萬向鉸傳動偏斜軸系橫向振動的主共振分析

馮昌林,朱擁勇,王德石

(海軍工程大學(xué)兵器工程系,湖北 武漢 430033)

0 引 言

偏斜軸系在各種艦艇機械結(jié)構(gòu)中廣泛存在,考慮用萬向鉸(萬向聯(lián)軸器)運動約束描述一類軸系的偏斜。由于萬向鉸的運動傳輸特性,即使在主動軸轉(zhuǎn)速和輸入力矩恒定的定常工況下,從動軸依然表現(xiàn)出波動的轉(zhuǎn)速,承受波動的傳遞彎矩和軸向轉(zhuǎn)矩的作用,從而引起軸系的非線性振動[1]。1958年,Rosenberg曾采取具有集中轉(zhuǎn)子質(zhì)量的均勻無質(zhì)量彈性軸模型對萬向鉸傳動的旋轉(zhuǎn)軸的橫向振動穩(wěn)定性進行過研究[2],得到了偏斜角導(dǎo)致的各種亞臨界失穩(wěn)條件,研究成果至今仍得到學(xué)術(shù)界的普遍重視。結(jié)果同時表明,振動的穩(wěn)定性依賴于傳遞力矩的幅度。T.Iwatsubo與M.Saigo,研究了彈性支撐下的有非跟隨力矩作用的剛性軸,將幾何約束處理為0偏斜角度,即類似于直軸,而考慮萬向鉸約束下的運動波動,給出了力矩表達式,發(fā)現(xiàn)了參數(shù)失穩(wěn)和顫振型失穩(wěn);并在廣義坐標(biāo)的選擇方法上,給出了萬向鉸驅(qū)動軸橫向振動的Euler坐標(biāo)描述方法[3]。與此同時,H.Ota,M.Kato與H.Sugita等發(fā)表了2部研究報告[4-5],導(dǎo)出了萬向鉸約束中的波動力(力矩),研究了約束激勵下的橫向強迫振動機理與規(guī)律,給出了特征參數(shù)的實驗研究結(jié)果。其后,又進一步考慮了摩擦[6],將軸系中的從動軸考慮為無質(zhì)量、偏心且對稱的轉(zhuǎn)子,將軸柔性處理為集中剛度,研究了參數(shù)共振問題,得到主軸轉(zhuǎn)速接近于扭轉(zhuǎn)、或者橫向固有頻率的偶數(shù)倍時,產(chǎn)生參數(shù)共振。盡管由于研究過程中做了較多假設(shè),還存在進一步的待研究空間,Rosenberg[2]與T.Iwatsubo[3]的工作仍然成為研究萬向鉸傳動軸系橫向振動與穩(wěn)定性的經(jīng)典成果,對本文的模型研究也具有參考價值。本文將研究萬向鉸傳動的剛性旋轉(zhuǎn)軸橫向振動的主共振問題。應(yīng)用希爾無限行列式方法對萬向鉸傳動的從動軸的橫向振動微分方程進行穩(wěn)定性分析,得到系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定圖,并分析系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。

1 模型描述

取單萬向鉸傳動的偏斜軸系,系統(tǒng)包括主動軸、從動軸和萬向鉸十字軸。只考慮存在萬向鉸固有結(jié)構(gòu)偏斜時,驅(qū)動軸與從動軸處于同一平面內(nèi),且2軸之間的夾角用 φ表示。當(dāng)驅(qū)動軸轉(zhuǎn)動時,在萬向鉸的作用下,從動軸產(chǎn)生橫向振動,如圖1所示,用廣義坐標(biāo)(角位移)αL和 βL描述從動軸的橫向振動。

圖1 偏斜旋轉(zhuǎn)軸橫向振動的廣義坐標(biāo)Fig.1 The sketch map of lareral vibration on mialigned rotary shaft

