節(jié)點分析法及其MATLAB輔助實現(xiàn)

李彩萍，李樂生

（太原理工大學(xué)電氣與動力工程學(xué)院，山西 太原 030024）

1 引言

節(jié)點分析法和網(wǎng)孔分析法是《電路分析基礎(chǔ)》課程中兩種主要的分析方法，可用于直流電阻電路及正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析求解。其中，網(wǎng)孔分析法適用于網(wǎng)孔數(shù)少于節(jié)點數(shù)的平面電路的分析，其實質(zhì)是列電路中各網(wǎng)孔的KVL方程；節(jié)點分析法則適用于節(jié)點數(shù)少于網(wǎng)孔數(shù)的平面及非平面電路的分析求解，其實質(zhì)是列電路中各獨立節(jié)點的KCL方程。對平面電路來說，網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法是兩種對偶方法，因此，本文針對節(jié)點分析法在授課過程中學(xué)生較難掌握以及較易出錯的知識點進(jìn)行歸納總結(jié)，最后給出了用MATLAB軟件對節(jié)點方程進(jìn)行輔助求解的過程，并舉例進(jìn)行了詳細(xì)說明。

2 節(jié)點分析法的原理

節(jié)點分析法是以節(jié)點電壓為未知量，聯(lián)立方程，求解各節(jié)點電壓值，然后進(jìn)一步求出待求量的分析方法[1]。這要求同一電路各節(jié)點電壓必須是一組獨立和完備的變量。以圖1直流電阻電路為例，列出其節(jié)點電壓方程如方程組（1）所示：

圖1 節(jié)點分析法示例1

式中，G11、G22分別為節(jié)點1、節(jié)點2的自電導(dǎo)，節(jié)點的自電導(dǎo)等于與該節(jié)點相連的各電阻支路電導(dǎo)之和。G12、G21分別為節(jié)點1與節(jié)點2、節(jié)點2與節(jié)點1的互電導(dǎo)，互電導(dǎo)是兩個相鄰節(jié)點公共電阻支路的電導(dǎo)。方程右端為流向各節(jié)點的理想電流源電流的代數(shù)和，用isii表示；其中流入節(jié)點電流取“+”，流出節(jié)點電流取“-”。因此將圖1中各元件參數(shù)代入方程組（1）可得方程組（2）。

對有N個節(jié)點的電路，同理可列出N-1個獨立節(jié)點方程。

3 節(jié)點分析法的重點和難點

（1）電路中如果含有理想（或受控）電壓源串聯(lián)電阻支路，則根據(jù)等效變換，可將其等效變換為電流源并聯(lián)電阻支路。電路中如果含有理想（或受控）電流源串聯(lián)電阻支路，則根據(jù)替換定理，可將理想（或受控）電流源串聯(lián)電阻支路等效變換為一個理想（或受控）電流源支路。對電流源串聯(lián)電阻支路，學(xué)生在分析時容易忽視這種等效變換，在一個方程的左端既考慮了串聯(lián)電阻，在同一個方程的右端又考慮了理想（或受控）電流源的電流。避免出現(xiàn)這種錯誤的有效手段，除了將理想（或受控）電流源串聯(lián)電阻支路等效變換為一個理想（或受控）電流源支路方法外，還可以在理想（或受控）電流源和其串聯(lián)電阻之間增加一個節(jié)點，將理想（或受控）電流源和其串聯(lián)電阻看成兩條支路來進(jìn)行處理。

（2）參考節(jié)點的選取。由于節(jié)點分析法實質(zhì)是列各個節(jié)點的KCL方程，這樣對有n個節(jié)點的電路，獨立節(jié)點數(shù)為n-1，根據(jù)n-1個獨立節(jié)點列出的KCL方程恰好是一組獨立的方程。因此在用結(jié)點分析法求解時，需要首先選定其中一個節(jié)點作為參考節(jié)點。參考節(jié)點的選取應(yīng)該遵循以下幾個原則：①由于人們一般習(xí)慣認(rèn)為下面是地，因此在選取參考節(jié)點時，可根據(jù)人們的習(xí)慣選電路下面的節(jié)點作為參考節(jié)點。如圖1中節(jié)點3恰好位于電路的下部。如果電路下方有兩個或兩個以上節(jié)點，則選擇連接支路比較多的節(jié)點作為參考節(jié)點。②如果電路中含有理想（或受控）電壓源，通常選取電壓源的負(fù)極作為參考節(jié)點。這樣，電壓源正極對應(yīng)節(jié)點的節(jié)點電壓就是該電壓源電壓。因此不必再列寫該節(jié)點電壓方程。部分同學(xué)易犯的錯誤是不進(jìn)行參考節(jié)點的選取，給所有節(jié)點都列寫節(jié)點方程。

