認知MIMO MAC最優(yōu)迭代注水算法

魏飛，楊震

（南京郵電大學 寬帶無線通信與傳感網(wǎng)技術教育部重點實驗室，江蘇 南京 210003）

1 引言

可分配頻譜資源的短缺以及已分配頻譜利用率偏低的差異現(xiàn)狀已成為制約無線通信發(fā)展的瓶頸。認知無線電[1]技術通過認知無線電（CR, cognitive radio）用戶或稱為次用戶（SU, secondary user）與主用戶（PU, primary user）共享頻譜資源的方式來最大化頻譜利用率，作為一種解決頻譜資源短缺困境的有效技術手段正受到廣泛的研究。在CR場景中，CR用戶通常可采用基于頻譜空洞（spectrum hole）或干擾溫度約束的方式與PU共享頻譜資源，前者通過檢測PU的活動性，當發(fā)現(xiàn)PU處于靜默狀態(tài)時（即PU不在通信）接入PU的空閑頻譜，后者則是一種與PU同時共存的方式，通過使得所有CR用戶對PU接收端的疊加干擾限制在PU的干擾門限內(nèi)，在保證PU正常通信的前提下與PU共享頻譜。

近年來，CR研究從最初的在時域與頻域與PU共存拓展到空間域，主要集中在滿足給定的PU干擾溫度約束的條件下如何給 SU分配資源（如發(fā)送功率以及空間方向選擇）以優(yōu)化 CR系統(tǒng)的某種性能度量[2～7]。文獻[2]研究了如何設計發(fā)送協(xié)方差矩陣使得單個MIMO CR用戶獲得的信息速率最大；文獻[3]研究了單個MIMO CR用戶在完全獲取、部分獲取以及無法獲取其與 PU接收端信道狀態(tài)信息時最大化信干噪聲比(SINR,signal-to-interference- plus-noise ratio)的波束賦形問題；文獻[4]研究了多用戶CR構成的多址接入信道(MAC, multiple access channel)中最大化加權速率和的最優(yōu)功率分配問題；文獻[5]研究了在使用零強制的決策反饋均衡器的情況下，多用戶 CR構成的SIMO MAC中的速率和最大化以及SINR平衡問題，提出了聯(lián)合波束賦形和功率分配算法；文獻[6]研究了在CR非完美獲取其與PU接收端信道狀態(tài)信息時，最大化多用戶MISO CR系統(tǒng)中的最小SINR的強健波束賦形設計問題；文獻[7]研究了多用戶 CR系統(tǒng)構成的廣播信道(BC,broadcast channel)中使得加權速率和最大的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣設計問題。

然而，據(jù)本文作者所知，迄今為止尚未有文獻研究如何設計 CR發(fā)送協(xié)方差矩陣以使得多用戶CR構成的 MIMO MAC的速率和最大，即認知MIMO MAC的速率和最大化問題。雖然傳統(tǒng)無線環(huán)境下的MIMO MAC已被充分研究，如在文獻[8]中，Wei Yu等提出一種迭代注水算法用于求解MIMO MAC的速率和最大時的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。然而，由于缺乏對PU接收端疊加干擾的控制，已有算法無法確保滿足PU干擾溫度約束，因而不適用于CR系統(tǒng)。同時，由于文獻[8]中的算法只適用于含有一個與發(fā)送協(xié)方差矩陣相關的約束條件的情況（即單用戶最大發(fā)送功率約束），這使得文獻[8]中的算法無法直接應用于受發(fā)送功率與干擾溫度雙重約束的CR系統(tǒng)。

本文研究了認知MIMO MAC的速率和最大化問題，其主要內(nèi)容及創(chuàng)新處如下：本文將認知MIMO MAC速率和最大化問題表示為一個凸優(yōu)化問題，通過部分對偶分解[9]松弛干擾溫度約束，將原始凸優(yōu)化問題分解為相互聯(lián)系的2個子問題。文中提出一種迭代算法，通過交替進行對偶變量更新與順序迭代注水運算求解分解后的子問題，從而得到使得速率和最大的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。最后通過仿真展示算法的有效性與快速收斂特性，以及PU干擾溫度約束對認知MIMO MAC信道的最大速率和的影響。

2 系統(tǒng)模型與問題表述

2.1 系統(tǒng)模型

圖1 SU與PU共享頻譜場景圖

圖2所示的是上述頻譜共享場景所對應的認知MIMO MAC信道模型，簡單起見，圖中僅示出SU發(fā)送端與第j個 PU接收端之間的信道。基于上述信道模型，SU共同接收端接收到的信號向量可表示為

其中，SUi的發(fā)送協(xié)方差矩陣Qi被定義為Qi，Rn被定義為， E{·} 表示取均值；為階單位矩陣。同時，SU發(fā)送信號會對PU接收端造成干擾，PU接收端j接收到的SU的干擾信號可表示為