2 運動方程

本文主要研究偏斜軸系的橫向振動,因此忽略從動軸的扭轉(zhuǎn)彈性。從動軸受到的外力主要包括2個部分:一是萬向鉸十字架作用在從動軸上的力,這些力共同產(chǎn)生的合力矩就是主動軸輸入力矩通過萬向鉸傳遞到從動軸上的力矩;二是軸承處的彈簧力和阻尼力,分別對從動軸作用產(chǎn)生彈簧力矩和阻尼力矩。萬向鉸傳動偏斜軸系的橫向振動可以看成是從動軸在外力矩的作用下繞萬向鉸十字軸的中心的轉(zhuǎn)動。利用改進的從動軸繞原點轉(zhuǎn)動的普遍運動微分方程(即歐拉方程),可以建立該萬向鉸傳動的從動軸的橫向振動微分方程:

其中:T0為主動軸上的輸入力矩;l為從動軸長度;J0為從動軸橫向轉(zhuǎn)動慣量;κ為從動軸的極向轉(zhuǎn)動慣量和橫向轉(zhuǎn)動慣量的比值;Kx2和Ky2為從動軸端部軸承處彈簧剛度系數(shù);Cx2和Cy2為從動軸端部軸承處阻尼器阻尼系數(shù);p(τ)為萬向鉸傳遞的角速度波動函數(shù)。

方程(1)左邊第2項的系數(shù)矩陣為阻尼矩陣,阻尼矩陣中的元素有的是常數(shù),由系統(tǒng)參數(shù)決定,有的是變量,與無量綱時間 τ有關(guān);左邊第3項的系數(shù)矩陣為剛度矩陣,剛度矩陣是常數(shù)矩陣,只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān);左邊第4項不含無量綱時間 τ的函數(shù),僅與橫向振動本身有關(guān),故它能引起系統(tǒng)的自激振動,產(chǎn)生顫振型失穩(wěn);左邊第5項和第6項含有無量綱時間 τ的正弦、余弦函數(shù),作為參數(shù)激勵,能引起系統(tǒng)的參數(shù)共振;方程右邊為強迫振動項,它能引起系統(tǒng)的強迫共振,方程左邊第4～6項及右邊項都含有從動軸受到的彎曲力矩,它們均與主動軸輸入力矩T0有關(guān),是對由萬向鉸傳遞力矩引起從動軸橫向振動的定量描述?？梢?對于萬向鉸驅(qū)動的偏斜軸系橫向振動問題,萬向鉸傳遞力矩不僅能引起系統(tǒng)的自激振動,還能引起系統(tǒng)的參數(shù)振動。

3 穩(wěn)定性分析

令 φ=0,采用希爾無限行列式方法[3]進行主共振穩(wěn)定性分析。將方程(1)對應(yīng)的齊次方程組中的三角函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式:

由于式(1)中三角函數(shù)的周期T*=π,設(shè)式(2)解的形式為:

其中,Q(τ)=[q1(τ),q2(τ)]T為復(fù)周期函數(shù),其周期為T*或2T*。由此,可將Q(τ)展開為傅立葉級數(shù)形式:

其中,向量qi=(qi1,qi2)T,且當(dāng)其周期為T*,有qi=0(i=±1,±3,±5,……)。方程(2)的解可表示為:

將式(5)代入式(2)中,得到如下2個關(guān)系式:

其中 ,Fi(z)=- ν2(z+i)2I+j(z+i)ν C+K+Γ E2(i=0,±1,±2,±3,±4, ±5, ±6,…);S1和S2為無窮階矩陣。則式(2)的解為非零解的充要條件為:

即式(2)存在非零解時必須滿足矩陣S1和S2的行列式均為0。由于f2(z)=f1(z+1),說明式(8)和式(9)是等價的,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,只需對式(8)或者式(9)進行穩(wěn)定性分析即可。由于式(8)中既含有參數(shù)振動項和,又含有自激振動項 E2,因此,式(8)可同時給出參數(shù)激勵與自激振動共同作用時的穩(wěn)定性條件。

