信息熵理論在巖體結(jié)構(gòu)加速流變破壞分析中的應(yīng)用研究

黃耀英，鄭 宏，田 斌

（1.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071）

信息熵理論在巖體結(jié)構(gòu)加速流變破壞分析中的應(yīng)用研究

黃耀英1，2，鄭 宏2，田 斌1

（1.三峽大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071）

將信息熵理論應(yīng)用于黏彈性及黏塑性問題分析，通過單元彈性應(yīng)變能和單元總應(yīng)變能所對應(yīng)的信息熵的對比，發(fā)現(xiàn)：不可逆流變應(yīng)變對應(yīng)的能量為耗散能，以單元彈性應(yīng)變能計(jì)算的信息熵可以較好地反映結(jié)構(gòu)從無序到有序的演變過程；然后將信息熵應(yīng)用于不同巖體結(jié)構(gòu)的加速流變破壞分析。結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)信息熵與節(jié)點(diǎn)位移具有良好的一致性；信息熵先因能量耗散而逐漸減小；結(jié)構(gòu)加速流變破壞時(shí)，信息熵達(dá)到極小值。

信息熵；耗散；加速流變；破壞

1 概 述

能量耗散與結(jié)構(gòu)損傷、劣化、塑性變形及強(qiáng)度喪失直接相關(guān)，近年來，越來越多的學(xué)者關(guān)注和重視從能量耗散的角度去研究結(jié)構(gòu)的破壞問題［1］。朱維申等［2，3］將能量耗散模型應(yīng)用于三峽船閘高邊坡工程，其認(rèn)為西原流變模型中的黏彈性變形和黏塑性變形都是耗散能；謝和平等［4］對巖體變形破壞過程的能量機(jī)制進(jìn)行了研究，認(rèn)為耗散能用于形成材料內(nèi)部損傷和塑性變形，其變形能滿足熱力學(xué)第二定律。Shannon于1948年提出了熵（Entropy）的概念［5］，即它代表著關(guān)于“不確定性”的一種度量，1957年Jaynes提出了描述這種不確定性的數(shù)學(xué)方法即極大熵原理［6］。由于系統(tǒng)的熵值和系統(tǒng)狀態(tài)的無序度存在著一一對應(yīng)關(guān)系，而結(jié)構(gòu)的破壞過程就是從無序（穩(wěn)定態(tài)）向有序（非穩(wěn)定態(tài)）演變的過程，因此在得到結(jié)構(gòu)臨界平衡條件的基礎(chǔ)上，通過計(jì)算結(jié)構(gòu)在這一過程中的“熵”，就可以方便地對結(jié)構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行度量。陳建軍等［7］證明了結(jié)構(gòu)信息熵是具有單個峰值的上凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)各單元的應(yīng)變能密度彼此相等時(shí)，結(jié)構(gòu)的熵達(dá)到最大值。許傳華等［8］應(yīng)用耗散結(jié)構(gòu)理論、熵及突變論等非線性科學(xué)理論研究了巖石非線性穩(wěn)定問題；杜華冬等［9］將反映結(jié)構(gòu)破壞無序性的熵的概念應(yīng)用于實(shí)際工程，分析表明隨著超載倍數(shù)的增大，系統(tǒng)熵逐漸減小。叢培江等［10］將熵理論應(yīng)用于混凝土開裂擴(kuò)展過程，分析表明隨著外荷的增大，信息熵逐漸增大，其認(rèn)為裂縫起裂后，斷裂過程區(qū)的應(yīng)變能重新分布，系統(tǒng)能量分布的集中狀況得到一定的緩解，在此過程中產(chǎn)生的熵為正熵，所以系統(tǒng)的熵值隨著外荷載的增大而增大。趙瑜等［11］基于耗散結(jié)構(gòu)理論，對隧道圍巖卸荷演化過程的Kolmogorov熵進(jìn)行了分析。周翠英等［12］對巖石變形破壞的熵突變過程與破壞判據(jù)進(jìn)行了研究。但將信息熵理論用于分析巖體結(jié)構(gòu)加速流變破壞尚未見有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道，據(jù)此，本文將信息熵理論應(yīng)用于黏彈性及黏塑性問題分析，對比單元彈性應(yīng)變能和單元總應(yīng)變能計(jì)算的信息熵，然后將信息熵應(yīng)用于巖體結(jié)構(gòu)的加速流變分析。