（3）如果兩個獨立節(jié)點之間包含一個理想（或受控）電壓源支路，則在列寫這兩個獨立節(jié)點的節(jié)點方程時，需要將該理想（或受控）電壓源所在支路電流也考慮進(jìn)去。如果將該理想（或受控）電壓源所在支路電流放在方程左端，則流出節(jié)點電流前取“+”號，否則取“-”號。如果將該理想（或受控）電壓源支路電流放在方程右端，則恰好相反。學(xué)生們易犯的錯誤是忽視了該理想（或受控）電壓源支路流過的電流。因此授課時，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)節(jié)點分析法實質(zhì)是列各個節(jié)點的KCL方程，與每個和獨立節(jié)點相連的所有支路電流都應(yīng)該考慮。

下面以圖（2）電路圖為例，進(jìn)一步說明以上幾個難點。

首先，在該電路圖中含有一個1V理想電壓源串聯(lián)1個3S電導(dǎo)，為簡化分析，應(yīng)將其變換為一個電流源并聯(lián)電導(dǎo)的組合。

圖2 節(jié)點分析法示例2

圖3 節(jié)點分析法示例2分析圖1

圖4 節(jié)點分析法示例2分析圖2

其次，在該電路圖中含有一個8A理想電流源串聯(lián)1個2S電導(dǎo)，此時可采用兩種方法處理，一種方法是在8A理想電流源和2S電導(dǎo)之間增加一個節(jié)點4，見圖3，則電路的獨立節(jié)點數(shù)為4個。另一種方法是將8A理想電流源串聯(lián)2S電導(dǎo)的組合等效變換為一個8A的電流源，見圖4，此時電路的獨立節(jié)點數(shù)為3個。比較簡單的方法是采用圖4的簡化電路，這樣可以減少一個節(jié)點方程。

另外，該電路如果選用節(jié)點0作為參考節(jié)點，比較符合人們的思維習(xí)慣。但此時節(jié)點2和節(jié)點3之間有一個22 V獨立電壓源，因此需要在電路圖上標(biāo)注流經(jīng)22 V獨立電壓源電流及其參考方向。根據(jù)圖 4 列寫的節(jié)點方程見（3）、（4）、（5）和（6）式：

如果根據(jù)圖（3）列寫節(jié)點方程，則需要再增加方程（7）：

4 MATLAB軟件輔助求解節(jié)點電壓方程的實現(xiàn)

MATLAB語言是一種廣泛應(yīng)用于工程計算及數(shù)值分析領(lǐng)域的新型高級語言，其強(qiáng)大的數(shù)值計算功能、圖形顯示功能、簡潔的編程語言及可交互的集成環(huán)境，深受科研工作者及工程技術(shù)人員的歡迎。

用MATLAB進(jìn)行電路理論的輔助分析，主要包括3種方法[2]：第一種是先通過手工建立電路方程，再借助MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計算功能求解已建立的電路方程。第二種是利用節(jié)點支路關(guān)聯(lián)矩陣和支路VAR[3]，通過矩陣運算推導(dǎo)出節(jié)點方程，但這種方法需要利用電路的拓?fù)鋱D，因此建立節(jié)點方程的過程比較繁瑣。第三種方法是采用符號電路分析，可用于電路設(shè)計時確定元件的參數(shù)。下面以第一種方法為例，說明采用MATLAB求解采用前述方法已建立的電路方程的詳細(xì)過程。

