多體系統(tǒng)動力學(xué)研究進(jìn)展

戎 保，芮筱亭，王國平，楊富鋒

(1.南京理工大學(xué) 發(fā)射動力學(xué)研究所，南京 210094;2.南昌陸軍學(xué)院，南昌 330103)

多體系統(tǒng)是以一定方式相聯(lián)接的多個物體(剛體、彈性體/柔體、質(zhì)點(diǎn)等)組成的系統(tǒng)。在兵器、機(jī)器人、航空、航天、機(jī)械等國防和國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，諸如發(fā)射系統(tǒng)、飛行器、機(jī)器人、車輛、民用機(jī)械等大量機(jī)械系統(tǒng)均可歸結(jié)為多體系統(tǒng)。隨著國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)對機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)品動態(tài)性能要求的提高，需要對大型復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)特性進(jìn)行準(zhǔn)確而快速地分析和預(yù)測。在這樣的工程背景下，出現(xiàn)了多體系統(tǒng)動力學(xué)這一新的學(xué)科分支。

近年來，國內(nèi)外諸多學(xué)者對多體系統(tǒng)建模、設(shè)計、控制、求解策略及其實驗等方面進(jìn)行了深入地研究，基于這一課題發(fā)表的文獻(xiàn)層出不窮［1－5]。自1977年國際理論與應(yīng)用力學(xué)聯(lián)合會在德國慕尼黑發(fā)起第一次多體動力學(xué)國際研討會［6]以來，關(guān)于多體系統(tǒng)動力學(xué)及其應(yīng)用方面的國際會議也如雨后春筍般不斷涌現(xiàn)［7－9]?，F(xiàn)今多體系統(tǒng)動力學(xué)已成為現(xiàn)代力學(xué)的重要發(fā)展方向，各種新興的研究方法層出不窮，出現(xiàn)了兩個著名的專業(yè)學(xué)術(shù)國際期刊:Springer出版社的《Multibody System Dynamics》和英國機(jī)械工程協(xié)會的《Journal of Multi-body Dynamics》。

本文對近年來國內(nèi)外多體系統(tǒng)動力學(xué)建模方法、求解策略、控制設(shè)計、軟件開發(fā)及實驗研究等方面的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了較為全面地概括和總結(jié)，并簡要展望了多體系統(tǒng)動力學(xué)的發(fā)展趨勢。

1 多體系統(tǒng)動力學(xué)建模

多體系統(tǒng)動力學(xué)的核心問題是建模和求解問題，其系統(tǒng)研究始于20世紀(jì)60年代，早期研究對象是多剛體系統(tǒng)。Wittenburg［10]將圖論方法引入多體系統(tǒng)動力學(xué)，出版了第一本多體系統(tǒng)動力學(xué)專著，奠定了多剛體系統(tǒng)動力學(xué) Lagrange方法的基礎(chǔ)。Kane［11]在對各種動力學(xué)原理進(jìn)行分析比較的基礎(chǔ)上，提出了兼有矢量力學(xué)和分析力學(xué)特點(diǎn)的Kane方法，并討論了該方法在航天器動力學(xué)上的應(yīng)用。Schiehlen［12]出版了第一本統(tǒng)一的多體系統(tǒng)動力學(xué)手冊，有限元系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)可視為統(tǒng)一的等價模型。Nikravesh［13]出版了多體系統(tǒng)計算機(jī)輔助分析的第一本專著。Roberson等［14]討論了多體系統(tǒng)的起源、剛體建模、線性化方程以及計算機(jī)模擬技術(shù)等。Haug［15]提出了多剛體系統(tǒng)建模的笛卡爾方法。賈書惠、劉延柱、洪嘉振等［16，17]各自出版了經(jīng)典多體系統(tǒng)動力學(xué)著作，詳細(xì)討論了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的建模和計算問題。Huston和劉又午［18，19]在 Kane方法基礎(chǔ)上，采用低序體陣列描述系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，用Euler參數(shù)描述體間的相對方位，通過矢量求導(dǎo)與矩陣乘法運(yùn)算的變換，形成了富有特色的面向計算機(jī)的Kane-Huston 方法。此后，袁士杰、陳樂生等［20，21]分別論述了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的相關(guān)研究成果。Shabana［22]詳細(xì)闡述了多剛體系統(tǒng)計算動力學(xué)及其數(shù)值求解。De Jalón和 Bayo［23]提出了多剛體系統(tǒng)建模的自然坐標(biāo)方法(又稱完全笛卡爾坐標(biāo)方法)，并給出了一種滿足實時仿真需要的高效求解策略。Stejskal等［24]從空間機(jī)構(gòu)的CAD設(shè)計入手，給出了高、低副運(yùn)動學(xué)約束的描述，并討論了動力學(xué)分析及數(shù)值計算方面的問題。姚文莉、陳濱等［25]通過采用分段分析的方法得到了含摩擦的平面多剛體系統(tǒng)沖擊問題的理論解。陳立平等［26]基于ADAMS軟件闡述了多剛體系統(tǒng)動力學(xué)理論的工程應(yīng)用。針對通常多體系統(tǒng)動力學(xué)方法計算速度隨系統(tǒng)自由度增大而迅速降低從而難以滿足復(fù)雜工程設(shè)計快速計算要求的情況，芮筱亭等［27，28]結(jié)合傳遞矩陣法計算效率高和逐步時間積分法應(yīng)用范圍廣的優(yōu)點(diǎn)，提出并逐步完善了多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法，實現(xiàn)了對一般多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的高效快速計算。Wittenburg［29]全面系統(tǒng)地介紹了多體系統(tǒng)建模的圖論方法，并討論了多剛體系統(tǒng)接觸碰撞動力學(xué)問題。Featherstone［30]論述了開環(huán)、閉環(huán)多剛體系統(tǒng)的正、逆向動力學(xué)及接觸碰撞問題的算法。