圖2 認知MIMO MAC模型

2.2 問題表述

每個 SU發(fā)送信號時會受到自身發(fā)送功率約束，第i個 SU的發(fā)送協(xié)方差矩陣構成的集合Qi可表示為

在認知MIMO MAC中，為不影響PU的正常通信活動，SU在選擇發(fā)送協(xié)方差矩陣時需使PU接收到的SU干擾信號的疊加功率小于一給定值，即PU干擾溫度約束，如式(5)所示。

在給定發(fā)送功率約束與PU干擾溫度約束下，本文研究的認知MIMO MAC速率和最大化問題可表述為

顯然， r (Q1,… ,QL)為發(fā)送協(xié)方差矩陣的凹函數(shù)，上述問題為凸優(yōu)化問題。如不考慮上式中的干擾溫度約束，式(6)則為傳統(tǒng)MIMO MAC速率和最大化問題，這樣的問題可由多個用戶按順序依次進行迭代注水[8]來求解。然而干擾溫度約束的存在使得各 SU的發(fā)送協(xié)方差矩陣互相耦合，這使得文獻[8]中的算法無法通過簡單地拓展應用于 CR系統(tǒng)。下面首先通過部分對偶分解[9]來去除干擾溫度約束的影響。

3 部分對偶分解

對式(6)中的原始問題進行部分對偶分解，松弛PU干擾溫度約束，可得到Lagrange函數(shù)為

其中，sup表示上確界。

由于原始優(yōu)化問題(式(6))中目標函數(shù)為凹函數(shù)，且干擾溫度約束是線性不等式約束，因而強對偶性存在的條件滿足，由強對偶性定理[11]，式(6)等價于Lagrange對偶問題如下

可以看出，通過以上部分對偶分解，原始優(yōu)化問題被分解為2個相對簡單的問題，即子問題(式(8))以及式(9)。由 φ ( λ)是關于λ的仿射函數(shù)族的點式上確界，可知 φ ( λ)是λ的凸函數(shù)，從而子問題(9)總是存在唯一的最優(yōu)解。當子問題(式(9))的最優(yōu)解λ*被確定后，使得子問題(式(8))中值最大的即為取得最大速率和的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣，且此時。

4 算法

4.1 求解子問題(式(8))

首先，需要研究在給定任意λ值時如何求解子問題(式(8))，顯然子問題(式(8))即為以下的優(yōu)化問題：

觀察到優(yōu)化問題(式(10))類似于傳統(tǒng)MIMO MAC速率和最大化問題[8]，不同之處在于目標函數(shù)帶有一個與λ有關的附加項，因而本文使用與求解傳統(tǒng)MIMO MAC最大速率和類似的方法：首先令Q1之外的其他{Qi}i≠1為常量，優(yōu)化Q1，然后令Q2之外的其他{Qi}i≠2為常量，優(yōu)化Q2，以此類推循環(huán)優(yōu)化其中的單個變量，直至達到問題的全局最優(yōu)解。因此，優(yōu)化問題(式(10))等價于所有SU分別按順序求解下面的凸優(yōu)化問題

注意到式(12)中的前兩項為與Ql無關的常量，所以，對任意給定的對偶變量λ，優(yōu)化問題(式(11))等價于

由于優(yōu)化問題(式(13))是凸優(yōu)化問題，因而其最優(yōu)解的充分必要條件即為KKT（karush-kuhntucker）條件，給出如下：

其中，lμ與Ψl分別為對應于最大發(fā)送功率約束以及正半定發(fā)送協(xié)方差矩陣約束的對偶變量。

由KKT條件可知優(yōu)化問題(式(13))的最優(yōu)解Ql可通過以下的注水運算求解：

其中，μl的選擇需使式Tr{Ql}≤成立，Ψl的選擇需使Ql0。由于式(17)中的計算需要確定2個對偶變量μl以及Ψl，同時Ψl還是矩陣變量，這使得通過式(17)計算最優(yōu)解幾乎不可能。但利用Ql0等價于Ql的所有特征值非負的性質(zhì)，可將式(17)等價于以下更具有實際操作意義的運算符：

算法1所示的是求解子問題(式(8))的順序迭代注水算法的主要步驟。由于算法1中的迭代注水總是使得子問題(式(8))中的目標函數(shù)值單調(diào)非遞減，而子問題(式(8))中的目標函數(shù)具有上界且是凹的，因而算法1總是能夠收斂到唯一最優(yōu)解。

算法1 順序迭代注水。

步驟1 初始化迭代指數(shù)k1=0；

步驟2 所有SU按下式更新發(fā)送協(xié)方差矩陣

其中，式(19)中的注水運算WF(·)見式(18)，mod表示模運算；

步驟3 若滿足停止條件，k1←k1+1停止并輸出

步驟4 設置，返回步驟2。

4.2 求解子問題(式(9))

由于子問題(式(9))中的目標函數(shù)φ( )λ是不可微的，這使得一些基于梯度的方法（如最速下降法、牛頓法）無法應用于求解φ( )λ的極值，因而本文使用基于次梯度的方法。首先需要確定函數(shù)φ( )λ的次梯度，對于函數(shù)φ( )λ的次梯度，有如下命題成立

