基于小波變換的目標(biāo)檢測(cè)關(guān)鍵算法研究

曹 量， 李太君

0 引言

小波變換是近年得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。與傅里葉變換、Gabor變換相比，小波變換是空間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。它通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多困難問題，因而被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”[1]?；谛〔ㄗ儞Q具有低熵、去相關(guān)、“變焦”和選基靈活等特性并且在圖像去噪和邊緣檢測(cè)中有突出的貢獻(xiàn)，對(duì)目標(biāo)檢測(cè)中的這2個(gè)重要基礎(chǔ)做了深入的研究，提出了改進(jìn)的小波局部自適應(yīng)算法，給出了高斯小波模極大值邊緣檢測(cè)方法。

1 小波分析的原理

設(shè)函數(shù)ψ(x)滿足，用尺度因子S對(duì)ψ(x)進(jìn)行放縮得到一組函數(shù)ψS(x)=ψ(x/S)/S，則在位置x處，函數(shù)f(x)的尺度為S的小波變換定義為：

其中ψ(x)稱為小波函數(shù)，式（1）稱為連續(xù)小波變換式。

如尺度S以二進(jìn)方式離散取值，S=2i（i為整數(shù)），則可得到相應(yīng)的二進(jìn)小波變換

1.1 小波去噪原理

[2-3]。設(shè)一個(gè)被噪聲污染的信號(hào)的基本模型為：

式中s(t)是信號(hào)，n(t)是一個(gè)服從的寬平穩(wěn)高斯白噪聲。令WTn(a,b)是n(t)的小波變換，a是尺度因子，b是平移因子，則有：

而：

可看出，噪聲小波系數(shù)的平均功率與尺度a成反比?？勺C明，對(duì)于所有尺度，噪聲n(t)的小波變換離散細(xì)節(jié)信號(hào)系數(shù)的方差隨著尺度的增加也會(huì)有規(guī)律地減小，即其中Da，Da-1為方差。而信號(hào)s(t)小波變換的值在跳變處隨著尺度a的增加均表現(xiàn)出明顯的峰值，其符號(hào)正負(fù)則決定于此階躍是正跳變還是負(fù)跳變。

因?yàn)檎恍〔ㄗ儞Q是線性變換，所以對(duì)觀測(cè)g作離散小波變換，得到的小波系數(shù)y=Wg（W為二維正交小波換算子）仍由兩部分組成，一部分是信號(hào)f對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)x=Wf，另一部分是噪聲n對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)v=Wn,即y=x+v。Donoho[4]提出的小波閾值去噪方法在最小均方誤差意義上是有效的并且可達(dá)到較好的視覺效果，它主要的理論依據(jù)為屬于Besov空間的信號(hào)在小波域內(nèi)其能量主要集中與有限的幾個(gè)系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)，經(jīng)小波分解后信號(hào)的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，因此采用閾值的辦法可把信號(hào)系數(shù)保留，而使大部分噪聲系數(shù)減少至0。

1.2 小波模極大值邊緣檢測(cè)原理

參考文獻(xiàn)[1,5]。定義θ(x,y)為二維平滑函數(shù)，它在整個(gè)平面上的積分為1并且它在x和y為無限遠(yuǎn)處收斂到0。定義兩個(gè)小波函數(shù)ψx(x,y)和ψy(x,y)為：

這樣，圖像f(x,y)的小波變換的兩個(gè)分量在尺度為S時(shí)定義為：

對(duì)于二進(jìn)小波變換，就有：

2 局部自適應(yīng)閾值去噪算法

小波變換系數(shù)間存在一定的相關(guān)性[6]：①在相同的尺度下，重要的小波系數(shù)“聚集”在某些區(qū)域，如圖像的邊緣一般是重要的小波系數(shù)出現(xiàn)的區(qū)域，這種相關(guān)性稱為尺度內(nèi)的相關(guān)；②在不同的尺度（分辨率）下，圖像特征對(duì)應(yīng)著許多大數(shù)值的小波系數(shù)，這些系數(shù)之間應(yīng)存在相關(guān)性，稱其為尺度間的相關(guān)。這種相關(guān)性是小波變換分解過程中內(nèi)在因有的，反映多尺度性。

這里依據(jù)尺度內(nèi)的相關(guān)性提出一種改進(jìn)的局部自適應(yīng)閾值去噪算法。因?yàn)樵肼晥D像小波系數(shù)的方差域局部平滑并且變換緩慢，所以高頻子帶中的每個(gè)小波系數(shù)X(i,j)的方差與鄰域（一般先擇方形領(lǐng)域）內(nèi)的小波系數(shù)的方差具有高度相關(guān)性[2]。這樣，可以選擇(i,j)處小波系數(shù)的M×M鄰域來估計(jì)X(i,j)的方差，估計(jì)的計(jì)算式可寫為：