隨著國民經(jīng)濟(jì)和國防技術(shù)的發(fā)展，對很多工程問題，多剛體系統(tǒng)模型與實際相差甚遠(yuǎn)，滿足不了工程精度要求，必須同時考慮部件大范圍運(yùn)動和構(gòu)件本身變形的相互耦合作用，對柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)或多剛?cè)狍w系統(tǒng)動力學(xué)的研究已越發(fā)凸顯出其重要意義［31]。柔性多體系統(tǒng)是以各種鉸接方式相聯(lián)接的經(jīng)歷大運(yùn)動的可變形物體和剛體所組成的系統(tǒng)，其是多剛體系統(tǒng)物理模型的精細(xì)化及自然的延伸和發(fā)展。

目前，柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)通常采用Reyleigh-Ritz法、有限段法、有限元法、模態(tài)分析法等描述柔體變形，進(jìn)而基于浮動標(biāo)架法、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)法、絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法等方法建立柔性多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程［1]。浮動標(biāo)架方法是在柔性構(gòu)件上直接建立一個動參照系，將柔體的運(yùn)動分解為隨動系的牽連運(yùn)動(大范圍的剛性平動和轉(zhuǎn)動)和相對于動系的相對運(yùn)動(彈性變形)的疊加。浮動標(biāo)架法適合于小變形物體所組成的系統(tǒng)。此類系統(tǒng)中柔體變形可通常按模態(tài)展開等線性方法處理，可很方便地把模態(tài)分析和實驗?zāi)B(tài)識別等技巧推廣到柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)［1]。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)方法針對柔性構(gòu)件上每個有限單元定義相應(yīng)的動參考系。絕對坐標(biāo)法將柔體的大運(yùn)動及變形都用相對慣性坐標(biāo)系的單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)，進(jìn)而推出柔體的應(yīng)變－位移關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展了能處理柔性構(gòu)件大變形的非線性有限元模型。旋轉(zhuǎn)標(biāo)架方法及絕對坐標(biāo)法與浮動標(biāo)架方法相比較，具有慣性張量的平動部分是線性或常量，運(yùn)動非線性效應(yīng)如大變形、離心剛度等自動具有，并且精度隨網(wǎng)格的細(xì)化而提高等優(yōu)點(diǎn)［1，32]。但模態(tài)綜合技術(shù)不易在旋轉(zhuǎn)標(biāo)架方法及絕對坐標(biāo)法中使用［1]?？傮w而言，柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立遠(yuǎn)比多剛體系統(tǒng)動力學(xué)復(fù)雜，其計算規(guī)模和計算工作量也比多剛體系統(tǒng)動力學(xué)大得多，其理論也遠(yuǎn)不如多剛體系統(tǒng)那樣完善。從本質(zhì)上講，柔體大范圍運(yùn)動與其變形運(yùn)動之間的相互耦合，給柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模與分析計算帶來了許多困難［1－4，31]。

