夾心式復(fù)合變幅桿換能器頻率方程的推導(dǎo)

秦 雷，王麗坤，唐會(huì)彥，孫百生

(北京信息科技大學(xué) 傳感器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101)

夾心式換能器是一類大功率發(fā)射換能器，這類換能器以較小的重量和體積獲得大的聲能密度，其發(fā)射靈敏度高，在水聲、超聲換能器領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛［1]。因此，其研究方法也多種多樣，如:等效電路法［2]、有限元法［3－5]等。有限元法目前較常用，但在優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)由于需要大量改變某些參數(shù)，所以每改變一次參數(shù)都要進(jìn)行全局運(yùn)算，工作量較大［6]。等效電路法是分析夾心式換能器的解析法解法，理論較為成熟，計(jì)算簡便并且容易被人接受，但由于引入過多的簡化誤差較大。為減少這種誤差，研究者進(jìn)行了許多理論研究。四川大學(xué)黃振偉［7]考慮了預(yù)應(yīng)力螺栓對(duì)系統(tǒng)建模的影響，對(duì)33.66kHz的換能器進(jìn)行了計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果將誤差由原來的2.69%降低到0.86%。北京大學(xué)欒桂冬［8，9]考慮了損耗對(duì)壓電陶瓷的常用振動(dòng)模的等效電路的影響，對(duì)于夾心式換能器的等效電路的推導(dǎo)有一定指導(dǎo)意義。傳統(tǒng)等效電路法是將每一片壓電陶瓷的六端等效網(wǎng)絡(luò)推導(dǎo)出來，再根據(jù)電路中串并聯(lián)關(guān)系得出多層壓電陶瓷疊堆結(jié)構(gòu)整體等效電路，然后同樣根據(jù)電路串聯(lián)理論，再疊加發(fā)射端、背襯以及預(yù)應(yīng)力螺栓等影響，最后得出總體換能器等效電路。這樣做有一定的缺陷。首先，沒有考慮電極片的影響。在超聲換能器以及頻率較高的水聲換能器中，陶瓷片的厚度不能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電極片厚度時(shí)，電極片的影響是不能忽略的。其次，沒有考慮多層陶瓷片經(jīng)疊堆后，已經(jīng)由一片薄圓片振動(dòng)模態(tài)轉(zhuǎn)化為長度伸縮振動(dòng)模態(tài)，其振動(dòng)方程已不能用原來薄圓片的振動(dòng)方程來代替。本文首先根據(jù)傳統(tǒng)等效電路方法推導(dǎo)了這種夾心式復(fù)合變幅桿換能器的等效電路，并得出頻率方程。然后考慮電極片的影響，將多層壓電陶瓷疊堆等效為一個(gè)由陶瓷和電極片構(gòu)成的2－2型壓電復(fù)合材料，應(yīng)用壓電復(fù)合材料的串并聯(lián)理論以及等效參數(shù)理論，求出壓電陶瓷疊堆的等效密度以及等效縱波聲速等參數(shù)。將這些等效參數(shù)帶入換能器頻率方程，對(duì)其進(jìn)行理論修正，提高了換能器頻率方程的計(jì)算精度，可以更好的指導(dǎo)換能器制備。

1 夾心式復(fù)合變幅桿換能器結(jié)構(gòu)

