有限差分強度折減法中融合蒙特卡洛思想的邊坡可靠性分析

陳 欣，付建軍，趙海斌，黃太平，時 凱

有限差分強度折減法中融合蒙特卡洛思想的邊坡可靠性分析

陳 欣1，付建軍2，趙海斌2，黃太平2，時 凱3

（1．武漢船舶職業(yè)技術(shù)學院船舶工程系，武漢 430050；2．中國水電顧問集團中南勘測設(shè)計研究院，長沙 410014；3．中國科學院武漢巖土力學研究所，武漢 430071）

可靠性分析是邊坡工程研究的熱點之一，但目前基于強度折減方法的邊坡可靠度分析研究較少，文章主要是在有限差分強度折減法基礎(chǔ)上融合蒙特卡洛思想進行邊坡可靠性分析。其研究思路為：首先詳細概述了邊坡可靠性分析原理及邊坡可靠度分析統(tǒng)計模型；其次，介紹了有限差分強度折減法及蒙特卡洛思想，并將蒙特卡洛思想引入邊坡有限差分強度折減模型，利用FLAC3D內(nèi)置fish語言編制了相應(yīng)計算程序，使此模型數(shù)值計算得以實現(xiàn)；最后，對某巖體力學參數(shù)（粘聚力、內(nèi)摩擦角）服從正態(tài)概率分布的簡單邊坡進行了安全系數(shù)計算，且對計算結(jié)果進行了統(tǒng)計分析、可靠性評價。其研究方法將為工程巖體邊坡可靠性分析提供一定參考價值。

可靠性分析；強度折減法；蒙特卡洛思想；正態(tài)概率分布

1 概 述

隨著我國高鐵、公路、水電站、礦山建設(shè)的迅速發(fā)展，大規(guī)模的巖體邊坡工程開挖推動了我國邊坡工程支護設(shè)計和施工的進步。邊坡穩(wěn)定性分析［1－3］也逐漸成為眾多學者研究的熱點，

邊坡穩(wěn)定分析主要包括確定性分析方法［4，5］和可靠度［6－8］設(shè)計方法2種。確定性分析法是在假定坡體材料參數(shù)粘聚力、內(nèi)摩擦角等為一個定值的基礎(chǔ)上，根據(jù)極限平衡法或強度折減法［9，10］基本步驟進行力學求解獲得安全系數(shù)，接著通過分析安全系數(shù)大小來判定邊坡安全狀態(tài)。其缺點在于忽略了巖體材料參數(shù)的隨機性和變異性，采用定值的材料參數(shù)來評價邊坡安全性?？煽慷龋?－8］設(shè)計方法就是以隨機事件和隨機過程為對象來研究巖土工程問題，即認為巖體材料參數(shù)服從某一概率分布的前提下，以極限平衡法或強度折減法為理論基礎(chǔ)，運用數(shù)學統(tǒng)計方法獲得邊坡安全系數(shù)的概率分布。該方法在很大程度上可以改善和彌補確定性方法的不足。在同樣的設(shè)計計算模型條件下，用可靠度的設(shè)計方法代替確定性的安全系數(shù)法，必將使計算結(jié)果更符合實際。

有關(guān)邊坡的可靠性分析，國內(nèi)外有一定探索研究，也取得了一定成果，但大部分邊坡安全系數(shù)可靠性研究主要集中在極限平衡法［6－8］，這是因為極限平衡法中安全系數(shù)可用一個線性的函數(shù)表述其與材料參數(shù)（粘聚力、內(nèi)摩擦角）的關(guān)系，故安全系數(shù)的概率分布也可由材料參數(shù)的概率分布線性求解。與之相反，盡管在某些方面強度折減法計算安全系數(shù)的優(yōu)勢大于極限平衡法，但是強度折減法可靠性分析研究仍相對較少，這是因為強度折減法計算的安全系數(shù)與邊坡巖體材料參數(shù)可能不再是簡單的線性關(guān)系，理論關(guān)系式推導(dǎo)過程也相對復(fù)雜。因此，本文主要研究基于有限差分強度折減法的邊坡可靠性。

