一堂數(shù)列課的教改實(shí)踐

●荊志強(qiáng) (丹陽市第六中學(xué) 江蘇丹陽 212300)

“數(shù)學(xué)課，怎么上”這個(gè)看似平談的話題卻十分沉重.現(xiàn)今的數(shù)學(xué)課教學(xué)，普遍存在“教師講得累，學(xué)生學(xué)得苦，教學(xué)效果不理想”的狀況，這嚴(yán)重影響了教學(xué)質(zhì)量的提高和優(yōu)秀人才的培養(yǎng).筆者在長(zhǎng)期實(shí)踐中摸索出“自學(xué)交流、自主成長(zhǎng)”的教學(xué)模式，收到了“輕負(fù)擔(dān)、高質(zhì)量”的良好效果.本文以高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課“求數(shù)列前n項(xiàng)和”為例，介紹筆者的一些做法和體會(huì)，供大家參考.

1 自學(xué)交流，自主成長(zhǎng)

1.1 課前準(zhǔn)備

課前印發(fā)學(xué)案讓學(xué)生自己初步完成，內(nèi)容為相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)列前n項(xiàng)和的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.

基本訓(xùn)練題：

(4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(-1)n-1n，求前n項(xiàng)和Sn;

(5)求數(shù)列 1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n項(xiàng)和;

(6)求數(shù)列 a，2a2，3a3，…的前 n 項(xiàng)和.

上課前，教師瀏覽學(xué)生初步完成的學(xué)案，了解學(xué)情及學(xué)生掌握基本方法的情況、學(xué)生的常錯(cuò)點(diǎn)、卡殼處，并及時(shí)將學(xué)案發(fā)還給學(xué)生以便上課使用.

1.2 課堂交流

課堂上，教師將講臺(tái)讓給學(xué)生，讓學(xué)生把課前準(zhǔn)備的學(xué)案放在投影儀上進(jìn)行交流，并相互對(duì)話，去偽存真，集思廣益.學(xué)生1第一個(gè)展示自己的學(xué)案：

此時(shí)，學(xué)生2走到投影屏前，指出學(xué)生1給出的等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式Sn有錯(cuò)，正確結(jié)果應(yīng)對(duì)公比q加以討論，即

這里存在一個(gè)很好的教育契機(jī)，教師問學(xué)生2：為什么要進(jìn)行分類討論?這把學(xué)生的思維引向了回顧反思之中.學(xué)生1補(bǔ)充：追溯公式的產(chǎn)生過程，由乘減法得(1-q)Sn=a1(1-qn)，只有當(dāng)1-q≠0時(shí)，1-q才能作分母;事實(shí)上，等比數(shù)列中有q=1的情況，因此學(xué)生2給出的公式不全面.理解公式的來龍去脈，走出機(jī)械記憶的怪圈，就能有效避免忽視特例導(dǎo)致的失誤.

(全班學(xué)生給學(xué)生1、學(xué)生2報(bào)以熱烈的掌聲.)

接下來的基本訓(xùn)練題較容易，學(xué)生都躍躍欲試.學(xué)生3走上講臺(tái)展示第(1)題的解答：

學(xué)生4跑上講臺(tái)，拿起教鞭，指點(diǎn)著數(shù)列的項(xiàng)對(duì)大家說：這里有n+1項(xiàng)，原式應(yīng)等于2n+1-1.但是學(xué)生3并不服氣：經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，顯然成立.

(這時(shí)教室里一片寂靜，學(xué)生陷入沉思，心智展開充分的辨析活動(dòng)，孰是孰非，原因何在?)

討論后，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：正確答案為2n+1-1.注意到n=1，左邊=1+21=3與21+1-1相等.

(至此，大家心悅誠服地接受了學(xué)生4的結(jié)果).

然后學(xué)生5、學(xué)生6、學(xué)生7分別展示了第(2)、第(3)、第(4)題的做法：

教師肯定了以上學(xué)生的解法，并與學(xué)生共同歸納了數(shù)列求和的基本思路：轉(zhuǎn)化為等差(等比)數(shù)列、拆項(xiàng)抵消、分類討論等，尤其要注意所給數(shù)列的項(xiàng)數(shù).為了培養(yǎng)學(xué)生的洞察力及思維的機(jī)敏性，教師啟示學(xué)生觀察第(4)題的特征，思考不討論求和的解法，從而激發(fā)學(xué)生積極搜索有效信息，開辟新的思維通道.

