精心設(shè)置問(wèn)題串 意義建構(gòu)結(jié)論

●王華民 朱光偉 (無(wú)錫市立人高中數(shù)學(xué)名師工作室 江蘇無(wú)錫 214161)

高中新教材(人教版)主編章建躍先生歸納了我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的幾個(gè)主要問(wèn)題：(1)數(shù)學(xué)教學(xué)不自然、強(qiáng)加于人，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)產(chǎn)生不利影響;(2)缺乏問(wèn)題意識(shí)，不利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng);(3)重結(jié)果，輕過(guò)程……反思中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，能否在淡化應(yīng)試、注重培養(yǎng)思維能力方面打好基礎(chǔ)呢?

數(shù)學(xué)新授課中關(guān)于公式、法則、定理、推論一類(lèi)的教學(xué)，不妨稱(chēng)之為結(jié)論教學(xué).目前在結(jié)論教學(xué)中，不少教師重結(jié)論的應(yīng)用，輕結(jié)論的形成，弱化了學(xué)生的思維訓(xùn)練.但從本質(zhì)上看，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)，而數(shù)學(xué)思維活動(dòng)又集中表現(xiàn)為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程.如何選擇切入點(diǎn)?近幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，在結(jié)論的導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)置“問(wèn)題”，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激活學(xué)生的思維，這或許是改變章建躍先生前3個(gè)問(wèn)題的有效途徑.

1 通過(guò)聯(lián)系舊知，用問(wèn)題串導(dǎo)入，使學(xué)生在憤、悱狀態(tài)下學(xué)習(xí)結(jié)論

為了充分暴露學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，應(yīng)該把促使數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)起動(dòng)的初始問(wèn)題選為教學(xué)的起點(diǎn).一般而言，新知的學(xué)習(xí)往往是在舊知的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，可以把新知與舊知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)設(shè)為初始問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)某種問(wèn)題情境，使學(xué)生進(jìn)入憤、悱的狀態(tài)，為學(xué)生的思維活動(dòng)提供一個(gè)好的切入口.因此，從某種意義上說(shuō)，設(shè)計(jì)好初始問(wèn)題，也就從根本上設(shè)計(jì)好了一節(jié)課.

案例1 高中數(shù)學(xué)必修4“同角三角函數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)導(dǎo)入

(學(xué)生思考，回答.)

(3)sinα 與 cosα 有什么關(guān)系?tanα 與 sinα，cosα又有什么關(guān)系?

(學(xué)生思考.)

說(shuō)明 該方案用問(wèn)題串導(dǎo)入，讓學(xué)生嘗試解決.問(wèn)題(1)是從學(xué)生最熟悉的特殊角30°入手，讓學(xué)生在聯(lián)想舊知后，得到α=30°;問(wèn)題(2)設(shè)置了疑惑點(diǎn)，在一所三星級(jí)高中的班上有少數(shù)“尖子”能說(shuō)出不存在，因?yàn)?，4，5不能構(gòu)成三角形的3條邊，這些學(xué)生對(duì)直角三角形的勾股數(shù)很熟悉;問(wèn)題(3)是問(wèn)題(1)和問(wèn)題(2)的一般情形，點(diǎn)出本課的主題，學(xué)生帶著疑惑“到底是怎樣的關(guān)系”進(jìn)入憤、悱狀態(tài)，急于想知道謎底，故產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的動(dòng)力.再來(lái)回顧舊知——任意角三角函數(shù)的定義，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：可以通過(guò)平方解決.

對(duì)結(jié)論教學(xué)的導(dǎo)入，是從問(wèn)題導(dǎo)入(如案例1)還是從復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入，或是從多鋪墊導(dǎo)入，主要的差別在于思維含量.在新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上設(shè)計(jì)問(wèn)題串，要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)著力發(fā)掘.