2 邊坡可靠性分析原理

2．1 可靠性定義

邊坡可靠性，指在規(guī)定的條件和規(guī)定的時間內(nèi)，完成預(yù)定功能的能力。為了把可靠性作為邊坡工程量化指標，引入可靠度［6，11］概念，即在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)，完成預(yù)定功能的概率。評價邊坡可靠度是把安全系數(shù)作為隨機變量，從定量化的意義上講，即在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)，安全系數(shù)大于某一規(guī)定值的穩(wěn)定概率，取值范圍是在閉區(qū)間［0，l］。

2．2 邊坡可靠度分析統(tǒng)計模型

2．2．1 極限狀態(tài)

整個結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過某一特定狀態(tài)就不能滿足設(shè)計規(guī)定的某一功能要求，這一特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)。如果用隨機向量X（X1，X2，…，Xn）表示邊坡的基本隨機向量，用g（X）描述邊坡的狀態(tài)性能，稱為邊坡功能函數(shù)，則邊坡的工作狀態(tài)可表示為

式（1）把邊坡工程系統(tǒng)分成3種狀態(tài)，即：

Z＝g（X）＞0，邊坡工程處于可靠狀態(tài)；

Z＝g（X）＝0，邊坡工程達到極限狀態(tài)；

Z＝g（X）＜0，邊坡工程處于失效狀態(tài)。

下面詳細介紹Z＝R－S的干涉理論及破壞概率。式中R為結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗力值或抗滑力，S為結(jié)構(gòu)構(gòu)件設(shè)計值或滑動力。

2．2．2 干涉理論及破壞概率

我們研究結(jié)構(gòu)抗力值R和結(jié)構(gòu)設(shè)計值S兩個隨機連續(xù)變量所構(gòu)成的聯(lián)合事件概率分布。依據(jù)聯(lián)合分布的定義，有

因R和S皆非負值，故積分下限均取作“0”。f（r，s）為隨機變量R和S的聯(lián)合密度函數(shù)，若R和S相互獨立，則

概率元素f（r，s）d r d s＝p（r＜R≤r＋d r，s＜S≤s＋d s）而

圖1 f（r）與f（s）干涉Fig．1 f（r）and f（s）interference

圖1 中可見，盡管結(jié)構(gòu)抗力值R的均值ur遠大于結(jié)構(gòu)設(shè)計值S的均值us，但因2個隨機變量的密度函數(shù)曲線有交叉，形成重疊部分即干涉區(qū)，在干涉區(qū)內(nèi)，既有結(jié)構(gòu)抗力值大于結(jié)構(gòu)設(shè)計值的可能，也有結(jié)構(gòu)抗力值小于結(jié)構(gòu)設(shè)計值的可能。而出現(xiàn)后一種情況，則邊坡破壞，其破壞概率為

相應(yīng)的可靠度，即邊坡能夠完成預(yù)定功能的概率為

由于（R＜S）與（R＞S）是互逆事件，故Pf＝1－Ps，一般來說，邊坡工程中，破壞概率可以分別由3個等價事件的概率來表示：

本文定義邊坡巖體臨界塑性屈服破壞時粘聚力c0和內(nèi)摩擦角φ0為結(jié)構(gòu)設(shè)計值S，邊坡巖體固有強度參數(shù)粘聚力c和內(nèi)摩擦角?為結(jié)構(gòu)抗力值，定義有限強度折減法下邊坡狀態(tài)方程為

3 有限差分強度折減法

強度折減法認為在外荷載保持不變的情況下，邊坡失穩(wěn)破壞主要為巖體的剪切破壞。將邊坡的安全系數(shù)定義為巖體自身固有抗剪強度與抵御外荷載所發(fā)揮的最低抗剪強度之比，安全系數(shù)具有明顯的強度儲備的意義。

強度折減系數(shù)法的基本步驟是將巖體參數(shù)粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ必須同時除以一個折減系數(shù)F，得到一組新的c′和φ′值，然后作為新的材料參數(shù)代入數(shù)值計算程序進行試算，當邊坡處于臨界狀態(tài)時，也即F再稍大一些，邊坡將發(fā)生破壞，對應(yīng)的F被稱為邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)，此時土體即將發(fā)生剪切破壞，即計算結(jié)果是指達到臨界狀態(tài)時的折減系數(shù)F。

