基于多假設(shè)檢驗(yàn)的新型小波濾波算法

杜文遼，劉成良，李彥明

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240，2.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，鄭州 450002)

對(duì)含有噪聲的信號(hào)進(jìn)行濾波處理是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要課題之一。由于小波在時(shí)頻域同時(shí)具有良好的局部化功能及多分辨率特性，而受到廣泛的應(yīng)用。小波閾值濾波中，閾值的選取直接影響濾波效果。目前，確定濾波閾值的方法主要有通用閾值法、極小化風(fēng)險(xiǎn)閾值法、多假設(shè)檢驗(yàn)法和 Bayes Shrink閾值法［1]。Abramovich 和 Benjamini［2]指出，小波閾值處理過程可以看作是一個(gè)多重假設(shè)檢驗(yàn)過程，通過檢驗(yàn)小波系數(shù)是否為0，僅保留一些較顯著的系數(shù)，在允許一定誤判的情況下，引入 FDR［3]準(zhǔn)則，通過step-up過程來確定小波濾波閾值。

Benjamini和Liu［4]提出了基于多假設(shè)檢驗(yàn)FDR方法的step-down過程，并且指出在假設(shè)樣本較少并有大量非真假設(shè)存在的情況下，該過程較step-up過程具有更大的勢(power)。Troendle［5]進(jìn)一步證明了合適選擇臨界常數(shù)step-up和step-down過程能夠控制FDR在給定的水平。Tamhane［6]提出了多假設(shè)檢驗(yàn)中的step-updown過程，該方法在具有最少拒絕數(shù)目先驗(yàn)知識(shí)的情況下非常有效。Sarker［7]證明了 step-up和 step-down過程在控制FDR本質(zhì)上是一致的。

本文將step-up-down過程控制FDR的方法引入到確定小波濾波閾值的算法中，該方法不僅適于具有信號(hào)噪聲先驗(yàn)知識(shí)的情況，而且也適于沒有先驗(yàn)知識(shí)的情況，并能夠加快閾值的確定過程。通過靈活設(shè)置顯著性水平，可以得到滿意的濾波效果。

1 FDR的定義

對(duì)于單個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題，設(shè)Θ是參數(shù)空間，θ為參數(shù)。θ∈Θ0代表原假設(shè)，記為H0。與H0不相容的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，記為H1，這時(shí)θ∈Θ1。這里Θ0∩Θ1=Ω，Θ0∪Θ1=Θ。通常的檢驗(yàn)策略是控制第Ⅰ類錯(cuò)誤，即棄真錯(cuò)誤，同時(shí)盡量減小犯第Ⅱ類錯(cuò)誤，即取偽錯(cuò)誤。

同時(shí)對(duì)多個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，情況將變得更為復(fù)雜。表1給出了m個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的不同結(jié)果。這時(shí)候每個(gè)檢驗(yàn)都可能同時(shí)存在第Ⅰ類錯(cuò)誤和第Ⅱ類錯(cuò)誤，如何衡量總體檢驗(yàn)的錯(cuò)誤率是不確定的。傳統(tǒng)上采用family wise錯(cuò)誤率(FWER)，但在很多情況下，F(xiàn)WER過于保守。Benjamini和Hochberg［3]引入了一個(gè)新的準(zhǔn)則——錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)率(FDR)來衡量總體檢驗(yàn)的錯(cuò)誤率，F(xiàn)DR指在多重假設(shè)檢驗(yàn)中，錯(cuò)誤的拒絕頻數(shù)與拒絕頻數(shù)比值的數(shù)學(xué)期望，可以表示為:q=FDR=，在相同控制水平下，F(xiàn)DR控制過程較FWER控制過程拒絕更多的原假設(shè)，即FDR相對(duì)寬松，從而具有更大的勢。