2 通過(guò)聯(lián)系實(shí)際，用問(wèn)題串導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生探索結(jié)論的興趣和熱情

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.在教學(xué)活動(dòng)中，如果能根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)，聯(lián)系生活實(shí)際，從生活中挖掘、提煉素材，尋求激趣元素，用問(wèn)題串導(dǎo)入，那么便可以激發(fā)學(xué)生的探索興趣，而學(xué)習(xí)興趣對(duì)于提升學(xué)生思維和提高教學(xué)質(zhì)量是非常重要的.另外，從某些課堂反饋：學(xué)生被動(dòng)地跟著教師回答這個(gè)、操作那個(gè)，其實(shí)是在一種盲目的狀態(tài)下學(xué)習(xí)，目標(biāo)不清，其效率自然低下.該如何改變呢?可以嘗試在學(xué)習(xí)結(jié)論前，圍繞“為什么要學(xué)習(xí)結(jié)論”設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)結(jié)論的必要性，從而進(jìn)入自覺(jué)學(xué)習(xí)狀態(tài).

案例2 選修2-3中1.5節(jié)“二項(xiàng)式定理”的導(dǎo)入

教材與學(xué)情分析教材是從學(xué)生熟悉的(a+b)2的展開(kāi)式以及(a+b)3，(a+b)4的展開(kāi)式，提出問(wèn)題：你能寫(xiě)出(a+b)n(n∈N*)的展開(kāi)式嗎?研究的目標(biāo)比較明確.可見(jiàn)，新教材已經(jīng)關(guān)注了問(wèn)題引入，但顯得較為簡(jiǎn)約.“用教材教”促使我們思考，能否針對(duì)這一目標(biāo)提出一個(gè)學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題，讓他們?cè)趩?wèn)題情境中去探索和交流呢?

問(wèn)題1 今天是星期三，那么過(guò)820天后的那一天是星期幾?

讓學(xué)生先獨(dú)立思考或展開(kāi)相互交流、討論，再請(qǐng)代表回答.可能會(huì)出現(xiàn)以下幾種思路：(1)使用計(jì)算器，但一般計(jì)算器難以表達(dá)這個(gè)天文數(shù)字;(2)借助計(jì)算機(jī)，但需設(shè)計(jì)程序;(3)因?yàn)橐粋€(gè)星期7天，所以只要看這個(gè)數(shù)被7除余幾.

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單討論后，大家達(dá)成共識(shí)：不一定要求出該天文數(shù)字，只要將它轉(zhuǎn)化成被7除余幾的數(shù)學(xué)問(wèn)題即可.由820=(7+1)20可以猜想：被7除的余數(shù)為多少呢?

學(xué)生憑直覺(jué)，可能是1，但不知道結(jié)論是否正確.

問(wèn)題2 我們一起來(lái)研究二項(xiàng)式(a+b)n的展開(kāi)式，看它如何構(gòu)成?(略停片刻)

問(wèn)題3 面對(duì)一個(gè)一般情形的困難問(wèn)題，將如何處理呢?

生：特殊化，從特殊到一般.

師：好!我們就從n=2開(kāi)始吧，觀察(a+b)2，(a+b)3的展開(kāi)式：

讓學(xué)生找出每一項(xiàng)的構(gòu)成，并歸納出各項(xiàng)字母與系數(shù)的特征……

解決起始問(wèn)題，前后呼應(yīng).

說(shuō)明 問(wèn)題1是學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境：一方面能激發(fā)學(xué)生探索的欲望和興趣;另一方面，該問(wèn)題具有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生一時(shí)又難以解答，他們帶著懸念和期盼投入探索之中.問(wèn)題2是為了明確本堂課的教學(xué)目標(biāo).問(wèn)題3可促使學(xué)生思考解決問(wèn)題的常用方法，這是從問(wèn)題解決的需要及方法論的角度精心設(shè)計(jì)的一組問(wèn)題串.

3 通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，用問(wèn)題串導(dǎo)入，使學(xué)生在認(rèn)知沖突中體驗(yàn)結(jié)論的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作包括動(dòng)手畫(huà)圖、裁剪、計(jì)算、媒體演示等.在教學(xué)預(yù)設(shè)中，應(yīng)根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)，安排學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，從中提煉并形成問(wèn)題串，這是學(xué)習(xí)、獲取結(jié)論的重要手段.

