剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在體育競技中的應(yīng)用

董天立 張超平

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)重要概念，工程實(shí)際中有許多合理利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)例，例如，減小電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以提高電動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)速度;增大發(fā)動(dòng)機(jī)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以使發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)更平穩(wěn)等。運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練和比賽過程中，如果能合理利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以使訓(xùn)練更科學(xué)，動(dòng)作更優(yōu)美。

一、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在體育舞蹈中的應(yīng)用

體育舞蹈項(xiàng)目以其優(yōu)美的姿態(tài)、明快的節(jié)奏以及強(qiáng)烈的感染力贏得了人們的喜愛，在國際上得到了廣泛的開展。轉(zhuǎn)體是體育舞蹈項(xiàng)目的一種基本技術(shù)，其主要是指圍繞身體垂直軸(縱軸)，單腳或雙腳站立的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。從力學(xué)方面講實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)階段:

1.啟動(dòng)階段

運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體時(shí)，一只腳作為支撐軸，另一只腳用力蹬地(如圖1)，根據(jù)作用力與反作用力原理，地面給運(yùn)動(dòng)員一個(gè)大小相等，方向相反的反作用力，使人體獲得了來自外界的驅(qū)動(dòng)力矩，從而獲得了朝著預(yù)定方向轉(zhuǎn)體的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)。

圖1

式中:J—角動(dòng)量，

IZ—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

ω—角速度，

M—外力矩。

根據(jù)式(1)，在此階段為了獲得較大的角動(dòng)量，應(yīng)該設(shè)法增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法，舞者在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式為:IZ=IZ1+IZ2，式中，IZ1為除雙臂以外部分對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)基本原理:［1］這部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般變化不大;IZ2為人體雙臂對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是可變的。

當(dāng)雙臂下垂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IZ2'=2mbl02，mb為舞者的單臂質(zhì)量，l0為舞者肩寬的一半，當(dāng)雙臂水平外伸時(shí)，設(shè)雙臂為均質(zhì)桿，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

代入上式得 IZ2″≈18.16mbl02≈9IZ2'

可見雙臂水平外伸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比雙臂下垂時(shí)增加了約八倍，因此，在此階段運(yùn)動(dòng)員應(yīng)盡可能使雙臂水平外伸，可以提高運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以獲得更大的角動(dòng)量。

式(2)是動(dòng)量矩定理，它表明了角動(dòng)量的增加取決于外力矩的大小，因此，在力臂相同的情況下，增大蹬地力量是人體獲得更大角動(dòng)量的基礎(chǔ)。

2.轉(zhuǎn)動(dòng)階段

這一階段要求人體高速旋轉(zhuǎn)，顯示快速轉(zhuǎn)動(dòng)的美感。此階段運(yùn)動(dòng)員一只腳尖點(diǎn)地，另一只腳收起，若不計(jì)摩擦力和空氣阻力，在理想情況下，人體不受外力矩的作用，應(yīng)該符合動(dòng)量矩守恒定律

由式(3)可以看到，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度成反比，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小角速度ω就越大。所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該快速將雙臂收起，使整個(gè)人體的質(zhì)量盡可能靠近人體縱軸。根據(jù)以上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算結(jié)果，雙臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以減小約八倍，從而可以使運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)速提高八倍，增加轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的美感。當(dāng)然，由于有摩擦力的作用，人體的轉(zhuǎn)動(dòng)并不完全符合動(dòng)量矩守恒定律，實(shí)際情況是，雙臂收起后，轉(zhuǎn)速明顯加快，而后再由快到慢，最終會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。

二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在走鋼絲中的應(yīng)用

在高空中走鋼絲是一項(xiàng)極具危險(xiǎn)性、藝術(shù)性和觀賞性的表演項(xiàng)目，如圖2所示。近年來，走鋼絲的高度和跨度記錄不斷被刷新，花樣也是不斷更新，但是他們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，手中都是拿著一根又重又長的直桿，也叫平衡桿，運(yùn)動(dòng)員主要是利用長桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來調(diào)整系統(tǒng)(人和桿)重心位置，來保證身體平衡的。

圖2

取長桿為研究對(duì)象，如圖(3)所示。如果系統(tǒng)的重心偏向人的右側(cè)(A側(cè))，調(diào)整的方法是人對(duì)長桿施加一個(gè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩，即人右手(A)的力稍減少一點(diǎn)，左手(B)的力稍加大一點(diǎn)(FB'＞FA')，這時(shí)長桿受到一個(gè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩。根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)微分方程得

圖3

再取人為研究對(duì)象，由圖(4)得

根據(jù)作用與反作用原理有，

解(4)、(5)兩式可得

圖4

由上式可知，φ桿、φ人與對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，我們希望人的轉(zhuǎn)角盡可能大一些，以便及時(shí)迅速地調(diào)整重心，而桿的轉(zhuǎn)角小一些以便保持基本的水平位置不變，這就是說希望桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要比人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大，大得越多調(diào)整重心的效果越好。

設(shè)運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為70kg，身高為1.8m，重心到鋼絲繩的距離為1.2m，其對(duì)鋼絲的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J人=70kg·m2;平衡桿的質(zhì)量為27kg，桿長為12m，其對(duì)鋼絲的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J桿=363kg·m2，可見平衡桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量約為人轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的5倍，由(6)式可知，平衡桿轉(zhuǎn)動(dòng)1度角，運(yùn)動(dòng)員就會(huì)向相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)5度角，也就是說運(yùn)動(dòng)員可以把長桿當(dāng)作一個(gè)穩(wěn)固的物體，隨時(shí)對(duì)它施加力矩以改變系統(tǒng)的重心位置，使系統(tǒng)的重心始終保持在鋼絲繩正上方可控制的范圍內(nèi)，保證運(yùn)動(dòng)員在鋼絲上平穩(wěn)的行走。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅只用在以上兩例中，實(shí)踐證明在其他競技運(yùn)動(dòng)中也得到了普遍的應(yīng)用。例如，短跑運(yùn)動(dòng)員在擺腿時(shí)，通常需折疊大、小腿，以減小下肢對(duì)髖軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而快速前擺;而上肢也是在肩關(guān)節(jié)內(nèi)擺動(dòng)，采用屈前臂，以減小上肢對(duì)肩關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而快速擺動(dòng)。再如，跳水運(yùn)動(dòng)員在作直體轉(zhuǎn)身動(dòng)作時(shí)，就將手臂盡量貼近身體縱軸，兩腿靠攏，從而減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加大旋轉(zhuǎn)速度。而當(dāng)他做團(tuán)身空翻時(shí)，就盡量抱緊身體，使身體各部分盡量靠近額狀軸，減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加大旋轉(zhuǎn)速度，而當(dāng)他完成了翻騰動(dòng)作準(zhǔn)備落地時(shí)，又伸展身體，以加大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小旋轉(zhuǎn)速度，為平穩(wěn)落水創(chuàng)造有利條件。綜上所述，理解和掌握合理利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的技巧，對(duì)于運(yùn)動(dòng)員完成高難度動(dòng)作、提高動(dòng)作的藝術(shù)性、觀賞性，獲得更好的競技成績是很有幫助的，運(yùn)動(dòng)員在正確理論的指導(dǎo)下，再加上勤學(xué)苦練，一定會(huì)起到事半功倍的效果。

［1］孫世賢，黃圳圭.理論力學(xué)教程［M］.北京:國防科技大學(xué)出版社，2005.

［2］運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)編寫組.運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］徐秉業(yè).身邊的力學(xué)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1997.

［4］賈書惠.質(zhì)系動(dòng)量矩定理應(yīng)用二例［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2003，(5):66～68.