學(xué)生8運(yùn)用推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的思路給出了新的解法：

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用“乘減法”求數(shù)列前n項(xiàng)和是十分重要的方法，在數(shù)列求和中廣泛應(yīng)用.

接下來，引領(lǐng)學(xué)生共同研究余下的2個(gè)例題.學(xué)生9解答了第(5)題：

點(diǎn)評(píng)抓住通項(xiàng)公式，是求數(shù)列前n項(xiàng)和的重要環(huán)節(jié).

學(xué)生10給出了第(6)題的解答，令

式(1)的左右2邊同乘以a，得

此時(shí)，已有學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)生10的解答過程不嚴(yán)謹(jǐn).

學(xué)生11認(rèn)為在式(3)中對(duì)a+a2+…+an求和時(shí)，已默認(rèn)了該數(shù)列為等比數(shù)列 a，a2，…，an.事實(shí)上當(dāng)a=0時(shí)，它不是等比數(shù)列，此時(shí)Sn=0，這個(gè)結(jié)果蘊(yùn)含于a≠1時(shí)的形式內(nèi).這就是說，必須分類討論后歸納出正確的答案，即

以上6道題并不復(fù)雜，選題旨在幫助學(xué)生歸納基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，引領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)列求和的基本思維策略，最后教師與學(xué)生共同研究了一道學(xué)案之外的思考題：

這道題課前沒有做過，學(xué)生比較生疏，沒有現(xiàn)成的模式可以套用，必須臨場(chǎng)發(fā)揮，具體問題具體分析.良久不見學(xué)生舉手，可見學(xué)生思維受阻，教師不急于告訴學(xué)生方法，而是啟示學(xué)生從已知條件{an}為等差數(shù)列，{akn}為等比數(shù)列去挖掘數(shù)列{kn}的特征，然后啟迪學(xué)生從聯(lián)結(jié)2個(gè)數(shù)列的紐帶上去尋找關(guān)系，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單入手，尋找階梯一步一步走出困境.

總評(píng) 盡管學(xué)生12沒有走完全程，但邁出了艱難的第一步.學(xué)生13終于在“紐帶”上找到了希望.

(全班響起了熱烈的掌聲，這掌聲既是對(duì)這2位學(xué)生的鼓勵(lì)，更是對(duì)他們不畏艱難、勇于攀登精神的贊美.下課了，學(xué)生們?nèi)匀挥嗯d未盡，仍在追思其中的奧妙.)

1.3 初步效果

整堂課，教師占用的時(shí)間不足10分鐘，教學(xué)的重心是學(xué)生將自學(xué)的內(nèi)容、心得在課堂上交流，在交流的過程中去偽存真，完善自我，開拓思維.學(xué)生深深地感受到，教師把其推到前臺(tái)，匯報(bào)其所思、所做，真正有了主人的感覺，不再是被動(dòng)接受的容器.這不但鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力、思辨能力，提高了解題速度、書寫規(guī)范意識(shí)，加強(qiáng)了學(xué)習(xí)自覺性，而且讓學(xué)生獲得了學(xué)習(xí)的愉悅，收獲了成長(zhǎng)的勇氣和信心.

2 幾點(diǎn)啟示

在近幾年中，筆者邊學(xué)習(xí)、邊實(shí)踐、邊思考，終于摸索出“自學(xué)交流，自主成長(zhǎng)”的成功模式，取得了驕人的教學(xué)業(yè)績(jī)，收到了同行專家的高度贊揚(yáng).深刻反思筆者的教學(xué)過程，有幾點(diǎn)重要啟示，值得廣大同行關(guān)注.

啟示1 讓出講臺(tái)，不教而教

“課堂教學(xué)的重心究竟在哪里?是以教為主還是以學(xué)為主?”這是很多同行疑惑的問題，有些同行沒有加以思考，重復(fù)著“我講你聽”的老調(diào).數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)”.筆者在教學(xué)中，讓出講臺(tái)，把以教為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)為主，達(dá)到不教而教的目的，收到了很好的效果.教師的任務(wù)主要是編制學(xué)案、了解學(xué)情，把傳統(tǒng)的教師講解型轉(zhuǎn)變?yōu)闃?gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng);教師是活動(dòng)的組織者、參與者、協(xié)調(diào)者，只在必要時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥.