2 基本原理

2.1 巖體結(jié)構(gòu)加速流變破壞分析

假設(shè)節(jié)理巖體的彈黏塑性計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 節(jié)理巖體等效流變模型Fig.1 Equivalent rheologicalmodel of jointed rock mass

巖石和節(jié)理的彈黏塑性本構(gòu)關(guān)系：

（1）巖石采用D P屈服準(zhǔn)則，其彈黏塑性本構(gòu)關(guān)系為

式中DR為巖石的彈性矩陣。

（2）節(jié)理采用M C屈服準(zhǔn)則，其彈黏塑性本構(gòu)關(guān)系為

式中Dj為節(jié)理彈性矩陣。

式中：knj，ksj分別為法向和切向剛度系數(shù)；dj為節(jié)理間距。

根據(jù)應(yīng)變疊加原則，節(jié)理巖體的應(yīng)變?yōu)閹r石的應(yīng)變和節(jié)理的應(yīng)變之和，即

上式中：D為節(jié)理巖體彈性矩陣；Tj為轉(zhuǎn)換矩陣，其一般形式為

對于完整巖石，在進(jìn)行流變分析時(shí)，不需要考慮式（6）中的節(jié)理部分。

圖1中，ηR（t），ηj1（t）和ηjn（t）為非線性黏滯系數(shù)。為了反映當(dāng)巖石或節(jié)理發(fā)生屈服以后隨時(shí)間的加速流變特性，本文假設(shè)非線性黏滯系數(shù)隨荷載作用時(shí)間的增加而減小，即采用下式來表示，

式中：A，B，C為與材料相關(guān)的常數(shù)；t為流變時(shí)間。

2.2 信息熵理論

1948年，Shannon提出了信息熵的概念，表達(dá)式為

式中：Ф為正的常數(shù)，本文分析時(shí)，取Ф＝1；pi是信息源中第i種信號出現(xiàn)的概率；ln pi是它帶來的信息量；S表征了信息量的大小，是一個系統(tǒng)狀態(tài)不確定性的量度。

采用有限單元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)流變問題分析時(shí)，設(shè)在拓?fù)湫问?、邊界條件和作用荷載給定的n個單元的結(jié)構(gòu)中，第i個單元具有的應(yīng)變能為qi（i＝1，2，…，n），則系統(tǒng)的總應(yīng)變能Q為

顯然，新引入的物理量λi≥0（i＝1，2，…，n），具有完備性和非負(fù)性，其力學(xué)含義表示第i個單元的應(yīng)變能在總應(yīng)變能中所占的份額。為了綜合反映不同結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的分布狀況，定義結(jié)構(gòu)的信息熵函數(shù)S為

文獻(xiàn)［7］已證明，結(jié)構(gòu)的信息熵S為具有單個峰值的上凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)各單元的應(yīng)變能彼此相等時(shí)，即當(dāng)λi＝1／n（i＝1，2，…，n）時(shí)，結(jié)構(gòu)的熵S達(dá)到最大值。

本文在計(jì)算結(jié)構(gòu)信息熵時(shí)，對第i個單元的應(yīng)變能分別取彈性應(yīng)變能或彈性應(yīng)變能與黏性應(yīng)變能之和進(jìn)行對比。

其中，彈性應(yīng)變能采用式（15）計(jì)算，即

式中：σij為應(yīng)力分量；εeij為彈性應(yīng)變分量。

此時(shí)，外力功為

式中：Sσ為面力邊界；珋fi為其上的面力；珔Pj為集中力；Δue為彈性位移。

黏性應(yīng)變能為

式中Δuc為黏性位移，其余符號含義同前。

3 算例分析

3.1 均質(zhì)巖性結(jié)構(gòu)算例

圖2為受內(nèi)壓作用的均質(zhì)巖性厚壁圓筒，內(nèi)徑ra＝0.1 m，外徑rb＝0.2 m。作用均布內(nèi)壓p，設(shè)結(jié)構(gòu)的彈性模量為31 GPa，泊松比為0.2；對比分析了如下3組工況。