案例3 “直線與平面垂直的判斷定理”的導(dǎo)入

教材與學(xué)情分析在學(xué)習(xí)線面垂直的判斷定理之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了線面垂直的定義，因此線面垂直的判定定理就不是本課的一個(gè)初始問(wèn)題，而是有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題.對(duì)于該定理，蘇教版教材采用的是操作確認(rèn)：用一張矩形紙片對(duì)折后展開(kāi)并豎立在桌面上，觀察到折痕與桌面垂直;再用旗桿從2個(gè)不同的方向進(jìn)行驗(yàn)證，得到判定定理.學(xué)生能理解，但其思維要求較低，可考慮設(shè)置問(wèn)題串.

問(wèn)題1 如圖1所示，一根旗桿與地面垂直，如何進(jìn)行檢驗(yàn)?

說(shuō)明 該問(wèn)題是為了回答學(xué)生的疑問(wèn)“為什么有了定義還要研究判定”而設(shè)置的過(guò)渡問(wèn)題.學(xué)生思考后感到用定義檢驗(yàn)不方便，那么用什么辦法呢?教師巧妙設(shè)置了思維障礙，讓學(xué)生經(jīng)歷思維上的挫折，引發(fā)認(rèn)知沖突，促使學(xué)生積極探索判定方法，思考的方向是將平面內(nèi)的直線條數(shù)從“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”.教師接著問(wèn)：在地面上至少需要幾條?1條?2條?這2條是否平行?學(xué)生有不同觀點(diǎn)在碰撞……

圖1

圖2

考慮到初中學(xué)生已經(jīng)有大量的折紙操作，因此可設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作情境：請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片，一起做實(shí)驗(yàn).如圖2，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).

問(wèn)題2 折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直?

說(shuō)明 通過(guò)折紙活動(dòng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕是BC邊的高時(shí)，所在直線AD與桌面所在平面α垂直，如圖3所示.讓學(xué)生沿點(diǎn)A進(jìn)行各種翻折，充分觀察、思考與討論，教師參與其中.

圖3

圖4

問(wèn)題3 (反面思考)當(dāng)折痕AD與BC不垂直時(shí)，繞AD無(wú)論怎樣翻折，翻折后始終與桌面所在平面α不垂直嗎?為什么?

說(shuō)明 判定一條直線與一個(gè)平面不垂直，只要該直線與平面內(nèi)的一條直線不垂直即可，這是回歸定義的分析.

問(wèn)題4 如圖4，當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí)，繞AD無(wú)論怎樣翻折，翻折之后的垂直關(guān)系A(chǔ)D⊥BD，AD⊥CD是否發(fā)生變化?由此能得到什么結(jié)論?

學(xué)生感到垂直關(guān)系是不變的.這樣，直線與平面垂直的判定定理就呼之欲出了!

說(shuō)明 高中新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)立體幾何教學(xué)中用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算的方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì).但怎樣操作既能歸納出判定定理，又不降低學(xué)生的思維要求呢?本課充分利用教材中的折紙實(shí)驗(yàn)素材，給學(xué)生提供多次操作的機(jī)會(huì)，通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)、觀察、操作，不僅從正面驗(yàn)證，也從反面說(shuō)明，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突和操作中體驗(yàn)結(jié)論的形成過(guò)程，理解會(huì)更深刻，效果會(huì)更突出.

4 根據(jù)學(xué)生的差異，用不同層次問(wèn)題串導(dǎo)入，使學(xué)生在結(jié)論的探索過(guò)程中思維得到有效訓(xùn)練

因不同層次的學(xué)生在接受、解決問(wèn)題方面存在差異性，教師要考慮設(shè)計(jì)一些差異性的問(wèn)題，包括問(wèn)題的起點(diǎn)、問(wèn)題的深淺等.

案例4 必修1“函數(shù)的零點(diǎn)”存在定理

在學(xué)習(xí)了“零點(diǎn)”的概念之后，將學(xué)習(xí)“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”.如果僅僅是介紹該定理，只需3～4分鐘，之后安排大量的變式訓(xùn)練.這樣，雖然學(xué)生當(dāng)堂接受沒(méi)有問(wèn)題，但對(duì)于此定理的印象不深、遷移運(yùn)用不暢，達(dá)不到“發(fā)展學(xué)生思維”的目的.面對(duì)不同層次的學(xué)生，可以設(shè)置不同的問(wèn)題串導(dǎo)入.

