非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式

黃浪揚(yáng)

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式

黃浪揚(yáng)

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

對(duì)非線性“Good”Boussinesq方程的一個(gè)多辛方程組進(jìn)行數(shù)值離散，導(dǎo)出方程的離散多辛守恒律，得到一個(gè)與此數(shù)值離散方法等價(jià)的，新的7點(diǎn)顯式多辛格式.通過孤立波的數(shù)值模擬試驗(yàn)表明，所構(gòu)造格式既能很好地模擬單孤立波運(yùn)動(dòng)的波形，又能很好地模擬雙孤立波的碰撞過程，可有效地模擬原孤立波的時(shí)間演化，具有長時(shí)間的數(shù)值穩(wěn)定性.

非線性“Good”Boussinesq方程；多辛方程組；顯式多辛格式；多辛守恒律；孤立波試驗(yàn)

近年來，多辛數(shù)值方法的研究［1－3］受到了廣泛的重視，它涉及了流體力學(xué)、量子力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等許多研究領(lǐng)域.文［4］構(gòu)造了非線性“Good”Boussinesq方程的一個(gè)隱式的15點(diǎn)多辛Preissmann格式.本文進(jìn)一步提出此方程的一個(gè)新的7點(diǎn)顯式多辛格式.

1 多辛方程組形式

考慮滿足周期邊界條件的非線性“Good”Boussinesq方程utt＝－uxxxx＋uxx＋（G′（u））xx.（1）式（1）中，G（u）：R→R是某個(gè)非線性光滑函數(shù).根據(jù)文［1］引入的多辛積分的概念，引入正則動(dòng)量v＝ux，ut＝px，wx＝p，則式（1）可改寫成多辛方程組的形式，有

對(duì)變分方程組（3）兩邊與d z作外積運(yùn)算，可得重要的多辛守恒律為

式（4）中，Λ為外積算子.求解多辛方程組（2）的數(shù)值方法，可表示為

式（5）中，zi，j＝z（xi，tj）＝z（i·h，j·τ），h和τ分別是空間步長和時(shí)間步長，?i，jt，?i，jx分別為算子?t，?x的離散.Bridges等［1］稱能保持多辛守恒律（5）的離散形式的格式為多辛格式.

2 顯式多辛格式

首先考察一些差分算子的性質(zhì)［3］.定義向前差分算子Dtfj＝（fj＋1－fj）／τ，Dxfi＝（fi＋1－fi）／h，易得推廣的Leibniz法則，有

以上性質(zhì)對(duì)t方向也成立，只要算符運(yùn)算是雙線性的，離散的Leibniz法則就成立.例如外積運(yùn)算，此時(shí)f，g是一形式.

對(duì)多辛方程組（2）的分量形式進(jìn)行離散，可得到其離散格式，有

定理1 格式（8）是多辛格式，它滿足離散多辛守恒律

證明 式（8）對(duì)應(yīng)的變分方程組為

用d uji外積式（10）的第1個(gè)方程，可得

3 數(shù)值例子

取G（u）＝u3／3，則非線性“Good”Boussinesq方程（1）的精確孤立波解為

對(duì)于非線性“Good”Boussinesq方程的顯式多辛格式，采取在有限區(qū)域I＝（XL，XR）上設(shè)置人工邊界和周期邊界條件的方法進(jìn)行數(shù)值模擬.即對(duì)人工邊界XL和XR取得足夠遠(yuǎn)，以滿足周期邊界條件.由于格式（15）是三層格式，所以為簡便起見，格式初始時(shí)的第1層和第2層的值均取精確值.

3.1 單孤立波的模擬

在孤立波解式（16）中，取振幅A為0.5，初相ξ0為0，且XL＝－50，XR＝50，時(shí)間步長τ為0.01，空間步長h為0.5.顯式多辛格式（15）在t∈［0，100］時(shí)，單孤立波傳播的模擬結(jié)果如圖1所示.

3.2 同向雙孤立波的模擬

在孤立波解式（16）中，取兩個(gè)不同振幅、不同初相的孤立波分別進(jìn)行數(shù)值模擬試驗(yàn).當(dāng)振幅A分別為1，0.25，相應(yīng)的初相ξ0分別為－60，－80，此時(shí)XL＝－100，XR＝100，時(shí)間步長τ為0.01，空間步長h為0.5.顯式多辛格式（15）模擬雙孤立波同向傳播時(shí)，其碰撞分離的模擬結(jié)果如圖2所示.

圖2 雙孤立波的碰撞過程Fig.2 Collision process of two solitons

圖1 單孤立波的傳播Fig.1 Propagation of soliton

4 結(jié)論

由圖1（數(shù)值模擬試驗(yàn)均計(jì)算10 000步，下同）可知，顯式多辛格式（15）能很好地模擬單孤立波運(yùn)動(dòng)的波形，不出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象.由圖2可知，顯式多辛格式（15）同樣能夠很好地模擬雙孤立波的碰撞過程，碰撞后，兩個(gè)孤立子保持原來的形狀及速度傳播，好象碰撞沒有發(fā)生過似的.

由此可見，所構(gòu)造的顯式多辛格式能夠成功、有效地模擬原孤立波的時(shí)間演化，具有長時(shí)間的數(shù)值穩(wěn)定性.由于多辛格式（15）是顯式的，因此計(jì)算量比隱式的15點(diǎn)多辛Preissmann格式大大減小，數(shù)值模擬結(jié)果與理論相符.

［1］ BRIDGES T J，REICH S.Multi－symplectic integrators：Numerical schemes for Hamiltonian PDEs that conserve symplecticity［J］.Physics Letter（A），2001，284（4－5）：184－193.

［2］ 黃浪揚(yáng).廣義Pochhammer－Chree方程的多辛Fourier擬譜格式及孤立波試驗(yàn)［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，29（3）：468－471.

［3］ 王雨順，王斌，秦孟兆.偏微分方程的局部保結(jié)構(gòu)算法［J］.中國科學(xué)：A輯，2008，38（4）：377－397.

［4］ 曾文平，黃浪揚(yáng)，秦孟兆.“Good”Boussinesq方程的多辛算法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2002，23（7）：743－748.

Explicit Multi－Symplectic Scheme for Nonlinear“Good”Boussinesq Equation

HUANG Lang－yang
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

By discretizing the multi－symplectic systems of the nonlinear“Good”Boussinesq equation，we have derived the discretized multi－symplectic conservation laws.A new seven－point explicit multi－symplectic scheme which is equivalent to the discretized method is obtained.It is showen that the scheme constructed in this paper has excellent long－time numerical behavier by numerical experiments.

nonlinear“Good”Boussinesq equation；multi－symplectic systems；explicit multi－symplectic scheme；multisymplectic conservation laws；solitary wave experiments

O 241.82

A

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

1000－5013（2011）01－0100－03

2009－04－11

黃浪揚(yáng)（1974－），男，副教授，主要從事偏微分方程數(shù)值解法的研究.E－mail：hly6＠163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10901074）；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Z0511029）