圖2 有限元計(jì)算網(wǎng)格Fig.2 FEM mesh

工況1：假設(shè)材料滿足n＝1的廣義開爾文模型，開爾文元件的彈性模量為80 GPa，黏滯系數(shù)為1.15×1012（Pa·d），均布壓力p為1.0 MPa。

工況2：假設(shè)材料滿足彈 黏塑性模型，采用內(nèi)切圓錐的D P屈服準(zhǔn)則，凝聚力為1.83 MPa，內(nèi)摩擦角為59.2°，黏滯系數(shù)為η0＝1.15×105（Pa·d），計(jì)算黏塑性應(yīng)變率的函數(shù)Φ（F）＝F／F0，F(xiàn)＝αI1＋K，F(xiàn)0＝K，均布壓力p為1.0 MPa。

工況3：考慮結(jié)構(gòu)的加速流變η＝η0／（0.001t2＋1.0）（Pa·d），t為流變時(shí)間，其余條件與工況2同。

計(jì)算3種工況下的外力功和應(yīng)變能，見圖3。3種工況下的信息熵，見圖4。

圖3 不同工況下外力功和應(yīng)變能比較Fig.3 Externalwork and strain energy in different load cases

圖4 不同工況下信息熵比較Fig.4 Information entropy in different load cases

由圖可見：

（1）3種工況計(jì)算的彈性應(yīng)變能和黏性應(yīng)變能之和，與外力功極為接近，最大誤差僅為3%。

（2）采用廣義開爾文模型進(jìn)行黏彈性問題分析時(shí)，無論采用彈性應(yīng)變能計(jì)算信息熵，還是采用彈性應(yīng)變能和黏性應(yīng)變能之和計(jì)算信息熵，信息熵基本不變，究其原因?yàn)閺V義開爾文模型的黏彈性應(yīng)變可逆，結(jié)構(gòu)沒有能量耗散。

（3）對結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈 黏塑性分析時(shí)，由于黏塑性應(yīng)變?yōu)椴豢赡鎽?yīng)變，其對應(yīng)的能量為耗散能，此時(shí)，系統(tǒng)的信息熵隨時(shí)間逐漸減小。當(dāng)采用彈性應(yīng)變能計(jì)算信息熵時(shí)，信息熵先減小，達(dá)到極小值3.092 7后，然后增大，信息熵達(dá)到極小值時(shí)可認(rèn)為是結(jié)構(gòu)破壞，即從“無序”走向“有序”，這與流變位移也是吻合的。而采用彈性應(yīng)變能和黏性應(yīng)變能之和計(jì)算信息熵，雖然信息熵逐漸減小，但不能反應(yīng)結(jié)構(gòu)破壞的過程。

3.2 結(jié)構(gòu)面加速流變分析

設(shè)一塊體為2 m×2 m×2 m，中間夾有結(jié)構(gòu)面，結(jié)構(gòu)面厚0.05 m，底部位移完全約束，結(jié)構(gòu)面用薄層單元模擬，有限元模型如圖5所示。塊體的彈性模量為20 GPa，泊松比為0.2，塊體采用內(nèi)切圓錐D P屈服準(zhǔn)則，凝聚力為1.5 MPa，內(nèi)摩擦角為45°，黏滯系數(shù)為1.15×106（Pa·d），計(jì)算黏塑性應(yīng)變率的函數(shù)Φ（F）＝F／F0，F(xiàn)＝αI1＋－K，F(xiàn)0＝K；結(jié)構(gòu)面采用莫爾 庫侖屈服準(zhǔn)則，凝聚力0.1 MPa，內(nèi)摩擦角為20°，黏滯系數(shù)η＝2×109／（0.001 t2＋1）（Pa·d），t為流變時(shí)間，計(jì)算黏塑性應(yīng)變率的函數(shù)Φ（F）＝F／F0，F(xiàn)＝（＋tanφσz′－c，F(xiàn)0＝ 1；作用荷載p1＝1.0 MPa，p2＝1.0 MPa。由計(jì)算結(jié)果圖6可見，結(jié)構(gòu)的信息熵和切向位移具有良好的一致性，信息熵因能量耗散而逐漸減小，結(jié)構(gòu)加速流變破壞時(shí)，信息熵達(dá)到極小值2.705 7，然后略有增大。