表1 多假設(shè)檢驗(yàn)輸出結(jié)果Tab.1 Possible outcomes from m hypothesis tests

2 Step-up和step-down過程控制FDR

Benjamini和 Hochberg［3]提出的多假設(shè)檢驗(yàn) FDR準(zhǔn)則(記為 BH FDR)，檢驗(yàn)方法采用的是 Simes［8]提出的算法，其檢驗(yàn)過程如下:參數(shù)空間Θ中各樣本點(diǎn)為獨(dú)立同分布，設(shè) p1，p2，…，pm為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的 p值，其大小反映了顯著性水平的高低，對(duì)應(yīng)的原假設(shè)為H(1)，H(2)，…，H(m)。對(duì)p值進(jìn)行排序得到序列 p(1)≤p(2)≤…≤p(m)，記p(t)對(duì)應(yīng)的原假設(shè)為H(i)，從最大的p值p(m)開始，依次是 p(m－1)，p(m－2)，…，取臨界常量 c(i)=(i/m)q，令 k=max{i∶p(i)≤c(i)}，然后拒絕所有的H(i)，i=1，2，…，k。這就是控制 FDR 顯著性水平在 q的step-up過程。

Benjamini和 Liu［4]給出了一種 FDR step-down 控制過程:從最小的p值p(1)開始，依次是p(1)，p(2)，…，取臨界常量，令k=min{i∶p(i)＞ c(i)}，然后拒絕所有的 H(i)，i=1，2，…，k?？梢宰C明，該過程也能控制FDR在水平q，并且在m較小并且有大量非真假設(shè)存在的情況下，該過程較step-up過程具有更大的勢。

3 FDR step-up-down小波閾值濾波算法

FDR多假設(shè)檢驗(yàn)過程要求樣本是獨(dú)立(independent)分布的，一般時(shí)序信號(hào)并不符合FDR多假設(shè)檢驗(yàn)過程的條件。正交小波變換具有很強(qiáng)的去相關(guān)特性，經(jīng)過小波變換得到的小波系數(shù)可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，由于小波閾值濾波可以看作是一個(gè)多假設(shè)檢驗(yàn)過程，得出FDR step-up-down小波濾波算法如下:

對(duì) pj，k按從小到大排序，即 p(1)≤p(2)≤…≤p(m)，每一個(gè) pi對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)為，對(duì)應(yīng)的原假設(shè)0)記為 H(1)，H(2)，…，H(m)。選擇評(píng)價(jià)常數(shù) 0≤c(1)≤c(2)≤…≤c(m)≤1，暫取 c(i)=(i/m)q，并選取 r初始值。

(2)如果p(r)≤c(r)，那么拒絕原假設(shè)H(1)，H(2)，…，H(r)，轉(zhuǎn)(4)。

(3)如果 p(r)＞c(r)，接受原假設(shè)，H(1)，H(2)，…，H(r)，轉(zhuǎn)(5)。

(4)令H(i)表示最后拒絕的原假設(shè)(在(2)中，i=r)，如果i=m，停止并且 k=i;否則，檢查 H(i+1)，如果p(i+1)＞c(i+1)，那么接受 H(i+1)，H(i+2)，…，H(m)并停止并且k=i。如果p(i+1)≤c(i+1)，那么拒絕H(i+1)。令i=i+1，返回(4)。這一步中 c(i)=1－［1－min(1，mq/(m

(5)令H(i)表示最后接受的原假設(shè)(在(3)中，i=r)，如果 i=1，停止并且 k=i;否則，檢查 H(i－1)，如果p(i－1)≤c(i－1)，那么拒絕 H(i－1)，H(i－2)，…，H(1)并停止并且 k=i。如果 p(i－1)＞ c(i－1)，那么接受 H(i－1)。令 i=i－1，返回(5)。

(6)計(jì)算閾值，閾值就是上面得到的p(k)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，并對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值化處理。

顯然，上面算法中，如果r=m，則是step-up過程;如果r=1，則是step-down過程。當(dāng)具有r的先驗(yàn)知識(shí)的時(shí)候，也就是如果知道大約有r0個(gè)0假設(shè)為真，則取r=r0。當(dāng)沒有這個(gè)先驗(yàn)知識(shí)的時(shí)候，可以由程序生成一個(gè)隨機(jī)數(shù) r∈［1，m] 。