強度折減法在FLAC3D實現(xiàn)的流程見文獻［12］。

4 融合蒙特卡洛法思想的邊坡穩(wěn)定可靠性研究

4．1 蒙特卡洛法基本原理

蒙特卡洛法又稱隨機模擬法或統(tǒng)計試驗法，是一種依據(jù)統(tǒng)計抽樣理論，利用計算機研究隨機變量的數(shù)值計算方法。

蒙特卡洛法是從概率的角度出發(fā)求解失效概率的，它從同一母體中抽取簡單子樣來做抽樣試驗。根據(jù)簡單子樣的定義，若隨機事件A發(fā)生的概率p（A），在N次獨立試驗中，事件A發(fā)生的頻率數(shù)為M，令X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機的獨立變量，由切貝雪夫大數(shù)定理可知，當N足夠大時收斂于而頻率收斂于p（A）。這就是蒙特卡洛法的理論基礎(chǔ)，原理簡單、概念明確。用蒙特卡洛法求解某一事件發(fā)生的概率時，需要進行大量的統(tǒng)計試驗，通過抽樣試驗的方法得到該事件出現(xiàn)的頻率。隨著高速電子計算機的發(fā)展，為蒙特卡洛方法提供了強有力的模擬計算工具，在工程界的應(yīng)用越來越廣。

4．2 有限差分強度折減法中蒙特卡洛思想實現(xiàn)

蒙特卡洛法應(yīng)用到邊坡工程的基本思想是先建立邊坡的功能函數(shù)和極限狀態(tài)方程（見式9），本文直接將強度折減安全系數(shù)Fs為功能函數(shù)，產(chǎn)生符合分布函數(shù)變量的一組隨機數(shù)x1，x2，…，xn，把它帶入狀態(tài)函數(shù)Fs＝g（x1，x2，…，xn）計算狀態(tài)函數(shù)的一個隨機數(shù)值F*，確定其在基本變量空間中屬于破壞區(qū)還是安全區(qū)，即F*與1．3的關(guān)系，當F*＞1．3時，認為安全；F*≤1．3時，發(fā)生破壞。如果在N次模擬中M次落在破壞區(qū)，當N足夠大時，此時的頻率已近似于概率，得到邊坡的破壞概率

蒙特卡洛法不需要將巖體參數(shù)的概率分布函數(shù)代入本構(gòu)方程、幾何方程、平衡方程進行力學推導(dǎo)，即無需微分、積分求解，它通過建立數(shù)學模型，進行大量簡單、重復(fù)的抽樣模擬試驗，蒙特卡洛法最大優(yōu)點在于不論極限狀態(tài)方程如何復(fù)雜，只要有足夠多的模擬次數(shù)，隨機數(shù)序列足夠大，就能得到一個相對精確的失效概率值。

本文基于蒙托卡洛法基本思想，在結(jié)合有限差分強度安全系數(shù)的計算流程基礎(chǔ)上，通過采用flac3d內(nèi)置語言fish編制程序［13］，使邊坡可靠度分析得以實現(xiàn)。詳細流程見圖2。

圖2 蒙特卡洛邊坡可靠性分析流程Fig．2 Process of slope reliability analysis using Monte Carlo method

5 算例分析

5．1 簡單均質(zhì)邊坡模型

為便于計算討論，假定某邊坡高度12m，邊坡坡頂至坡腳水平距離為10 m，假定邊坡巖體粘聚力c服從均值uc＝38 kPa方差σc＝0．3的正態(tài)分布，內(nèi)摩擦角φ服從均值u?＝22°方差σ?＝0．3的正態(tài)分布，變形模量E0＝800 MPa，泊松比為0．3。見圖3。

5．2 數(shù)值計算模型

本次模擬主要任務(wù)是進行蒙特卡洛法邊坡可靠性分析。因此，綜合考慮計算機模擬速度及模擬計算結(jié)果精確性等各方因素，在數(shù)值模型建模過程中進行了以下細化（圖3）：第一，按平面應(yīng)變問題來考慮；第二，為了較準確獲得安全系數(shù)大小，強度折減法精度控制在0．02；第三，邊坡模型底部、左右邊界、前后邊界施加法向位移約束；第四，整個數(shù)值模型區(qū)域材料屬性值相同；第五，為了較準確獲得邊坡穩(wěn)定概率，模擬次數(shù)分別為200，500，1 000。