圖5 有限元模型Fig.5 FEM model

圖6 切向位移和信息熵過程線比較Fig.6 Comparison between tangential displacement curve and inform ation entropy curve

3.3 節(jié)理巖體邊坡加速流變分析

具有一組貫通節(jié)理面的巖質(zhì)邊坡，如圖7所示。節(jié)理貫通率為100%，節(jié)理傾角為45°，節(jié)理平均間距為5 m，在邊坡上作用均布壓力。xjyjzj為節(jié)理面坐標(biāo)系，yj與y平行。巖石和節(jié)理的材料參數(shù)如表1所示；巖石的黏滯系數(shù)ηR＝5×106／（0.001 t2＋1.0）（Pa·s），節(jié)理面的黏滯系數(shù)ηj＝2×106／（0.001t2＋1.0）（Pa·s），t為流變時(shí)間。由圖8可見，結(jié)構(gòu)信息熵與典型節(jié)點(diǎn)水平向位移具有良好的一致性。信息熵先因能量耗散而逐漸減小，節(jié)理巖體加速流變破壞時(shí)，信息熵達(dá)到極小值3.743 4，然后略有增大。

圖7 節(jié)理巖體邊坡Fig.7 Jointed rock slope

表1 節(jié)理巖體的材料參數(shù)Table1 Parameters of jointed rock

圖8 節(jié)點(diǎn)水平位移和信息熵過程線比較Fig.8 Comparison between the curve of horizontal displacement of the node and the information entropy curve

4 結(jié) 語

本文將信息熵理論應(yīng)用于不同巖體結(jié)構(gòu)流變分析，得到如下結(jié)論：

（1）對比分析了分別采用單元彈性應(yīng)變能和單元總應(yīng)變能計(jì)算的信息熵，認(rèn)為以單元彈性應(yīng)變能計(jì)算的信息熵可以較好地反映結(jié)構(gòu)從無序到有序的演變過程。

（2）廣義開爾文模型的黏彈性應(yīng)變可逆，結(jié)構(gòu)沒有能量耗散，所以采用廣義開爾文模型進(jìn)行黏彈性問題分析時(shí)，無論采用彈性應(yīng)變能計(jì)算信息熵，還是采用彈性應(yīng)變能和黏性應(yīng)變能之和計(jì)算信息熵，信息熵基本不變。

（3）將信息熵應(yīng)用于不同巖體結(jié)構(gòu)的加速流變分析，結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)信息熵與典型節(jié)點(diǎn)水平向位移具有良好的一致性，信息熵先因能量耗散而逐漸減小，結(jié)構(gòu)加速流變破壞時(shí)，信息熵達(dá)到極小值。

［1］ 謝和平，馮夏庭.災(zāi)害環(huán)境下重大工程安全性的基礎(chǔ)研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.（XIE He ping，F(xiàn)ENG Xia ting.Basic Research on the Safety of Major Projects During Disasters［M］.Beijing：Science Press，2009.（in Chinese））

［2］ 朱維申，程 峰.能量耗散本構(gòu)模型及其在三峽船閘高邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2000，19（3）：261－264.（ZHUWei shen，CHENG Feng.Constitutive Model of Energy Dissipation and Its Application to Stability Analysis of Ship Lock Slope in Three Gorges Project［J］.Chinese Journal of Rock Me chanics and Engineering，2000，19（3）：261－264.（in Chinese））

［3］ 朱維申，李術(shù)才，程 峰.能量耗散模型在大型地下洞室群施工順序優(yōu)化分析中的應(yīng)用［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2001，23（3）：333－336.（ZHU Wei shen，LIShu cai，CHENG Feng.Application of Energy Dissipation Model to Optimization of Construction Order for Large Under ground Caverns［J］.Chinese Journal of Geotechnical En gineering，2001，23（3）：333－336.（in Chinese））

［4］ 謝和平，鞠 楊，黎立云，等.巖體變形破壞過程的能量機(jī)制［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2008，27（9）：1729－1740.（XIE He ping，JU Yang，LI Li yun，et al.Energy Mechanism of Deformation and Failure of Rock Masses［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and En gineering，2008，27（9）：1729－1740.（in Chinese））

［5］ SHANNON C E.A Mathematical Theory of Communica tion［J］.Bell System Technical Journal，1948，27：379－423.

