(shù)。利用線性回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的Guass-Markov模型為

式中

LS估計(jì)準(zhǔn)則為

單位權(quán)中誤差為

三、加權(quán)總體最小二乘解算平面參數(shù)

1.EIV模型

考慮系數(shù)矩陣A中誤差的EIV模型為

WTLS估計(jì)準(zhǔn)則為

2.WTLS權(quán)陣的定義

在實(shí)際中，每次掃描得到的是被掃平面每個(gè)點(diǎn)云的一組信息，這組信息包含了掃描點(diǎn)云的坐標(biāo)信息和激光反射強(qiáng)度信息，即每個(gè)點(diǎn)云的三維坐標(biāo)和激光反射強(qiáng)度值。而激光反射強(qiáng)度與入射角度存在如下關(guān)系:E'i=E0cos αi(i=1，2，…，n) ，式中，為每個(gè)掃描點(diǎn)的激光反射強(qiáng)度;E0為垂直入射時(shí)的反射強(qiáng)度;αi為入射角。即入射角度越接近于90°，激光反射強(qiáng)度越大，點(diǎn)位精度越高，參與擬合的權(quán)重也應(yīng)越大;相反，入射角越接近于0°，激光反射強(qiáng)度越小，點(diǎn)位精度越低，參與擬合的權(quán)重應(yīng)越?。?］。通常的激光反射率是在 (0，255)之間的數(shù)值，通過相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系 Ei=(E'i×0.303 7+621.872 9)/1 244將反射強(qiáng)度轉(zhuǎn)換為0～1之間的數(shù)值(即Ei)，再將Ei作為每個(gè)點(diǎn)云相應(yīng)的權(quán)值。假設(shè)點(diǎn)云在x、y、z三個(gè)方向等精度獲取，對(duì)于平面靶標(biāo)的系數(shù)陣列向量和觀測(cè)值，有σx=σy=σz，則具體權(quán)陣形式如下

式中，P0為系數(shù)陣A的列向量權(quán)陣，P0的第三個(gè)對(duì)角元素為0，表示系數(shù)陣A中的第三列不需要改正，其余對(duì)角線元素為1，表示系數(shù)陣A中的第一、二列的數(shù)據(jù)列中的元素是等精度獲取的;PY為觀測(cè)值權(quán)陣;PX為A陣行向量權(quán)陣。

3.迭代法求解參數(shù)及精度評(píng)定

根據(jù)Shaffrin提出的迭代法［4］求解點(diǎn)云平面參數(shù)的過程具體如下。

四、實(shí)例分析

本文采用Faro laser scanner對(duì)墻面、路面數(shù)據(jù)進(jìn)行掃描得到原始點(diǎn)云，如圖1所示，具體步驟如下。

圖1 原始點(diǎn)云

1)為避免由于直線平行于某坐標(biāo)軸而出現(xiàn)數(shù)值問題［5］，求出坐標(biāo) (xi，yi，zi)T(i=1，2，…，n) 中的三個(gè)坐標(biāo)分量的最大值和最小值之差為Δx、Δy、Δz。在 Δx、Δy、Δz中，若 Δx最小，則按 x=ay+bz+c擬合;若Δy最小，則按y=az+bx+c擬合;若Δz最小，則按z=ax+by+c擬合。

2)將反射率轉(zhuǎn)化為0～1之間的數(shù)值，設(shè)置閾值，濾去噪聲點(diǎn)。

3)在點(diǎn)云平面中任取三個(gè)點(diǎn)，求出平面參數(shù)初值，計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到平面的距離，將距離小于2 mm的點(diǎn)刪除。

4)根據(jù)式(2)、式(8)組成觀測(cè)方程。

5)根據(jù)式(9)～式(11)求解參數(shù)，并由式(12)～式(14)進(jìn)行平差精度評(píng)定，與TLS方法和LS進(jìn)行比較，得到的結(jié)果如表1、表2所示。墻面擬合的殘差如圖2所示。

表1 墻面擬合參數(shù)及精度

表2 路面擬合參數(shù)及精度

由表1、表2可以看出，WTLS方法擬合的單位權(quán)中誤差要小于LS方法和TLS方法。墻面擬合中WTLS方法得到的精度相對(duì)LS方法和TLS方法提高了58%，路面擬合中WTLS方法得到的精度相對(duì)LS方法和TLS方法分別提高了61%和50%。由圖2可以看出，LS方法僅僅修改了觀測(cè)值向量，而TLS和WTLS方法則修改了系數(shù)陣和觀測(cè)值，使得殘差同時(shí)出現(xiàn)在觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣中。且引入點(diǎn)云的權(quán)陣，得到更加合理的擬合模型和更高精度的參數(shù)解。

五、結(jié) 論

1)由于WTLS方法建立的EIV模型對(duì)所有變量中的誤差都進(jìn)行了最小化約束，因此它比假設(shè)系數(shù)陣無(wú)誤差的LS方法更加合理。

2)根據(jù)點(diǎn)云的激光反射強(qiáng)度不同的特點(diǎn)，引入行向量權(quán)陣P、PX，給出P、PX的具體形式。得到的單位權(quán)中誤差小于LS方法和TLS方法，并且精度參數(shù)解更高。

3)引入列向量權(quán)陣P0，對(duì)系數(shù)陣A修改數(shù)據(jù)列而固定的常數(shù)列，并給出P0的具體形式，得到更合理的擬合模型。

圖2 墻面數(shù)據(jù)觀測(cè)值殘差及系數(shù)陣殘差比較

［1］曹力.多重三維激光掃描技術(shù)在山海關(guān)長(zhǎng)城測(cè)繪中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪通報(bào)，2008(4):31-40.

［2］魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計(jì)算［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［3］張毅.地面三維激光掃描點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理方法研究［D］.武漢:武漢大學(xué)，2008.

［4］SCHAFFRIN B，WIESER A.On Weighted Total Least-Squares Adjustment for Linear Regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82(7):415-421.

［5］王解先，季凱敏.工業(yè)測(cè)量擬合［M］.北京:測(cè)繪出版社，2008.

Applying Weighted Total Least-Squares to the Plane Point Cloud Fitting of Terrestrial Laser Scanning

YUAN Qing，LOU Lizhi，CHEN Weixian

0494-0911(2011)03-0001-03

P232

B

2010-09-03

袁 慶(1986—)，女，安徽宣城人，碩士生，研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量數(shù)據(jù)處理。