Shabana［32]、Huston［33]、Bremer［34]、黃文虎［35]、陸佑方［36]、洪嘉振［37]以及覃正等［38]在各自專著中詳細(xì)討論了柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模理論和數(shù)值算法，上述論著已成為本領(lǐng)域的經(jīng)典教材。Geradin［39]闡述了有限元方法在柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)問題中的應(yīng)用。Eberhard［40]結(jié)合了有限元和多剛體方法的優(yōu)點(diǎn)，建立了多剛體/有限元混合算法，實現(xiàn)了高計算效率和高精度地解決柔性多體系統(tǒng)接觸問題。Ambrósio［41－43]分別應(yīng)用柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)方法對車輛動力學(xué)和含復(fù)合材料的多體系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究。潘振寬等［44]研究了多體系統(tǒng)動力學(xué)動態(tài)最優(yōu)化設(shè)計與靈敏度分析。Wasfy［45]、Sandu［46]分別研究了參數(shù)不確定性柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)問題。Wittbrodt［47]描述了剛體有限元方法，并基于相似變換和鉸坐標(biāo)自動生成剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學(xué)方程解決柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)問題。Eberhard等［48]結(jié)合Krylov子空間方法和Gramian矩陣降階方法提出了柔性多體系統(tǒng)模型縮聚的兩步法，大幅度提高了大尺度系統(tǒng)的計算效率。齊朝暉等［49，50]提出了含非理想約束柔性多體系統(tǒng)遞推建模方法，并對多體系統(tǒng)冗余約束和鉸內(nèi)摩擦接觸給予了相應(yīng)研究。Shabana等［32]將絕對坐標(biāo)法應(yīng)用于大變形的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)研究，在此基礎(chǔ)上 YOO、李彬、劉錦陽、田強(qiáng)、陳立平、Laith［51－55]等將其推廣到包含梁、板、殼等大變形柔性構(gòu)件的多體系統(tǒng)。劉錦陽［56]研究了離心力和溫度變化引起的附加彎曲變形對復(fù)合材料柔性多體系統(tǒng)振動特性的影響。王中雙等［57]研究了鍵合圖方法在機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)建模中的應(yīng)用，提高了多體系統(tǒng)動力學(xué)分析的效率和可靠性。吳洪濤等［58]基于空間算子代數(shù)理論對多體系統(tǒng)正、反向動力學(xué)進(jìn)行了設(shè)計與實現(xiàn)。蔣建平、劉又午、王樹新等［59－61]分別應(yīng)柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)相關(guān)理論研究了航天器動力學(xué)問題。彭慧蓮、王士敏、王琪等［62]用笛卡爾坐標(biāo)陣描述系統(tǒng)的位形，根據(jù)局部方法的遞推關(guān)系建立系統(tǒng)的約束方程，進(jìn)而提出了一種建立具有固定雙面約束多點(diǎn)摩擦的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的方法。白爭鋒等［63]針對工程中常見的柔性多體系統(tǒng)碰撞過程，詳細(xì)分析了系統(tǒng)接觸碰撞條件，并基于非線性等效彈簧阻尼碰撞模型和庫侖摩擦模型建立了含接觸碰撞的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)模型。芮筱亭、戎保等［64－68]應(yīng)用模態(tài)方法或有限元法描述柔體變形，建立了大運(yùn)動柔體元件的動力學(xué)方程，推導(dǎo)了柔體元件全新的傳遞方程和傳遞矩陣，將多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法推廣應(yīng)用于一般柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)的高效快速計算。謝向榮等［69]將柔性多體動力學(xué)理論應(yīng)用于非線性隔振系統(tǒng)建模，推導(dǎo)出了對艦船機(jī)械設(shè)備隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型。

風(fēng)格迥異的現(xiàn)行多體系統(tǒng)動力學(xué)建模方法極大地推動了現(xiàn)代工程技術(shù)的發(fā)展，為解決各種復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)問題提供了多種有效的計算手段。一般來說，已有多體系統(tǒng)動力學(xué)建模方法主要基于以下幾類基本原理和方法［31，36，70－72]:Newton-Euler 向量力學(xué)方法、d'Alembert原理(或Jourdain原理、Lagrange方法)出發(fā)導(dǎo)出的分析力學(xué)方法、基于Gauss原理等極小值性質(zhì)的極值原理以及傳遞矩陣方法等。向量力學(xué)方法建模過程中需對每個物體作隔離體分析，存在約束力，動力學(xué)方程推導(dǎo)過程簡單，所得方程較短且比較簡潔，但方程數(shù)目較多。根據(jù)采用不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析方法消除約束力的方式不同，向量力學(xué)方法形成了以不同學(xué)者命名的不同方法，如:基于圖論的Roberson-Wittenburg方法、Margulies-Hooker方法、信息流圖法以及矢量網(wǎng)絡(luò)法等［5]。分析力學(xué)方法將系統(tǒng)作為整體考慮，在建模過程中不出現(xiàn)約束反力。動力學(xué)方程推導(dǎo)規(guī)范，方程數(shù)目少，但推導(dǎo)過程繁冗?；跇O值原理的動力學(xué)建模方法不必建立運(yùn)動微分方程，可直接應(yīng)用優(yōu)化計算方法進(jìn)行動力學(xué)分析?；趥鬟f矩陣法的多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法［28，31，64，65]把復(fù)雜的多體系統(tǒng)“分割”成若干個元件，將各元件的力學(xué)特性用矩陣表示，進(jìn)而“拼裝”各元件的傳遞矩陣獲得系統(tǒng)總傳遞方程和總傳遞矩陣。該方法無需系統(tǒng)的總體動力學(xué)方程，免去了復(fù)雜繁瑣的多體系統(tǒng)總體動力學(xué)方程的建立過程，涉及的系統(tǒng)矩陣階次不取決于系統(tǒng)的自由度數(shù)，程式化程度高，大幅度提高了復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的計算效率。時至今日，柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)已成為當(dāng)今計算多體系統(tǒng)動力學(xué)領(lǐng)域的主要研究方向，并在一系列重大工程問題中得以應(yīng)用［59－61，69，73－78]。

2 多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值求解技術(shù)

基于不同建模方法得到的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程形式不盡相同，多數(shù)情況下可表示為微分/代數(shù)方程組、非線性微分方程組［5]或關(guān)于系統(tǒng)邊界狀態(tài)矢量的總傳遞方程［28，31]。不同形式的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程盡管在理論上具有等價性，但其數(shù)值性態(tài)的優(yōu)劣不盡相同。國內(nèi)外針對多體系統(tǒng)不同的建模方法，產(chǎn)生了多種多樣的數(shù)值求解手段。王琪［79]、Wasfy［1]、Schiehlen［2]、王國平［5]分別對多體系統(tǒng)的各種計算策略進(jìn)行了詳細(xì)地概括與總結(jié)。

2.1 多體系統(tǒng)動力學(xué)微分方程求解

多體系統(tǒng)動力學(xué)微分方程組可表示為:

多體系統(tǒng)動力學(xué)二階微分方程的數(shù)值解法通常有兩條途徑:直接積分法和降為一階微分方程組后再作數(shù)值求解。由于柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)方程是含有剛性運(yùn)動慢變分量和變形運(yùn)動快變分量的強(qiáng)非線性剛彈耦合的剛性方程。常用的顯式積分法大都是條件穩(wěn)定的，不適于求解此類方程;目前剛性常微分方程初值問題數(shù)值解法大多數(shù)是隱式算法，常見的時間積分方法有Wilson-θ法、Houbot法、直接積分法、Park剛性穩(wěn)定法、Newmark法、Runge-Kuta法、Adams-Moulton隱式多步法、Taylor展開式以及 Gear法等［1－5]。隱式積分法雖存在絕對穩(wěn)定的積分格式，但也潛在著計算危險性。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者分別從不同角度提出了一系列剛性常微分方程的高精度數(shù)值解法。鐘萬勰教授等提出了一種全新的可以用于求解剛性方程的絕對穩(wěn)定顯式精細(xì)時程積分法［80]?；谠摲椒?，呂和祥等［81，82]提出了逐步積分法，借助線性動力學(xué)方程齊次解的解析表達(dá)式，構(gòu)造了適用于強(qiáng)非線性、非保守動力學(xué)系統(tǒng)的積分方程。劉鐵林等［83]提出了一種基于最小轉(zhuǎn)換能原理的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)無條件穩(wěn)定逐步積分算法。蒲軍平［84]采用一種高階精度的時間步積分求積方法，對雙質(zhì)點(diǎn)系及梁在強(qiáng)迫力作用下的振動特性進(jìn)行了數(shù)值分析。Oghbaei［85]采用時間有限段隱式積分法對多體系統(tǒng)動力學(xué)方程數(shù)值計算進(jìn)行了分析。Rill［86]提出了修正的隱式Euler算法以求解車輛動力學(xué)問題。

2.2 多體系統(tǒng)動力學(xué)微分/代數(shù)方程求解

多體系統(tǒng)動力學(xué)微分－代數(shù)方程組可表示為:

微分/代數(shù)方程的數(shù)值求解還處于不斷探索和發(fā)展階段。近20年來，國內(nèi)外對微分/代數(shù)方程的數(shù)值解法進(jìn)行了大量研究。根據(jù)對位置坐標(biāo)陣和拉格朗日乘子處理技術(shù)的不同，其研究方法大體主要有基于增廣法的直接積分法、Baumgarte違約修正法、Bayo罰函數(shù)法、超定微分/代數(shù)方程組法和基于縮并法的廣義坐標(biāo)分塊法、QR分解法、SVD分解法、零空間法、局部參數(shù)化法等［1－5，26，36]。增廣法通過選擇修正系數(shù)將微分/代數(shù)方程化為微分方程來求解。修正系數(shù)的選擇沒有通用方法，人為憑經(jīng)驗選取修正系數(shù)是造成該類方法數(shù)值計算穩(wěn)定性問題的主要原因?？s并法通過縮并非獨(dú)立的廣義坐標(biāo)使方程化為純微分方程來求解，它的數(shù)值穩(wěn)定性較好，但縮并過程將大大影響計算效率。目前，在柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)計算中，兩種方法都有應(yīng)用，哪種方法更好還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識。

潘振寬等［87]提出了位移約束方程、速度約束方程同時自動修正方法。洪嘉振等［88]提出了受約束多體系統(tǒng)廣義坐標(biāo)主動校正方法。王琪［89，90]分別提出了樹形多體系統(tǒng)和帶約束多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的隱式算法。原亮明、劉金朝等［91]將時間按照Newmark差分格式進(jìn)行離散化，位移約束方程按照泰勒級數(shù)展開，給出了求解微分/代數(shù)方程的無須進(jìn)行違約修正的拉格朗日乘子方法。吳國榮等［92]針對剛性微分/代數(shù)方程，基于控制方程及約束方程的泰勒展開推導(dǎo)出了對位移及拉格朗日乘子進(jìn)行修正的 Newton-Raphson迭代公式。Betsch、Uhlar［93]提出了動能守恒積分策略，提高了數(shù)值積分的穩(wěn)定性。姚廷強(qiáng)、遲毅林等［94]結(jié)合隱式數(shù)值積分解耦法，提出了柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)的新型廣義－α數(shù)值分析方法，減小了系統(tǒng)雅可比矩陣函數(shù)的估計數(shù)目和 Newton-Raphson迭代次數(shù)。吳洪濤等［95]提出了求解大型微分/代數(shù)方程的線性多步積分算法，提高了系統(tǒng)的求解效率。時至今日，微分/代數(shù)方程的求解仍是多體系統(tǒng)動力學(xué)的一個難點(diǎn)，目前仍無非常通用和程式化的方法，其發(fā)展趨勢是校正方法應(yīng)自動進(jìn)行，不需人工干預(yù)，且違約校正不能以破壞系統(tǒng)動力學(xué)方程為代價［5]。