圖1 換能器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of transducer

壓電陶瓷疊堆以及由其構(gòu)成的夾心式換能器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，壓電陶瓷晶片堆由多個(gè)壓電陶瓷晶片機(jī)械上串聯(lián)疊堆而成，有獨(dú)立正負(fù)電極，相鄰兩片陶瓷之間極性相反構(gòu)成電學(xué)并聯(lián)結(jié)構(gòu)。夾心式換能器包括:發(fā)射端、壓電陶瓷晶片堆、背襯、預(yù)應(yīng)力螺釘以及防水透聲聚氨酯層，陶瓷晶片堆前后分別粘接發(fā)射端和背襯，發(fā)射端用輕金屬制成，背襯由重金屬制成，陶瓷片、發(fā)射端及背襯材料之間夾有薄銅片作為焊接電極引線用，其間均用環(huán)氧樹脂粘接，以實(shí)現(xiàn)良好的振動(dòng)傳遞。預(yù)應(yīng)力螺釘用于固定發(fā)射端、晶片堆和背襯，同時(shí)施加一定的預(yù)應(yīng)力于晶片堆，以增加晶片堆的抗張強(qiáng)度，提高發(fā)射功率。發(fā)射端采用倒喇叭變幅桿加小截面圓柱頭復(fù)合結(jié)構(gòu)，由于圓柱頭的面積較晶片堆振動(dòng)面減小，使輻射波束的開角增大，從而增大了換能器的指向性開角［1]。

圖2 換能器的簡化模型Fig.2 Simplified model of transducer

2 夾心式復(fù)合變幅桿換能器的等效電路

實(shí)際的換能器由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在以下的討論中，假定在所討論的頻率范圍內(nèi)，振子可以近似看作一維復(fù)合棒，即振子只沿軸向作一維振動(dòng)。應(yīng)用等效電路理論［5]，把機(jī)械振動(dòng)、電振蕩以及機(jī)電轉(zhuǎn)換過程用機(jī)電類比的原理，形象地組合在一個(gè)等效電路圖中。根據(jù)以上近似條件，將換能器簡化成圖2所示四個(gè)部分，分別是:背襯、壓電陶瓷晶片堆、圓錐形變幅桿以及圓柱形等截面桿，同時(shí)忽略其它邊界條件的影響。

換能器發(fā)射時(shí)等效電路可畫成圖3的形式。

圖3中Zs0，Zr分別表示背襯向外界輻射阻抗以及發(fā)射端向外界的輻射阻抗。

在以下討論中，為計(jì)算簡單，只考慮換能器在空氣中的情況，即Zs0=Zr=0。圖3所示的等效圖又可進(jìn)一步簡化，令Zm1為背襯端施加于壓電陶瓷疊堆的等效機(jī)械阻抗，Zm2為發(fā)射端施加于壓電陶瓷疊堆的等效機(jī)械阻抗。其值分別為:

圖3 換能器的等效電路圖Fig.3 Equivalent circuit diagram of transducer

其中 F=r1/(r2－r1)為變幅桿延展系數(shù)，Zm4=jρ3vs3S2tan k3l4為發(fā)射端圓柱型等截面桿施加于圓錐型變幅桿的等效機(jī)械阻抗，腳標(biāo)1表示背襯材料參數(shù)，腳標(biāo)3表示發(fā)射端材料參數(shù)，ρ為材料密度，l為長度，S為面積為縱波聲速，k=w/vs為波數(shù)。

3 夾心式復(fù)合變幅桿換能器的頻率方程

在共振頻率下，對(duì)于一個(gè)半波長振子，振動(dòng)時(shí)兩端振幅最大，中間存在一個(gè)振速為零的截面，稱為節(jié)面。根據(jù)共振頻率下動(dòng)態(tài)回路中總機(jī)械抗為零，設(shè)Zm=Rm+jXm，又因?yàn)橥茖?dǎo)過程中未涉及損耗即機(jī)械阻為零，所以Zm=jXm，對(duì)節(jié)面左右兩部分分別列方程得:

式中:le1，le2分別為振子截面兩邊陶瓷晶片堆的長度，le=le1+le1為陶瓷晶片堆的長度?；?2)式得到換能器的頻率方程:

4 夾心式復(fù)合變幅桿換能器頻率方程的理論修正

由于壓電陶瓷晶片堆之間引入了黃銅墊片作為電極，而當(dāng)電極片的厚度與單個(gè)陶瓷片的厚度可以相比時(shí)，電極片對(duì)壓電陶瓷晶片堆性能的影響則不可忽略。因此對(duì)于公式(3)給出的換能器振子頻率方程需要進(jìn)行修正。公式中包含三個(gè)相關(guān)的參數(shù)ρ2、vse和ke，分別表示振子中壓電晶堆的密度、縱波聲速以及波數(shù)。引入黃銅墊片會(huì)導(dǎo)致這三個(gè)參數(shù)發(fā)生變化。公式中密度ρ2應(yīng)修正為等效密度:

其中v1為壓電陶瓷晶片堆中陶瓷體積百分比，ρ4為黃銅墊片密度。如圖4所示，等效密度隨著壓電陶瓷體積百分比增加而線性減小。

陶瓷薄片經(jīng)過疊加后構(gòu)成長條形晶片堆，其振動(dòng)模為電場平行于長度的長度伸縮模，對(duì)于晶片堆構(gòu)成的壓電體的縱波聲速=，因此只要再求出壓電體的等效彈性柔順系數(shù)，就可求出壓電晶堆的等效縱波聲速。根據(jù)壓電復(fù)合材料的串聯(lián)理論［11]，壓電陶瓷片與黃銅墊片構(gòu)成的壓電振子可以等效成一種新的壓電材料，從而求出這種新的壓電材料的等效彈性柔順系數(shù)

考慮到壓電陶瓷片z向極化，只有z方向有電場，并且假設(shè)壓電陶瓷片與黃銅墊片不存在切向應(yīng)變。因此得到簡化的壓電陶瓷本構(gòu)方程:

簡化的黃銅墊片本構(gòu)方程:

壓電振子作為一個(gè)壓電體，具有與壓電陶瓷類似的本構(gòu)方程:

壓電振子由壓電陶瓷片和黃銅墊片在厚度方向串聯(lián)，在其它兩方向并聯(lián)，因此可以作以下假設(shè):

(1)電場加在壓電陶瓷片和黃銅墊片串聯(lián)結(jié)構(gòu)上，且黃銅墊片內(nèi)部電場為零，即作用于壓電振子的電場等于壓電陶瓷片電場，并沿z軸方向。同時(shí)，考慮將振子等效為壓電體，那么在振子上與在相同體積的純陶瓷上施加的電壓一樣的情況下，等效的振子內(nèi)部電場為E″3=U/d，壓電陶瓷片內(nèi)部電場為 E3=U/(d·v1)，其中U為施加在陶瓷上的電壓，d為陶瓷片厚度。壓電振子等效電位移等于兩相材料電位移之和，且黃銅墊片內(nèi)部電位移為零。所以:

(2)壓電振子的垂向應(yīng)變?yōu)楦飨啻瓜驊?yīng)變之和，應(yīng)力與兩相材料的應(yīng)力相等，即:

(3)壓電振子的橫向應(yīng)變與兩相材料各自的橫向應(yīng)變相等，兩相材料的應(yīng)力之和為總應(yīng)力，即:

其中上標(biāo)“″”代表壓電振子等效參數(shù)，上標(biāo)“＇”代表黃銅墊片材料參數(shù)，無上標(biāo)參數(shù)代表壓電陶瓷參數(shù)。

綜合(1)、(2)和(3)三條假設(shè)可得:

將式(5)、式(6)和式(7)以 T3，S1，D3為獨(dú)立變量表出后，帶入式(11)可得:

其中 s'11，s'12為黃銅材料的彈性柔順系數(shù)為壓電陶瓷材料的彈性柔順系數(shù)。由公式(12)可以看出，陶瓷晶片堆作為一個(gè)整體其等效彈性柔順系數(shù)只與兩相材料的固有彈性柔順系數(shù)以及兩相材料體積百分比有關(guān)。圖4給出等效彈性柔順系數(shù)與壓電陶瓷圓片體積百分比的關(guān)系，從圖中可以看出隨著壓電陶瓷圓片體積百分比的增加，等效彈性柔順系數(shù)呈線性減小。