［6］ JAYNESE T.Information Theory and StatisticalMechan ics［J］.The Physical Review，1957，106：620－630.

［7］ 陳建軍，曹一波，段寶巖.結(jié)構(gòu)信息熵與極大熵原理［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，1998，（4）：116－121.（CHEN Jian jun，CAO Yi bo，DUAN Bao yan.Informational En tropy of Structure and Maximum Entropy Principle［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1998，（4）：116－121.（in Chinese））

［8］ 許傳華，任青文.圍巖穩(wěn)定分析的熵突變準(zhǔn)則研究［J］.巖土力學(xué)，2004，25（3）：437－440.（XU Chuan hua，REN Qing wen.Criterion of Entropy Catastrophe of Stability of Surrounding Rock［J］.Rock and Soil Me chanics，2004，25（3）：437－440.（in Chinese））

［9］ 杜華冬.水工結(jié)構(gòu)整體安全性評價(jià)的變形能方法［D］.南京：河海大學(xué)，2005.（DU Hua dong.Strain Energy Method in Integral Security of Hydro structures［D］.Nanjing：Hohai University，2005.（in Chinese））

［10］叢培江，顧沖時(shí)，王 建.熵理論在分析混凝土裂縫擴(kuò)展過程中的應(yīng)用探討［J］.應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)研究，

2008，16（1）：50－56.（CONG Pei jiang，GU Chong shi，WANG Jian.Application of Entropy Theory in the Analysis of Concrete Crack Propagation Process［J］.Journal of Basic Science and Engineering，2008，16（1）：50－56.（in Chinese））

［11］趙 瑜，盧義玉，康 勇.隧道圍巖卸荷演化過程的Kolmogorov熵分析［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32（9）：1006－1010.（ZHAO Yu，LU Yi yu，KANG Yong.Kol mogorov Entropy Analysis of Surrounding Rock System in the Processing of Unloading for Deep Buried Tunnels［J］.Journal of Chongqing University，2009，32（9）：1006－1010.（in Chinese））

［12］周翠英，張樂民.巖石變形破壞的熵突變過程與破壞判據(jù)［J］.巖土力學(xué)，2007，28（12）：2506－2510.（ZHOU Cui ying，ZHANG Yue min.Research on Entro py Catastrophic Regularity and Failure Criterion in the Deformation and Failure Process of Rocks［J］.Rock and Soil Mechanics，2007，28（12）：2506－2510.（in Chi nese） ）

（編輯：羅玉蘭）

Application of Information Entropy Theory to the Failure Analysis of Accelerated Rheology of Rock Structure

HUANG Yao ying1，2，ZHENG Hong2，TIAN Bin1
（1.College of Hydraulic＆Environmental Engineering，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Information entropy theory is used to analyze viscoelastic and viscoplastic problems.Based on the com parison of information entropy corresponding to the element’s elastic strain energy and total strain energy，it is found that the energy corresponding to irreversible rheological strain is dissipative.The information entropy calculat ed by element’s elastic strain energy can exactly reflect the development of rock structure from disorder to order.Furthermore，information entropy is applied to the failure analysis of accelerated rheology of different rock struc tures.It is shown that the information entropy iswell consistentwith the node’s displacement.Information entropy reduces gradually as energy dissipates，and then reaches theminimum value when the accelerated rheology of rock structure is destroyed.

information entropy；dissipation；accelerated rheology；destroy

TU457

A

1001－5485（2011）08－0050－05

2010 08 27

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50779031）；國家杰出青年基金項(xiàng)目（50925933）；湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（D20101207）

黃耀英（1977 ），男，湖南郴州人，博士，副教授，主要從事大壩安全監(jiān)控和巖體流變問題研究，（電話）13997662901（電子信箱）huangyaoying＠sohu.com。