2.3 多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法求解

隨著高速輕質(zhì)機(jī)器人、航天器、車輛等現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)構(gòu)型復(fù)雜性的提高，動力學(xué)方程(1)－(3)的階次不斷增加，如何提高多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值計算的效率是多體系統(tǒng)動力學(xué)領(lǐng)域所面臨的重要研究課題之一［1－5]。針對上述問題，芮筱亭等提出了基于傳遞矩陣法的多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法［28，31，64，65]。該方法采用逐步時間積分法和線性化方法線性化元件的動力學(xué)方程，獲得系統(tǒng)中任一元件j的傳遞方程和傳遞矩陣:

拼裝各元件的傳遞方程可得關(guān)于系統(tǒng)邊界狀態(tài)矢量的總傳遞方程為:

式中，zI，j和 zO，j分別為元件 j輸入、輸出端的狀態(tài)矢量，Uj為元件j的傳遞矩陣，Uall和zall分別為系統(tǒng)總傳遞矩陣和系統(tǒng)邊界狀態(tài)矢量。

應(yīng)用邊界條件，求解系統(tǒng)總傳遞方程(5)，可得ti時刻邊界狀態(tài)矢量zall(ti);應(yīng)用元件傳遞方程(4)，求ti時刻系統(tǒng)各聯(lián)接點(diǎn)的狀態(tài)矢量，得到系統(tǒng)在ti時刻的運(yùn)動;令i=i+1，重復(fù)上述過程，直至計算到所要求的時刻T，便得到系統(tǒng)運(yùn)動的時間歷程。

應(yīng)用多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法所得的系統(tǒng)總傳遞矩陣Uall的階次與系統(tǒng)的自由度無關(guān)，因而可大幅度提高系統(tǒng)動力學(xué)的計算效率。此外，系統(tǒng)總傳遞方程為代數(shù)方程，簡化了數(shù)值求解算法。

2.4 多體系統(tǒng)動力學(xué)方程求解策略改進(jìn)

為提高多體系統(tǒng)建模和計算的速度，提高動力學(xué)方程的數(shù)值計算精度和穩(wěn)定性，近年來出現(xiàn)了一系列改進(jìn)的計算策略，如:顯式－隱式混合求解、遞歸求解、多時間步長方法、并行計算策略、面向?qū)ο蟛呗?、計算機(jī)化符號推導(dǎo)、自適應(yīng)近似策略、辛算法等［1－5]。

Martin Arnold［96]、廖建成［97，98]將多時間步長方法應(yīng)用于復(fù)雜多體系統(tǒng)動力學(xué)分析。王波興等［99]研究了多體動力學(xué)子系統(tǒng)求解算法，提高了復(fù)雜多體系統(tǒng)動力學(xué)求解效率。洪嘉振等［37]提出了多體系統(tǒng)動力學(xué)的單向遞推組集建模方法，提高了多體系統(tǒng)動力學(xué)的計算效率、精度和穩(wěn)定性。Lim等［100]針對柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)方程，提出對柔體的彈性變形分量采用顯式算法、剛體運(yùn)動分量采用隱式算法、剛?cè)狁詈辖缑嫣幍墓?jié)點(diǎn)采用顯式－隱式混合算法的數(shù)值處理模式。Shi［101]實現(xiàn)了空間Euler-Bernoulli梁的符號建模計算。戈新生等［102]提出了基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分/代數(shù)方程符號線性化方法。Perkins等［103]采用自適應(yīng)技術(shù)對軌道車輛的振動進(jìn)行了研究。王橋醫(yī)等［104]把多體系統(tǒng)動力學(xué)方程中描述剛體運(yùn)動的慢變自由度和彈性體變形的快變自由度分別處理，將吉爾法和顯式脈沖法相結(jié)合進(jìn)行數(shù)值求解，降低了時耗和所需計算機(jī)存貯。吳永等［105]建立了約束多體系統(tǒng)動力學(xué)微分/代數(shù)形式的約束正則方程，利用Runge-Kutta法合成辛算法對約束多體系統(tǒng)的約束哈密頓形式的方程進(jìn)行了高穩(wěn)定性仿真。吳永［106]、黃永安［107]分別概括了辛算法在多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值計算中的應(yīng)用。洪嘉振等［108，109]闡述了多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值求解和動畫計算與輸出的并行處理算法。上述計算方法的出現(xiàn)為多體系統(tǒng)動力學(xué)高效仿真提供了有力的工具。

3 多體系統(tǒng)控制設(shè)計

隨著國民經(jīng)濟(jì)和國防技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械系統(tǒng)構(gòu)型越來越復(fù)雜，表現(xiàn)為這些系統(tǒng)在構(gòu)型上向多回路和帶控制系統(tǒng)方向發(fā)展，系統(tǒng)的研制通常需要解決很多復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)與控制等問題，對受控多體系統(tǒng)動力學(xué)性能的快速準(zhǔn)確評估和控制設(shè)計已越發(fā)凸顯出其重要意義。例如，數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人、航天器、導(dǎo)彈及其發(fā)射系統(tǒng)等眾多國民經(jīng)濟(jì)和國防領(lǐng)域中的重大工程產(chǎn)品都是帶有控制系統(tǒng)的機(jī)械系統(tǒng)。Wasfy［1]和Schiehlen［2]指出現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)結(jié)合越來越緊密，機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)與控制由于在精密機(jī)械、車輛和人造空間結(jié)構(gòu)等工程技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用而成為目前非?；钴S的研究領(lǐng)域。近年來，有關(guān)受控機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)建模與控制設(shè)計的文獻(xiàn)層出不窮［110－116]。對復(fù)雜受控機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)的性能分析、設(shè)計與優(yōu)化已成為新的挑戰(zhàn)性研究課題。