對(duì)于層次較高的班級(jí)學(xué)生，可設(shè)置以下問(wèn)題串：

總問(wèn)題 如何判定一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)?

(讓學(xué)生思考、探究，部分學(xué)生能想到：特殊化，從具體而熟悉的函數(shù)入手，作為起點(diǎn).)

問(wèn)題1 函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間(2，3)上是否存在零點(diǎn)?

(學(xué)生通過(guò)求根公式，得出函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上存在零點(diǎn).)

問(wèn)題2 從“形”的角度，如何判定函數(shù)在區(qū)間(2，3)上是否有零點(diǎn)及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

(學(xué)生畫(huà)出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖像，觀察得到函數(shù)在區(qū)間(2，3)上有一個(gè)零點(diǎn).)

之后，教師進(jìn)一步提出下列問(wèn)題：

問(wèn)題3 請(qǐng)大家觀察圖5，如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)這一事實(shí)呢?

(讓學(xué)生思索1分鐘.)

問(wèn)題4 你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)與端點(diǎn) f(2)，f(3)，f(0)的函數(shù)值的符號(hào)有什么直接聯(lián)系嗎?

(由小組討論2分鐘，再請(qǐng)代表根據(jù)圖5，交流并概括函數(shù)零點(diǎn)存在定理.)

對(duì)于層次偏低的班級(jí)學(xué)生，教師要通過(guò)減少隱性問(wèn)題、增加顯性問(wèn)題等來(lái)降低難度.設(shè)置如下：減少總問(wèn)題，直接提出具體的問(wèn)題1和問(wèn)題2，把問(wèn)題3和問(wèn)題4改為以下較為顯性的問(wèn)題串：

(1)在區(qū)間(2，3)上有沒(méi)有零點(diǎn)?f(2)，f(3)值的正負(fù)號(hào)如何?

(2)在區(qū)間(0，2)上有沒(méi)有零點(diǎn)?f(0)，f(2)的正負(fù)號(hào)如何?

(3)在區(qū)間(3，+∞)上有沒(méi)有零點(diǎn)?注意函數(shù)的變化趨勢(shì).

(4)從以上結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)與端點(diǎn)f(2)，f(3)，f(0)值的符號(hào)有什么直接聯(lián)系嗎?

圖5

說(shuō)明 該案例是對(duì)結(jié)論“零點(diǎn)存在定理”分層設(shè)置了問(wèn)題串，如上述總問(wèn)題和問(wèn)題3都具有隱蔽性，思維起點(diǎn)較高，適宜基礎(chǔ)較好的學(xué)生.課堂顯示：雖然學(xué)生在探究過(guò)程中遇到了一些困難和障礙，但這些問(wèn)題引發(fā)了學(xué)生的積極思維.問(wèn)題4較為顯性和具體，大部分學(xué)生都能解答.而設(shè)置更為顯性的問(wèn)題串，是為了給層次較低的學(xué)生一次成功的機(jī)會(huì).雖然問(wèn)題的探究花費(fèi)了15分鐘，但這樣的“分級(jí)提問(wèn)”促使了不同層次學(xué)生的思考，使得每一位學(xué)生的思維都得到激活，體現(xiàn)了層次教育、教育公平和成功教育.

面對(duì)一些思維活躍的尖子生，有時(shí)還可以通過(guò)提出跨度較大的挑戰(zhàn)性問(wèn)題，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論;有時(shí)也可以給尖子生預(yù)留點(diǎn)時(shí)間，讓他們自己發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.

教學(xué)實(shí)踐表明：在教師的必要引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞導(dǎo)入問(wèn)題思考，不僅經(jīng)歷了探究的過(guò)程、感受了結(jié)論的意義形成表象，而且注意力高度集中，催生了靈感，建構(gòu)了結(jié)論.

［1］ 孔企平，張維忠，黃榮金.數(shù)學(xué)新課程學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］ 孔小明.“直線與平面垂直的定義與判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)與說(shuō)明［J］.數(shù)學(xué)通訊，2010(12)：14-15.