數(shù)學(xué)課中的題組教學(xué)

●牟正道 (路橋區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 浙江臺(tái)州 318050)

如何提升課堂教學(xué)效率，是經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)課題.衡量課堂教學(xué)效率的高低雖然有許多不同的指標(biāo)體系，但是否能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的思維能力和充分利用教學(xué)時(shí)間卻是最基本也最重要的3個(gè)方面.題組教學(xué)是將若干個(gè)具有某些共同屬性或有某種相關(guān)聯(lián)系的問(wèn)題并成一組或串成一串、從上到下一個(gè)問(wèn)題接著一個(gè)問(wèn)題、一環(huán)緊扣一環(huán)、一氣呵成的教學(xué)方法.在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，利用題組教學(xué)可以較好地提升課堂教學(xué)效率.

1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣是一個(gè)人力求接觸、認(rèn)識(shí)、掌握某種事物和參與某種活動(dòng)的心理傾向，是學(xué)生學(xué)習(xí)積極性中一個(gè)最積極、最活躍的心理因素.利用數(shù)學(xué)題組，使整個(gè)教學(xué)過(guò)程保持緊密聯(lián)系，一環(huán)緊扣一環(huán)，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)層層遞進(jìn)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終保持濃厚的興趣，避免產(chǎn)生倦怠和厭煩，自覺(jué)、積極、主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)和探索.

求證這組題是簡(jiǎn)單的，只須分別令a=b=1;a=1，b=2;a=1，b=-1和a=1，b=i就得到了上述等式.這個(gè)題組從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸遞進(jìn)，學(xué)生不會(huì)感到只是簡(jiǎn)單的重復(fù)，因?yàn)樽C明了上述4個(gè)等式后，學(xué)生會(huì)受到啟發(fā)，在遇到求證類(lèi)似的等式時(shí)就會(huì)想到利用二項(xiàng)式定理去嘗試.特別對(duì)二項(xiàng)式定理中的a，b賦不同的值，得到不同的等式，學(xué)生會(huì)更感興趣.如

繼續(xù)賦予a，b不同的值，還可以編制出更多系列數(shù)學(xué)題組.更重要的是，學(xué)生通過(guò)編制題組，相互之間交換編制的題組和答案，還會(huì)發(fā)現(xiàn)許多有趣的題組，從而對(duì)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用有一個(gè)更深的認(rèn)識(shí).這樣的效果，是采用互不相干的單個(gè)題進(jìn)行教學(xué)很難獲得的.

學(xué)生求知欲極強(qiáng)，渴望學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及將來(lái)的工作和生活打下良好的基礎(chǔ).但同時(shí)，他們又不喜歡灌輸式教學(xué)，他們喜歡探究、創(chuàng)新、刺激.從心理學(xué)的角度看，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中采用題組教學(xué)，符合學(xué)生的心理，能夠不斷地刺激學(xué)生，緊緊地吸引住學(xué)生，使他們不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象而感到單調(diào)和乏味，始終保持旺盛的學(xué)習(xí)興趣.

2 提高學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)散思維能使學(xué)生深入探究、不斷拓展，化歸思維能使學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通.在數(shù)學(xué)課堂中采用題組教學(xué)，能較好地提高學(xué)生發(fā)散和化歸的思維能力.

例2 (1)直線y=kx與圓x2+y2-6x-4y+10=0相交于2個(gè)不同點(diǎn)A，B，當(dāng)k取不同的實(shí)數(shù)值時(shí)，求AB中點(diǎn)的軌跡;

(4)已知拋物線y2=4px(p＞0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解(1)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中點(diǎn) M(x，y)，則

因此，所求的軌跡是圓x2+y2-3x-2y=0在已知圓內(nèi)的一段弧.

(2)設(shè)重心 P(x，y)，A(x1，y1)，則 A 是 OP 的定比分點(diǎn)，且

因?yàn)辄c(diǎn)A在已知橢圓上，所以所求的軌跡方程為

因?yàn)镺A⊥OB，OM⊥AB，則M不為原點(diǎn)，所以，所求軌跡方程為x2+y2-4px=0(x≠0).