由式(21)減去式(20)易知：

而對于凸函數(shù)φ( )λ，向量d為其在λ點處的次梯度[11]，如d滿足以下的不等式：

最后，比較式(22)和式(23)易知命題成立。

證畢。

算法2中所示的是基于次梯度投影法[12（]projected subgradient method）的對偶變量λ更新算法的主要步驟。文獻[12]中證明了次梯度投影法能夠收斂到最優(yōu)解，由于φ( λ)是凸函數(shù)，因而算法2總是能夠收斂到唯一最優(yōu)對偶變量。當最優(yōu)對偶變量λ*被取得后，其相應的(λ*)，i=1,2,…,K即為所求的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。

算法2 對偶變量更新。

步驟1 選擇任意λ(0)≥0，(λ(0))∈Qi，i=1,…,L，初始化迭代指數(shù)k2=0；

步驟3 按下式更新對偶變量。

其中，α(k2+1)為第k2+1次迭代的步長；

步驟5 設置k2←k2+1，返回步驟2。

5 仿真結果

本節(jié)通過MATLAB數(shù)值仿真展示本文算法的有效性。仿真中使用的認知無線場景包含有4個2天線SU發(fā)送端與一個2天線SU公共接收端以及1個單天線PU接收端。簡單起見，設置各個SU發(fā)送端與SU接收端的距離相等為dss，各個SU發(fā)送端與PU接收端的距離相等為dps。仿真中所使用的隨機信道系數(shù)為0均值單位方差循環(huán)對稱復高斯的，如表1所示；SU共同接收端的復高斯噪聲向量n是0均值、方差的，簡單起見，歸一化=1，設置SU的發(fā)送功率相等為P；路徑損耗系數(shù)設置為γ注1注1 經(jīng)過路徑損耗后的信道系數(shù)可表示為Hi=，Gji=， ?i=1,2,…,L ，j=1,2,…,M 。注2 設定干擾門限為2倍與4倍。初始化算法參數(shù)λ(0)=0，(0)=0。

圖3中所示的是在表1中的信道系數(shù)下經(jīng)典算法與本文算法取得的速率和以及對PU的疊加干擾隨迭代次數(shù)的變化過程，干擾門限分別設置為Pint=2與Pint=4注2注1 經(jīng)過路徑損耗后的信道系數(shù)可表示為Hi=，Gji=， ?i=1,2,…,L ，j=1,2,…,M 。注2 設定干擾門限為2倍與4倍。從圖中可以看出，相對于經(jīng)典算法，本文算法能夠很好地控制SU對PU的疊加干擾，滿足PU的干擾溫度約束，同時，由于要滿足PU干擾溫度約束，本文算法收斂到最優(yōu)解所需的迭代次數(shù)有所增加，但仍然具有較快的收斂速度。

表1 信道系數(shù)

表2 最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

表2 最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

?

圖2 算法收斂過程（ P/=10dB，dss=1，dps=2，γ=2.5）

表2所示是上面的仿真中最后得到的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。注意到相對于無干擾溫度約束時，在 Pint為2以及4時，SU3的最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣Q3=0。對任一SU來說，理想的信道狀況指的是它到SU接收端之間的信道傳輸特性好而到PU接收端間的信道傳輸特性差。SU3的信道狀況差于其他 3個SU，因而相對于其他SU，SU3在對PU產(chǎn)生單位干擾時能夠給CR系統(tǒng)提供的信息速率是最小的，因而從系統(tǒng)速率和最大的角度出發(fā)，只有在其他 3個 PU都已滿功率傳輸且疊加干擾仍小于干擾門限時才會考慮SU3，而由表2中可知，Q1的主對角元素之和小于發(fā)送功率10，SU1尚未滿功率傳輸而此時疊加干擾就已達到干擾門限，因而SU3選擇不發(fā)送任何信號。同時從表中可以看出，隨著intP 的上升，SU1能夠使用的發(fā)送功率也在增大。

圖4中所示是給定不同的PU干擾門限時，認知MIMO MAC的最大速率和隨SU收發(fā)端的距離的變化曲線圖，同樣使用了表1中信道系數(shù)。從圖中可以看出，隨著干擾門限intP 的不斷增大，認知MIMO MAC的速率和不斷逼近沒有干擾門限限制的傳統(tǒng)MIMO MAC的最大速率和。在干擾門限增大至Pint=12時，由于此時PU干擾溫度約束失效（由圖3(b)中經(jīng)典算法對PU產(chǎn)生的疊加干擾小于 Pint=12可知），從而認知MIMO MAC與傳統(tǒng)MIMO MAC的最大速率和相等。

圖4 不同干擾門限下的速率和vs.dss（ P/=10dB，dps=2，γ=2.5）

6 結束語

本文研究了發(fā)送功率以及干擾溫度約束下的認知MIMO MAC的速率和最大化問題,提出了一種迭代注水算法求解使得速率和最大的SU最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣。仿真結果表明本文算法具有快速收斂的特點且很好地滿足了干擾溫度約束，能夠適用于認知無線電環(huán)境。

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