圖4 壓電晶堆等效密度與彈性柔順系數(shù)與體積百分比關(guān)系Fig.4 The equivalent density and the elastic compliance constant with volume fractions

將以上三個(gè)修正的參數(shù)代入式(3)的頻率方程后就可得到修正的頻率方程:

5 換能器頻率方程的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

夾心式復(fù)合變幅桿換能器中壓電陶瓷選用PZT－4，它具有低的機(jī)械損耗和介電損耗、大的交流退極化場，并具有較大的介電常數(shù)、機(jī)電耦合系數(shù)和壓電常數(shù)，適合于強(qiáng)電場、大機(jī)械振幅的激勵(lì)，常用作發(fā)射換能器的換能材料。環(huán)氧樹脂要有良好的粘接性、抗張強(qiáng)度，大功率發(fā)射時(shí)具有良好的性能，因此選用北京航空材料研究院的SY－37型透明環(huán)氧膠作為膠粘劑。發(fā)射端和背襯材料分別選用鋁和鋼，這樣根據(jù)動(dòng)量守恒定律，發(fā)射端與背襯的位移比約為3∶1。銅墊片選用0.2mm厚的黃銅片，以上五種材料的性能列于表1。

表1 換能器中用到的原材料性能Tab.1 Parameters of example used in transducer

圖5 修正前后le隨頻率變化曲線對(duì)比Fig.5 The frequency depends on length of stack

將表1中提供的材料參數(shù)代入式 (1)、式(12)和式(13)，并設(shè)定背襯和發(fā)射端的尺寸分別為 l1=5.3 mm， l3=6 mm，l4=5 mm，r1=10 mm，r2=4 mm，考慮修正前后兩種情況，可計(jì)算得到如圖5所示的le隨諧振頻率變化規(guī)律曲線。由圖中數(shù)據(jù)可看出，修正前后le隨諧振頻率變化規(guī)律基本相同，但得到的壓電陶瓷晶片堆尺寸相差較大，這是由于在壓電陶瓷和銅片構(gòu)成的串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，縱波聲速相比純陶瓷有明顯降低。分別將兩條曲線擬合為如下方程:

其中，leb表示未修正前計(jì)算出的壓電晶堆尺寸，lea表示修正后計(jì)算出的壓電晶堆尺寸，單位均為mm。x為晶堆預(yù)期的諧振頻率，單位為kHz。

為驗(yàn)證以上頻率方程，本文選取75 kHz為換能器的目標(biāo)設(shè)計(jì)頻率，選擇8片1 mm厚的壓電陶瓷片與8片0.2mm厚的黃銅片組成壓電陶瓷疊堆，其總厚度為9.6 mm，實(shí)驗(yàn)制備出兩個(gè)樣品，用阻抗分析儀測試其空氣中諧振頻率均為75.6 kHz。將75.6 kHz分別帶入(14)式的兩個(gè)方程，可以得出修正前后壓電晶堆的理論長度，修正前計(jì)算得到的厚度應(yīng)為9.8mm，與壓電陶瓷疊堆厚度相比誤差為2.09%，修正后計(jì)算得到的厚度為9.66 mm，與壓電陶瓷疊堆厚度相比誤差僅為0.64%，可見上述理論推導(dǎo)以及修正較為合理，可以用來指導(dǎo)換能器的制備。

6 結(jié)論

本文對(duì)發(fā)射端疊加變幅桿式復(fù)合棒發(fā)射換能器進(jìn)行了理論研究。推導(dǎo)了等效電路，并得出頻率方程。同時(shí)考慮到黃銅電極片對(duì)振子密度以及等效聲速等參數(shù)的影響，提出頻率方程的理論修正。分析了換能器中壓電振子尺寸隨諧振頻率變化的關(guān)系。研究表明，應(yīng)用經(jīng)過理論修正的頻率方程可以得到誤差為0.64%的計(jì)算結(jié)果，比未修改的誤差有大幅下降，可以更好的用來指導(dǎo)實(shí)際換能器的實(shí)際制備。

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