一般而言，現(xiàn)代復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品所帶有的控制系統(tǒng)是人們?yōu)橥瓿梢欢ǖ目刂迫蝿?wù)按照預(yù)定目的、要求和性能指標(biāo)而設(shè)計制造的。通常，控制系統(tǒng)由控制器、受控對象、反饋測量裝置及比較器等部分組成。為了設(shè)計性能優(yōu)良的控制系統(tǒng)，首先必須充分了解受控對象、測量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)和構(gòu)成控制系統(tǒng)的其他元器件的特性及其運(yùn)動規(guī)律。對于一個實際受控多體系統(tǒng)，不論是進(jìn)行分析還是設(shè)計，首要任務(wù)是建立受控對象的物理模型和數(shù)學(xué)模型。描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，不僅應(yīng)該能從本質(zhì)上完全反映實際系統(tǒng)的特性，而且還應(yīng)能從根本上確定解決系統(tǒng)工程問題的途徑和方法。當(dāng)前，受控機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立絕大多數(shù)基于第1節(jié)所述多體系統(tǒng)動力學(xué)方法建立系統(tǒng)動力學(xué)方程，進(jìn)而按照現(xiàn)代控制理論設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂撇呗浴?/p>

近年來，以航天器或機(jī)械臂等受控多體系統(tǒng)為背景，基于現(xiàn)代控制理論提出了各種控制方案。常用的控制方案包括動態(tài)規(guī)劃理論、極大值原理、最優(yōu)控制理論、魯棒控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制、智能控制等。陸佑方［36]討論了計算力矩方法、變結(jié)構(gòu)控制理論在柔性臂系統(tǒng)軌跡控制中的應(yīng)用。趙宏偉［117]對宏/微雙重驅(qū)動機(jī)器人柔性手臂實驗系統(tǒng)及控制策略進(jìn)行了相應(yīng)研究。Gangbing［118]提出將正位置反饋控制運(yùn)用到柔性航天器振動控制中，并通過單軸回轉(zhuǎn)裝置實驗驗證了其良好效果。Wasfy［1]詳細(xì)綜述了多體系統(tǒng)控制設(shè)計相關(guān)文獻(xiàn)，分別對控制系統(tǒng)作動器/傳感器的選擇和控制律的設(shè)計方法給出了具體論述，指出了柔性多體系統(tǒng)控制設(shè)計時存在的主要困難。Ebrahimi［119]將柔性航天器建模為線性欠阻尼彈性系統(tǒng)，將bang-bang控制問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，降低了柔性附件的耦合誘發(fā)振動。Sun［112]基于線速度反饋策略實現(xiàn)了對單臂機(jī)械操縱器的振動主動控制。魏燕定等［120]構(gòu)造了壓電模態(tài)觀測器，實現(xiàn)了對壓電懸臂梁的振動控制。蔡國平等［121，122]在推導(dǎo)Hub-beam構(gòu)型柔性多體系統(tǒng)一次近似耦合非線性模型基礎(chǔ)上，針對近似線性化后的狀態(tài)空間模型設(shè)計了最優(yōu)控制律，在考慮時滯影響的基礎(chǔ)上設(shè)計了時滯最優(yōu)跟蹤控制器。胡慶雷［123]針對擾性航天器動力學(xué)模型存在不確定性因素以及外部擾動作用的情況，將變結(jié)構(gòu)輸出反饋控制應(yīng)用于撓性航天器的大角度機(jī)動控制。Vasques［110]采用最優(yōu)反饋控制研究了智能壓電梁的振動主動控制問題。Sarraf［124]設(shè)計了自組織模糊神經(jīng)結(jié)構(gòu)在線學(xué)習(xí)控制器，實現(xiàn)了單機(jī)械臂末端跟蹤控制。陳龍［125]提出了不確定性受控系統(tǒng)保成本魯棒PID控制策略［125]。張國慶［126]對柔性多體系統(tǒng)控制設(shè)計進(jìn)行了深入闡述。Kim［114]、李洋［127]基于自適應(yīng)控制策略，分別實現(xiàn)了柔性機(jī)械臂系統(tǒng)和撓性航天器的自適應(yīng)控制。芮筱亭等［128－130]應(yīng)用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法實現(xiàn)了對受控多體系統(tǒng)動力學(xué)問題的快速建模與分析。目前，多體系統(tǒng)控制設(shè)計，特別是柔性多體系統(tǒng)控制設(shè)計，已成為國內(nèi)外本領(lǐng)域前沿性研究課題之一。

4 多體系統(tǒng)動力學(xué)仿真軟件開發(fā)