這4個(gè)問(wèn)題雖然題設(shè)條件不同，所求的具體內(nèi)容也不一樣，但是，它們卻有共同之處：都是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，動(dòng)點(diǎn)都在某條動(dòng)直線上，而動(dòng)直線都與已知圓錐曲線相交.因此，它們的解題思路是相同的，都是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)直線與已知圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo);然后根據(jù)已知條件，尋找所求點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)直線與已知圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，用所求點(diǎn)的坐標(biāo)表示交點(diǎn)坐標(biāo);最后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入已知圓錐曲線方程化簡(jiǎn)后得解.這種方法可以推廣到一般情況，即有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去就能解決問(wèn)題.通過(guò)這一題組的教學(xué)，可以使學(xué)生掌握解決一類(lèi)求軌跡問(wèn)題的通法——轉(zhuǎn)移法.這在單題教學(xué)中是很難有這樣的教學(xué)效果的.從例2可知，題組教學(xué)有利于學(xué)生對(duì)形式各異的眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找出數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決方法的規(guī)律，并進(jìn)行有效的歸類(lèi)，從而提高化歸思維能力，使學(xué)生從題海中跳出來(lái)，進(jìn)行有效記憶和靈活運(yùn)用，把更多的時(shí)間和精力放在探究和研討上，學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.

3 提高課堂時(shí)間利用率

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時(shí)間十分寶貴，利用數(shù)學(xué)題組，可以減少教師板書(shū)、講解和學(xué)生讀題、審題的時(shí)間，能使教師的講解一氣呵成，從而充分利用時(shí)間，增大課堂容量.

例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知棱長(zhǎng)為a.

(1)求直線A1B1與AD的位置關(guān)系和距離;

(2)求直線BD1與平面ABCD所成角的正弦值;

(3)求平面ABD1和平面BCD1所成二面角的大小;

(4)求平面A1AD1和平面ABD1的位置關(guān)系;

(5)求證：異面直線C1D和BD1互相垂直;

(6)取A1D1的中點(diǎn)M，D1C1的中點(diǎn)N，DD1中點(diǎn)Q，求證：平面MNQ∥平面AB1C;

分析(1)由A1B1∥AB，AB⊥AD，知AA1是異面直線A1B1與AD的公垂線，從而A1B1與AD的距離為a.

(2)因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以BD為直線BD1在平面ABCD的射影，∠D1BD即為所求線面所成的角.又因?yàn)镈D1=a，BD1=a，所以

故所求2個(gè)平面所成的角為120°.

(4)由AB⊥AD，AB⊥AA1，得AB⊥平面AD1A1，而AB?平面ABD1，于是平面AD1A1和平面ABD1互相垂直.

(5)由 BC⊥平面 CC1D1D，得 BC⊥C1D.又 C1D⊥CD1，則 C1D⊥平面 BCD1，于是 C1D⊥BD1.

(6)因?yàn)镈1C1的中點(diǎn)為N，DD1的中點(diǎn)為Q，所以NQ∥C1D.又AB1∥C1D，得NQ∥平面AB1C.同理可得，MQ∥B1C，從而MQ∥平面AB1C，于是平面MNQ∥平面AB1C.

這個(gè)題組中第(1)小題的解題過(guò)程涉及直線與直線的平行、垂直，異面直線及其公垂線，2條直線之間的距離等概念和有關(guān)定理;第(2)小題涉及直線在平面的射影、直線與平面所成角、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí);第(3)小題涉及直線與平面、直線與直線的垂直，二面角及其平面角，余弦定理等知識(shí);第(4)小題涉及直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的有關(guān)概念和定理;第(5)小題涉及直線與直線、直線與平面垂直的有關(guān)定理;第(6)小題涉及三角形的中位線，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的有關(guān)概念和定理;第(7)小題涉及直線與平面垂直，直線與直線垂直、平行，2條異面直線的公垂線、所成角以及距離等有關(guān)知識(shí).通過(guò)這樣一組題就可以把中學(xué)階段立體幾何中直線和平面關(guān)系的主要知識(shí)串成一串，使得畫(huà)圖和審題的時(shí)間大為減少.既能使教師的講解一氣呵成，又能在一節(jié)課內(nèi)將立體幾何的基本知識(shí)復(fù)習(xí)完畢;既能照顧到課堂教學(xué)時(shí)知識(shí)體系的完整性，又能減少分若干節(jié)課教學(xué)所帶來(lái)的承上啟下和小結(jié)所需的時(shí)間.因此，與互不相干的單題教學(xué)相比較，采用題組教學(xué)可以更充分地利用寶貴的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)間.

綜上所述，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂采用題組教學(xué)，一環(huán)緊扣一環(huán)，層層遞進(jìn)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;有利于學(xué)生深入探究、不斷拓展、舉一反三、觸類(lèi)旁通，提高發(fā)散思維和化歸思維能力;能減少板書(shū)、畫(huà)圖、讀題、銜接等時(shí)間，更充分地利用課堂教學(xué)時(shí)間，增大課堂容量.因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中采用題組教學(xué)，有利于提升教學(xué)效率.