設(shè)已建立的電路方程如式（8）

其中：x是由電路中的一些電壓或和電流變量構(gòu)成的列向量；A為系數(shù)矩陣，取決于電路元件的值；B為右端列向量，其元素與電壓源的電壓和電流源的電流有關(guān)。則用MATLAB求解該方程的指令為

下面給出求解節(jié)點電壓方程（3）、（4）、（5）、（6）中未知變量U1、U2、U3及I的程序：%node.m；求解節(jié)點電壓方程的node.m程序U=zeros(4，1)；%對代求變量進(jìn)行初始化，其中代求變量為U1、U2、U3、I。

A=[7-3-4 0；-3 4 0 1;-4 0 9-1;0-1 1 0]；%建立系數(shù)矩陣A。

B=[-11；3；25；22]；%根據(jù)方程右端參數(shù)建立矩陣 B。

U=AB

輸入程序后點擊運行按鈕，則在MATLAB COMMAND WINDOW界面顯示如下結(jié)果：

則 U1=-4.5 V、U2=-15.5 V、U3=6.5 V、I=51.5 V。

用MATLAB輔助求解線性代數(shù)方程的優(yōu)勢不是很明顯，但在求解以復(fù)數(shù)為變量且方程前面的系數(shù)也是復(fù)數(shù)的節(jié)點電壓相量方程時的優(yōu)勢就比較顯著。以圖5為例進(jìn)行說明。

圖5 正弦穩(wěn)態(tài)電路的節(jié)點分析法示例

圖6 圖5的等效相量模型

圖6選下面節(jié)點0作為參考節(jié)點，則在節(jié)點2、3之間有一個受控電壓源，因此需要在圖中標(biāo)注出流經(jīng)該受控電壓源的電流及其參考方向。根據(jù)圖6列寫相量形式的節(jié)點電壓方程：

觀察發(fā)現(xiàn)，5個方程中有6個未知變量，這正是由于電路中含有受控電壓源，對含有受控電壓（電流）源的電路，一般需要根據(jù)受控電壓（電流）源控制量所在支路再增加一個方程，該電路中控制量為為流經(jīng) 2Ω 電阻電流，因此根據(jù)電阻 VAR可得式（15）：

聯(lián)立（10）-（15）式可求解出各節(jié)點電壓的相量形式。如果直接用手工求解該復(fù)數(shù)方程組，其計算量是比較大的，且易出錯。下面給出用MATLAB輔助求解該方程組的程序：%node1.m；求解節(jié)點電壓方程的node1.m程序U=zeros(6,1);%對代求變量進(jìn)行初始化，其中代求變量為

a11=1；a21=-1/20；a22=1/20+1/2+1/（-i×2）；a23=1/（i×2）；a24=1；a32=1/（i×2）；

a33=1/2；a34=-1/2；a35=-1；a44=1；a52=1；a53=-1；a56=-5；a62=1/2；a66=-1；

A=[a11 0 0 0 0 0；a21 a22 a23 a24 0 0；0 a32 a33 a34 a35 0；0 0 0 a44 0 0；0 a52 a53 0 0 a56；0 a62 0 0 0 a66]；%建立復(fù)數(shù)系數(shù)矩陣A

B=[2；0；1；4×i；0；0]；%建立復(fù)數(shù)矩陣 B

U=AB

輸入程序后點擊運行按鈕，則在MATLAB COMMAND WINDOW界面顯示如下結(jié)果：

5 小結(jié)

節(jié)點分析法是電路理論中的一種重要的分析方法，本文首先介紹了節(jié)點分析法的原理，然后分析了用節(jié)點分析法分析電路的重點和難點，最后通過示例給出了用MATLAB輔助求解節(jié)點電壓方程的詳細(xì)過程。

[1]史健芳，陳惠英.電路基礎(chǔ).北京：人民郵電出版社，2006.

[2]趙錄懷，楊育霞，張震.電路與系統(tǒng)分析-使用MATLAB.北京：高等教育出版社，2004.

[3]于舒娟，史學(xué)軍.Matlab應(yīng)用于大規(guī)模電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點分析法.現(xiàn)代電子技術(shù)，2009：17（304），P121-123.