為便于計算,可將無窮維矩陣S1近似為有限維n階矩陣進行穩(wěn)定性分析,階數(shù)越高,則所得穩(wěn)定性結(jié)果與理論結(jié)果越相近。當(dāng)驅(qū)動軸旋轉(zhuǎn)角頻率 ω接近于主共振頻率 ω10時,無窮維矩陣S1近似為2階矩陣,其相應(yīng)的行列式寫為:

可得系統(tǒng)主共振(產(chǎn)生在固有頻率 ω10處)時的穩(wěn)定性條件:

或者

從式(11)和式(12)可以看出,主共振穩(wěn)定性條件不僅與輸入扭矩T0、支撐軸承安裝位置l以及軸承剛度Ky2有關(guān),還與阻尼系數(shù)Cy2以及從動軸轉(zhuǎn)動慣量J0等因素有關(guān),通過合理選取系統(tǒng)參數(shù),減小系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū),可以達到抑制系統(tǒng)主共振的產(chǎn)生。

同樣,當(dāng)主動軸角速度 ω接近于主共振頻率 ω20時,系統(tǒng)主共振(產(chǎn)生在固有頻率 ω20處)穩(wěn)定性條件為

或者

分析系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。以固有頻率 ω10作為中心頻率時,根據(jù)式(12)可知,若輸入扭矩T0一定,增大支撐軸承彈簧剛度系數(shù)Ky2與阻尼系數(shù)Cy2,增大從動軸轉(zhuǎn)動慣量J0或者增大軸長l,均可使主共振的不穩(wěn)定區(qū)變大,系統(tǒng)在頻率 ω10附近易產(chǎn)生主共振。以固有頻率 ω20作為中心頻率時,也存在同樣的規(guī)律。因此,在實際萬向鉸傳動的偏斜軸系中,要抑制系統(tǒng)主共振的產(chǎn)生,應(yīng)適當(dāng)選擇支撐軸承的安裝位置,并盡量選取大剛度且足夠光滑的支撐軸承,同時減小從動軸轉(zhuǎn)動慣量J0。

圖2 系統(tǒng)主共振穩(wěn)定圖Fig.2 Stability of principal resonance

圖3 主共振穩(wěn)定圖(Kx2=Ky2)Fig.3 Stability of principal resonance(Kx2=Ky2)

若支撐軸承具有均勻性,則Kx2=Ky2,此時有ω10=ω20=Ω0,同樣取C11=C22=0.3,則根據(jù)式(11)或式(13)可得到系統(tǒng)產(chǎn)生主共振時的穩(wěn)定圖,如圖3所示。此時,由于兩固有頻率相同,系統(tǒng)主共振時只存在1個不穩(wěn)定區(qū),其中心頻率為 Ω0;注意到(ω10+ω20)/2=Ω0,這說明系統(tǒng)在Kx2=Ky2時產(chǎn)生的主共振即為系統(tǒng)的和型組合共振。

4 結(jié) 語

偏斜軸系的振動是機械科學(xué)及力學(xué)領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。本文在考慮萬向鉸結(jié)構(gòu)偏斜,將從動軸當(dāng)作剛性細(xì)長軸,將從動軸端部支撐軸承簡化為2對彈簧阻尼器的基礎(chǔ)上,建立了萬向鉸傳動偏斜軸系的橫向振動微分方程。應(yīng)用希爾無限行列式方法對方程進行了穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定圖,并分析了系統(tǒng)參數(shù)對主共振穩(wěn)定性邊界的影響。結(jié)果表明,增大支撐軸承彈簧剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)、增大從動軸轉(zhuǎn)動慣量或者增大軸長,均可使主共振的不穩(wěn)定區(qū)變大,系統(tǒng)在固有頻率附近易產(chǎn)生主共振;系統(tǒng)在支撐均勻(Kx2=Ky2)時產(chǎn)生的主共振即為系統(tǒng)的和型組合共振。研究工作對進一步確定萬向鉸傳動的偏斜軸系的動力學(xué)行為,抑制偏斜軸系振動具有重要的意義。

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