俄羅斯數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)看作數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，即看作某種思維活動(dòng)的教學(xué)，這個(gè)看法有建設(shè)性的，學(xué)生在教師設(shè)置的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，認(rèn)知數(shù)學(xué)，開拓思維，培養(yǎng)和發(fā)展能力，才能把傳統(tǒng)型教學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在活動(dòng)中掌握數(shù)學(xué).

啟示2 自學(xué)交流，凸現(xiàn)主體

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：直接從教師或書本那兒被動(dòng)地不假思索地接受過來的知識(shí)，可能很快忘掉，難以真正變成自己的東西.在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)交流、探究的平臺(tái)，讓學(xué)生感受到自己不再是聽眾，而是數(shù)學(xué)活動(dòng)的主角，就會(huì)變被動(dòng)接受為主動(dòng)參與，毫無顧忌地將自己的能力展現(xiàn)給大家.無論是對(duì)還是錯(cuò)，正確的東西可及時(shí)得到確認(rèn)，謬誤的東西可以及時(shí)得到糾正，此時(shí)的注意力，總是比較集中的，容易留下深刻印象.

在交流中切磋可以集思廣益，在交流中相互啟迪可以開闊視野，使數(shù)學(xué)課不再枯燥和茫然，而成為一種責(zé)任、一種使命.這種交流帶給學(xué)生動(dòng)力，甚至產(chǎn)生按奈不住的沖動(dòng)，學(xué)生會(huì)在這種交流中認(rèn)識(shí)自我、改變自我、超越自我.

啟示3 符合規(guī)律，喜結(jié)碩果

在教學(xué)中體會(huì)到，學(xué)生是最寶貴的教育資源.學(xué)生既是學(xué)習(xí)的發(fā)生之處，也是學(xué)習(xí)的終極之處，教師在課堂上所做的一切，最后都得由學(xué)生自己去完成.當(dāng)教師構(gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)交流、探究平臺(tái)，引領(lǐng)學(xué)生積極參與活動(dòng)過程時(shí)，無論其學(xué)得好還是差，學(xué)生的掌聲都會(huì)使參與者得到心靈的震撼，讓自尊得到撫慰，精神得到愉悅，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣在心底閃光.

學(xué)生在學(xué)習(xí)交流中既展示成果也暴露問題，使問題能得到及時(shí)糾正，并銘記錯(cuò)因，有效提高正確率.

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師告訴學(xué)生的解題技巧往往被束之高閣，不能靈活運(yùn)用，而在教學(xué)中若能創(chuàng)設(shè)情境，引領(lǐng)學(xué)生優(yōu)化思路，在比較中感受簡(jiǎn)潔，則最優(yōu)方案容易在大腦的信息庫中被激活，做到靈活運(yùn)用，如第(4)題：學(xué)生根據(jù)自身思維特點(diǎn)，將n分為奇、偶數(shù)討論，是無可厚非的，要求學(xué)生不討論直接求和時(shí)，學(xué)生在反復(fù)審題時(shí)發(fā)現(xiàn)命題具有“等比數(shù)列”特征，只要運(yùn)用乘減法就能一氣呵成.學(xué)生在深思熟慮中領(lǐng)悟乘減法，就能靈活求解一類特殊前n項(xiàng)和的問題，并有效避免忽視對(duì)公比q討論產(chǎn)生的失誤.

當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師不急于包辦代替，而是啟迪思維，引領(lǐng)學(xué)生尋找階梯走出困境，這樣的過程雖然艱難，卻使同學(xué)在積極的心智活動(dòng)中，探索前行到達(dá)成功的彼岸，學(xué)生不僅增長(zhǎng)了獨(dú)立分析問題和解決問題的能力，更是增添了自強(qiáng)不息、立志成才的信心.這樣的教學(xué)無疑是學(xué)生生活中的燦爛陽光，由此造就出生機(jī)逢勃的一代新人.

經(jīng)過多輪教學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者所教班級(jí)學(xué)生在高考中連續(xù)多年取得優(yōu)異成績(jī).更可喜的是，學(xué)生綜合能力在輕松高效的課堂中得到提高，培養(yǎng)的學(xué)生不僅成績(jī)優(yōu)秀，而且口才好、能力強(qiáng)，終身受益.學(xué)生無不感慨地說：原來數(shù)學(xué)課可以這樣上，學(xué)習(xí)可以這么學(xué);上數(shù)學(xué)課不僅是一個(gè)學(xué)習(xí)過程，更是一個(gè)鍛煉的過程;在這里收獲的不僅是知識(shí)、方法和能力，更是青春的成長(zhǎng)、成才.