圖3 算例邊坡模型Fig．3 Slopemodel of calculation case

5．3 計算結(jié)果可靠性分析

數(shù)值計算的步驟為：根據(jù)粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ概率分布特征隨機產(chǎn)生N組計算方案（c1，φ1），（c2，φ2），…，（cN，φN），然后將N組強度參數(shù)代入有限差分強度折減法模型進行計算，各安全系數(shù)結(jié)果見圖4至圖6及表1。

圖4 N＝200安全系數(shù)頻率直方圖Fig．4 N＝200 frequency histogram of safety factors

圖5 N＝500安全系數(shù)頻率直方圖Fig．5 N＝500 frequency histogram of safety factors

圖6 N＝1 000安全系數(shù)頻率直方圖Fig．6 N＝1 000 frequency histogram of safety factors

表1 安全系數(shù)概率分析表Table 1 Probability analysis of safety factors

由圖4至圖6可知，此算例邊坡安全系數(shù)均值為1．696 1～1．702 5，破壞概率為3．8%～5%，不同試驗次數(shù)下安全系數(shù)任近似服從正態(tài)分布。表1顯示，隨著試驗次數(shù)的增加，安全系數(shù)均值及破壞概率變化不大，當試驗次數(shù)達到1 000時，安全系數(shù)均值及破壞概率基本不再變化。故可認為該算例邊坡安全系數(shù)為1．7，破壞概率為5%，該邊坡穩(wěn)定概率為95%。

6 結(jié) 論

傳統(tǒng)上，一直以安全系數(shù)作為邊坡工程穩(wěn)定性的評價指標，然而，安全系數(shù)不是一個常數(shù)，而是一個由設(shè)計因素的變異性所決定的隨機變量。本文在闡述邊坡可靠性分析原理的基礎(chǔ)上，提出了集強度折減、蒙特卡洛思想于一體的邊坡可靠度分析方法，

并利用FLAC3D軟件的內(nèi)置語言fish使其在程序上得到了實現(xiàn)。經(jīng)算例可靠性分析，驗證了該方法的有效性。同時，該方法為邊坡可靠性分析的理論與工程實踐提供了一條新的途徑，具有廣泛的應(yīng)用前景及一定的參考價值。

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［11］貢金鑫，魏微微．工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計原理［M］．北京：機械工業(yè)出版社，2007．（GONG Jin-xin，WEIWei-wei．Principle of Reliability Design in Engineering Struc-tures［M］．Beijing：Machinery Industry Press，2007．（in Chinese））

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［13］Itasca Consulting Group Inc．．FLAC3D（Version 2．1）Users Manual［R］．［S．l．］：Itasca Consulting Group Inc．，2003．

（編輯：曾小漢）

Analysis of Slope Reliability by Finite-Difference Strength-Reduction M ethod Considering the Thought of M onte Carlo M ethod

CHEN Xin1，F(xiàn)U Jian-jun2，ZHAO Hai-bing2，HUANG Tai-ping2，SHIKai3
（1．Wuhan Institute of Shipbuilding Technology，Wuhan Hubei 430050，China；2．Mid-South Design and Research Institute，China Hydropower Engineering Consulting Group Co．，Changsha，Hunan 410014，China；3．Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Reliability analysis is one of the hot topics in the research of slope engineering．The authorsmainly ana-lyzed slope reliability based on finite-difference strength-reduction method considering the thought of Monte Carlo method．The principle and statisticalmodel of slope reliability analysis are elaborated at first．Second，the finite-difference strength-reduction method and the thought of Monte Carlo method are summarized，then the thought of Monte Carlomethod is introduced into the finite-difference strength-reductionmodel．Based on this，numerical cal-culation of themodelwas realized and the corresponding calculation program was developed by FISH language built-in FLAC3D．Finally，safety factor of a slope，whose rock massmechanical parameter followed normal probability distribution，is calculated．The calculation resultswere analyzed statistically and its reliability is evaluated．

reliability analysis；strength-reduction method；Monte Carlomethod；normal probability distribution

TU443

A

1001－5485（2011）04－0036－05

2010-04-30

陳 欣（1976-），女，湖北武漢人，副教授，主要從事土木工程教學與研究，（電話）13407162229（電子信箱）26719402＠qq．com。