多體系統(tǒng)動力學(xué)作為研究復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)科，最終目的是編制通用仿真軟件為工程技術(shù)領(lǐng)域提供強(qiáng)有力的計算機(jī)輔助分析工具。20世紀(jì)80年代以來，國外開發(fā)出了許多著名的多體系統(tǒng)商業(yè)軟件包，比較知名的有 ADAMS、DADS、MADYMO、SIMPACK、DYMAC、PLEXUS、SPACAR 等。Schiehlen［12]、陸佑方［36]在專著中分別對全球大型通用仿真軟件的研制和開發(fā)情況進(jìn)行了詳細(xì)介紹，其中的許多軟件已具有對柔性多體系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)仿真的功能。隨著多體系統(tǒng)理論和仿真算法的不斷發(fā)展，上述軟件的分析功能在不斷增強(qiáng)，版本也在不斷升級，大量新興多體系統(tǒng)仿真軟件也不斷出現(xiàn)，如:Choi和Bae等開發(fā)了基于遞歸算法的新一代多體系統(tǒng)動力學(xué)仿真軟件RecurDyn(Recursive Dynamic)，其適合于求解大規(guī)模及復(fù)雜接觸的多體系統(tǒng)動力學(xué)問題。

國內(nèi)的一些大學(xué)和研究所也在多體系統(tǒng)動力學(xué)軟件開發(fā)方面作了許多有益的嘗試和研究。清華大學(xué)針對智能機(jī)器人研究，開發(fā)了THROBSM大型機(jī)器人仿真系統(tǒng)，可分別對單、雙機(jī)械手運(yùn)動學(xué)、軌跡規(guī)劃、動力學(xué)及各種控制方法進(jìn)行仿真。洪嘉振等根據(jù)多體系統(tǒng)動力學(xué)單向遞推組集建模理論開發(fā)了柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)通用計算機(jī)輔助分析軟件 CADAMB［37，108，109]。芮筱亭等基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研制開發(fā)多體系統(tǒng)動力學(xué)快速可視化仿真軟件，用以實現(xiàn)對時變非線性一般受控機(jī)械系統(tǒng)的快速建模與仿真［131]。王建明等基于凱恩－休斯頓方法，開發(fā)了能夠?qū)θ我馔負(fù)浣Y(jié)構(gòu)的多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行正、逆問題分析的多體系統(tǒng)分析軟件MBSA［132]。吳洪濤等基于空間算子代數(shù)理論，主持編制了機(jī)械系統(tǒng)計算動力學(xué)程序MBSSOA［133]。吉林工業(yè)大學(xué)以R－W方法為理論依據(jù)，開發(fā)了汽車碰撞計算機(jī)仿真軟件SVC3D。王樹新、劉又午等通過Huston提出的低序體陣列來描述和建立多體系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，開發(fā)了多體系統(tǒng)動力學(xué)可視化仿真軟件MDAS［134]?？傮w而言，我國的多體系統(tǒng)動力學(xué)可視化仿真系統(tǒng)開發(fā)還處于起步階段，難以完成國外軟件的多種功能，在軟件產(chǎn)業(yè)化方面與國外相比還存在很大的差距。

5 多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究

多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究始于20世紀(jì)70年代，其對檢驗多體系統(tǒng)理論模型的正確性、評價控制系統(tǒng)設(shè)計的合理性等具有重要作用。Wasfy［1]、洪嘉振［135]分別對多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究進(jìn)行了詳細(xì)地概括與總結(jié)。一般而言，多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究主要針對如下三類問題［135]:① 為檢驗?zāi)撤N理論方法的正確性和有效性而進(jìn)行的理論模型的驗證實驗;②用于研究諸如系統(tǒng)模態(tài)頻率、振型等動力學(xué)特性的多體系統(tǒng)動力學(xué)特性實驗;③多體系統(tǒng)動力學(xué)控制與碰撞實驗等。

楊輝、洪嘉振等［136]針對中心剛體、柔性梁和末端質(zhì)量組成的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，利用單軸氣浮臺動力學(xué)實驗平臺，檢驗了一次近似剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型的可行性。王樹新等［137]以工業(yè)機(jī)器人為例驗證了基于Kane方程的受控多體系統(tǒng)動力學(xué)建模的可行性。芮筱亭等［31]針對復(fù)雜武器系統(tǒng)建立了基于多體系統(tǒng)離散時間傳遞矩陣法的多體系統(tǒng)發(fā)射動力學(xué)理論，研制了彈丸起始擾動光學(xué)杠桿測試裝置和復(fù)雜武器系統(tǒng)模態(tài)實驗及其參數(shù)識別方法，驗證了多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的正確性和可行性。饒柱石等［138]對某4000HP燃?xì)廨啓C(jī)組合式特種轉(zhuǎn)子進(jìn)行了振動模態(tài)的實驗研究，探討了傳遞矩陣法在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動計算中的應(yīng)用。楊輝、洪嘉振等［139]從理論和實驗兩方面研究了由中心剛體和柔性梁組成的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的模態(tài)特性。Nakanishi等［140]對剛?cè)嵊熊壾囕v動力學(xué)進(jìn)行了實驗研究。Kwak等［141]介紹了自行研制的用于柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模理論和控制方法對比的試驗平臺PACE。閻紹澤、劉才山等［142]利用柔性機(jī)械臂主動控制實驗裝置以及相應(yīng)的動力學(xué)參數(shù)測試系統(tǒng)，對柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)－控制耦合特性進(jìn)行了研究。魏井君、邱志成［143]建立了壓電智能撓性懸臂梁的實驗平臺，采用修正Fuzzy-PI雙模控制方法對懸臂梁振動進(jìn)行了實驗研究。陳龍祥、蔡國平［144]研究了交流伺服電機(jī)和壓電激勵器存在不同時滯量時，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動柔性梁的時滯反饋控制的可行性和有效性。劉錦陽等［145]研究了柔性多體系統(tǒng)多點(diǎn)接觸碰撞建模理論和多點(diǎn)接觸碰撞實驗方法，實驗驗證了非線性彈簧－阻尼碰撞力模型在柔性多體系統(tǒng)多點(diǎn)接觸中的適用性。