在對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值化處理中，常用的閾值函數(shù)有硬閾值方法和軟閾值方法兩種，硬閾值函數(shù)是不連續(xù)函數(shù)，會(huì)產(chǎn)生一些間斷點(diǎn)，實(shí)踐證明軟閾值效果較好［9]。對(duì)任一小波系數(shù) θ^j，k，軟閾值函數(shù)為:

T為由FDR step-up-down方法得出的小波閾值。

4 算例

為了驗(yàn)證本文方法的效果，以Matlab工具箱中的典型信號(hào)heavy sine為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過對(duì)原始信號(hào)疊加白噪聲形成待處理信號(hào)，利用db5小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層分解，實(shí)驗(yàn)中采用前述軟閾值方法。圖1為原始信號(hào)、含噪信號(hào)及顯著性水平取0.05時(shí)經(jīng)FDR step-up-down濾波后的對(duì)比圖。為對(duì)比不同顯著性水平的影響及不同降噪方法的效果，以信噪比和最小均方誤差為度量指標(biāo)，表2列出了對(duì)seavy sine含噪信號(hào)分別采用BH FDR、FDR step-up-down、heursure、sqtwolog閾值濾波后的結(jié)果。其中，對(duì)BH FDR和FDR step-updown 的顯著性水平分別取 0.05、0.2。

信噪比及最小均方誤差采用如下公式計(jì)算［10]:

從圖1可以看出，對(duì)含噪信號(hào)利用本文提出的FDR step-up-down方法濾波后，信號(hào)質(zhì)量明顯得到改善。從表2根據(jù)SNR、MSE計(jì)算出的結(jié)果來看，改變FDR顯著性水平的大小對(duì)信號(hào)質(zhì)量的改善影響也非常顯著。在大部分情況下，本文所提出的方法較經(jīng)典的BH FDR方法表現(xiàn)更佳，其性能與heursure濾波效果相當(dāng)，這三種閾值都明顯優(yōu)于sqtwolog方法。分析表2還可以看到，F(xiàn)DR step-up-down方法可以根據(jù)濾波結(jié)果靈活選擇顯著性水平的大小，進(jìn)而取得比較理想的濾波效果。由于對(duì)FDR step-up-down過程r初始值的選取是采用取隨機(jī)數(shù)的方法，每執(zhí)行一次濾波過程得到的SNR、MSE會(huì)有所變化，但總體上其勢要大于FDR過程，并且在小波系數(shù)較多的情況下，可以明顯提高算法的速度。如果已知信號(hào)中噪聲點(diǎn)的先驗(yàn)知識(shí)，可以根據(jù)該先驗(yàn)知識(shí)確定r的初始值，從而獲得較大的勢。

表2 heavy sine信號(hào)小波去噪前后不同閾值準(zhǔn)則對(duì)比(SNR/MSE)SNR單位:dBTab.2 The compare of wavelet de-noising of heavy sine signal with different methods(SNR/MSE)

圖1 不同信噪比heavy sine信號(hào)q=0.05時(shí)濾波效果Fig.1 The de － noising result of heavy sine signal with different SNR at q=0.05

下面用一組來自美國Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，軸承型號(hào)SKF6205，采樣頻率為12 kHz。圖2上部分為軸承內(nèi)圈損傷的振動(dòng)加速度原始信號(hào)，下部分為利用本文所提方法進(jìn)行小波分解重構(gòu)后的信號(hào)，其中，選擇db5小波，顯著性水平取0.05。從圖中可以看出經(jīng)過濾波后信號(hào)質(zhì)量有了明顯改善。

圖2 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障原始數(shù)據(jù)及濾波結(jié)果Fig.2 Original signal and De-noised signal of ball bearing inner race fault