總體而言，與眾多形形色色的多體系統(tǒng)動力學(xué)建模理論相比，多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究還是一個較為薄弱的環(huán)節(jié)，尚不完善［135]。研制新的實驗測試設(shè)備、建立適宜于不同多體系統(tǒng)動力學(xué)問題的實驗測試方法、進(jìn)一步驗證現(xiàn)有多體系統(tǒng)動力學(xué)理論、探索未知的多體系統(tǒng)動力學(xué)現(xiàn)象等仍將是多體系統(tǒng)實驗研究需要進(jìn)一步努力的工作。

6 結(jié)論

本文對近年來國內(nèi)外多體系統(tǒng)動力學(xué)建模方法、求解策略、控制設(shè)計、軟件開發(fā)、實驗研究等方面的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了較為全面地概括和總結(jié)。作為當(dāng)今力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，多體系統(tǒng)動力學(xué)是機(jī)械、航空、航天、兵器、機(jī)器人領(lǐng)域中大量機(jī)械系統(tǒng)的動態(tài)性能評估和優(yōu)化設(shè)計的理論工具與技術(shù)基礎(chǔ)，對其全面系統(tǒng)地研究方興未艾，還有大量工作有待開展。下述問題將會成為多體系統(tǒng)動力學(xué)有待考慮的發(fā)展趨勢:

(1)考慮幾何非線性、材料非線性以及含復(fù)合材料的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模與控制設(shè)計問題。隨著高速輕質(zhì)機(jī)器人、航天器、車輛等復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的高性能、高精度設(shè)計要求，大型化、低剛度與柔性化已成為航空航天、車輛、機(jī)器人及精密機(jī)械等領(lǐng)域的重要發(fā)展趨勢。各種新型復(fù)合材料重量輕、強(qiáng)度和剛度大、耐高溫和安全性好，在工程界被廣泛使用。與傳統(tǒng)各項同性材料相比，復(fù)合材料具有明顯的非均勻性和各向異性性質(zhì)［56]。上述原因?qū)е卢F(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)柔性構(gòu)件往往呈現(xiàn)幾何非線性、材料非線性等特點(diǎn)。如何建立合理完備的考慮幾何非線性、材料非線性的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)理論，實現(xiàn)對該類多體系統(tǒng)高效精確的控制設(shè)計已成為現(xiàn)代工程技術(shù)領(lǐng)域值得考慮的難題。

(2)不確定性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模、控制與高效數(shù)值求解問題。在實際的工程問題中由于制造、測量誤差及施工水平和條件限制等因素，導(dǎo)致了諸如系統(tǒng)幾何參數(shù)、材料性能參數(shù)、邊界條件、初始條件以及外載荷等存在著許多不確定因素。傳統(tǒng)的確定性模型將無法反映出系統(tǒng)的隨機(jī)性對其動態(tài)特性和控制性能的影響，甚至在某些情況下會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。如何建立高效、便捷的不確定性多體系統(tǒng)動力學(xué)建模與控制新方法，科學(xué)評估系統(tǒng)不確定性對系統(tǒng)動態(tài)特性和控制性能的影響，已成為實際工程技術(shù)領(lǐng)域不得不面對的問題。

(3)多體系統(tǒng)動力學(xué)與電、熱、磁和流體等其他類型的物理場多場耦合問題。耦合系統(tǒng)是兵器、航空航天、車輛等重大工程領(lǐng)域常見的工程模型。上述系統(tǒng)一般可處理為多體子系統(tǒng)和電、熱、磁、流體等其他子系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)。不同子系統(tǒng)間的交互作用，使得整個耦合系統(tǒng)高度非線性，動力學(xué)行為十分復(fù)雜。另外，由于耦合系統(tǒng)通常具有不同的數(shù)值特性和不同的時間尺度，耦合系統(tǒng)數(shù)值計算的效率、精度和穩(wěn)定性往往受到嚴(yán)峻考驗。隨著對耦合系統(tǒng)的高性能、高精度設(shè)計要求以及實時仿真和控制的需要，對耦合系統(tǒng)高效數(shù)值求解方法的研究，包括:系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立以及提高方程求解的速度、精度和穩(wěn)定性等，已越發(fā)凸顯出其重要意義。

(4)多體系統(tǒng)剛性微分方程或微分/代數(shù)方程數(shù)值求解的穩(wěn)定性和高效率依然是一塊硬骨頭，仍需進(jìn)一步研究。

(5)加強(qiáng)多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究，為理論分析和數(shù)值模擬提供必要的實驗支撐。目前，多體系統(tǒng)動力學(xué)實驗研究還不能滿足人們的要求。如何建立完備合理的多體系統(tǒng)動力學(xué)與控制問題的實驗測試方法與手段，科學(xué)評價多體系統(tǒng)動力學(xué)理論與數(shù)值計算方法，仍將是多體系統(tǒng)動力學(xué)有待考慮的問題。

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