圖3 不同顯著性水平下得到的信噪比Fig.3 The SNR for different significant levels

為了考察采用不同顯著性水平時(shí)，F(xiàn)DR step-updown方法對(duì)濾波效果的影響，采用前述heavy sine信號(hào)，疊加白噪聲信號(hào)，形成SNR為21.7371的待處理信號(hào)。取顯著性水平變化范圍為0.05到0.4，步長0.01。利用db5小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層分解，采用前述軟閾值方法進(jìn)行濾波。經(jīng)FDR step-up-down方法濾波后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的SNR如圖3所示。從圖中可以看出，F(xiàn)DR step-up-down濾波效果與顯著性水平大小的選取關(guān)系很大，并且表現(xiàn)出并非簡單的線性關(guān)系。分析其中存在的原因，主要是FDR step-up-down方法初始啟動(dòng)值的影響，另外，顯著性水平反映了錯(cuò)誤拒絕原假設(shè)的情況，但是并沒有考慮到錯(cuò)誤接受備擇假設(shè)。因此，如果只選擇顯著性水平作為小波濾波閾值選擇的依據(jù)，就必須根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇合適的顯著性水平，或者考慮錯(cuò)誤接受備擇假設(shè)的情況進(jìn)行折中。

5 結(jié)論

本文針對(duì)小波濾波算法中閾值選取問題，構(gòu)造了FDR step-up-down過程確定小波濾波閾值的新算法。在具有噪聲信息先驗(yàn)知識(shí)的前提下，可以更有效、快捷的求得閾值，但是在通常情況下，關(guān)于噪聲的先驗(yàn)知識(shí)比較難以獲得，這時(shí)，用隨機(jī)數(shù)方法產(chǎn)生一個(gè)初始的啟動(dòng)值r，也同樣可以體現(xiàn)出算法的優(yōu)越性。在算法實(shí)現(xiàn)過程中，可以根據(jù)濾波效果，靈活選擇顯著性水平的大小，這是該算法的另一個(gè)優(yōu)勢。仿真實(shí)驗(yàn)表明，顯著性水平大小的選擇對(duì)濾波效果有明顯的影響，如何更進(jìn)一步將錯(cuò)誤接受擇備假設(shè)的情況考慮進(jìn)來，是下一步改進(jìn)的方向。

［1] 潘 泉，張 磊，孟晉麗，等.小波濾波方法及應(yīng)用［M] .北京:清華大學(xué)出版社，2005.

［2] Abramovich F，Benjamini Y. Thresholding of wavelet coefficients as multiple hypotheses testing procedure［J] .Lecture Notes in Statistics，1995，103:5 －14.

［3] Benjamini Y，Hochberg Y.Controlling the false discovery rate:a practical and powerful approach to multiple testing［J] .Journal of the Royal Statistical Society.Series B(Methodological)，1995，57(1):289 －300.

［4] Benjamini Y，Liu W.A step-down multiple hypotheses testing procedure that controls the false discovery rate under independence［J] . Journal of Statistical Planning and Inference，1999，82(1 －2):163 －170.

［5] Troendle JF.Stepwise normal theory multiple test procedures controlling the false discovery rate［J] .Journal of Statistical Planning and Inference，2000，84(1 －2):139 －158.

［6] Tamhane A C，Liu W，et al.A generalized step-up-down multiple test procedure［J] .Canadian Journal of Statistics，1998，26(2):353 －363.

［7] Sarkar SK.Some results on false discovery rate in stepwise multiple testing procedures［J] .Annals of Statistics，2002，30(1):239－257.

［8] Simes R.An improved bonferroni procedure for multiple tests of significance［J] .Biometrika，1986，73(3):751 －754.

［9] Donoho D.De-noising by soft-thresholding［J] . IEEE transactions on information theory，1995，41(3):613 －627.

［10] 劉衛(wèi)東，劉尚合，胡小鋒，等.小波閾值去噪函數(shù)的改進(jìn)方法分析［J] .高電壓技術(shù)，2007，33(10):59 －63.