半軟閾值法通過雙閾值克服了硬閾值的過“扼殺”高頻系數(shù)，使重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生較小的均方差。半軟閾值法[7]的閾值函數(shù)為：

比例萎縮法[8]根據(jù)最小均方差準(zhǔn)則（MMSE），可以得出從X(i,j)中恢復(fù)S(i,j)的理想函數(shù)式

結(jié)合半軟閾值法和比例萎縮法提出改進(jìn)后的局部自適應(yīng)的閾值函數(shù)：

3 高斯小波模極大值邊緣檢測(cè)算法

Mallat[9]指出，使用平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的極值進(jìn)行檢測(cè)優(yōu)于使用二階導(dǎo)數(shù)的零交叉檢測(cè)。由于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)具有很好的邊緣檢測(cè)的能力，現(xiàn)選擇二維高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)作為小波函數(shù)。二維高斯函數(shù)的表達(dá)式為：，θ是一維高斯函數(shù)。θ(x,y)分別對(duì)x，y方向求偏導(dǎo)，并取相反數(shù)，得到：

ψ1是對(duì)應(yīng)于高斯函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的一維小波。容易證明滿足小波函數(shù)的容許條件，是一個(gè)二維小波。

高斯小波模極大值邊緣檢測(cè)的步驟為[7]：

①選定二維高斯平滑函數(shù)θ(x,y)為尺度函數(shù)，由式（19）、式（20）求出θ(x,y)在尺度S上的一階編導(dǎo)數(shù)和作為小波函數(shù)；

②用式（9）、式（10）對(duì)圖像進(jìn)行小波變換，求得小波變換在S尺度上的兩個(gè)分量

④根據(jù)直方圖統(tǒng)計(jì)特性選定自適應(yīng)閾值：將求得的模極大值邊緣圖像進(jìn)行歸一化，將圖像劃分成1 024個(gè)灰度級(jí)進(jìn)行直方圖統(tǒng)計(jì)，對(duì)灰度級(jí)從1/1024開始進(jìn)行循環(huán)對(duì)邊緣點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行累加，當(dāng)累加得到的邊緣點(diǎn)個(gè)數(shù)最終小于邊緣點(diǎn)總數(shù)的k（0＜k＜1）倍時(shí)，則將該處的灰度值作為自適應(yīng)閾值；

⑤用雙閾值對(duì)邊緣圖像進(jìn)行非極大值抑制，高閾值為第四步產(chǎn)生的自適應(yīng)閾值，低閾值一般為高閾值的0.5倍，高于高閾值一定是邊緣，低于低閾值一定不是邊緣，高低閾值之間判斷8領(lǐng)域是否都高于高閾值否則不是邊緣點(diǎn)；

⑥對(duì)邊緣圖像進(jìn)行邊緣連接和邊緣細(xì)化處理，輸出邊緣圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

參考文獻(xiàn)[10]。以大小為256×256，灰度級(jí)為256的lena圖像為例，在Matlab中進(jìn)行仿真。

這里邊緣檢測(cè)前的去噪算法選用db8小波基對(duì)圖像進(jìn)行5級(jí)分解。db8小波基支集長(zhǎng)度長(zhǎng)，消失矩和正則性高。消失矩階數(shù)大，小波能量集中，正則性好，則二維圖像重構(gòu)后就越平滑。對(duì)于多層分解的小波系數(shù)，層數(shù)越大，噪聲能量會(huì)變得越小。由于閾值的自適應(yīng)性，每一層的噪聲和圖像有用信息都會(huì)被最大程度的進(jìn)行分解。當(dāng)λ1=1.9，λ3=0.6圖像去噪效果較好，加噪方差為0.01時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖1 圖像去噪結(jié)果比較

采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）在加噪方差分別為0.005、0.01、0.02時(shí)對(duì)去噪算法的效果進(jìn)行定量分析比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 圖像去噪峰值信噪比和均方誤差的比較(單位：dB)

當(dāng)尺度S=21時(shí)這里算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖 2（d）所示。根據(jù)圖2所示比較結(jié)果，這里的邊緣檢測(cè)算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的Roberts算子、Sobel算子等，與經(jīng)典的Canny算子的檢測(cè)結(jié)果相比，在眼睛、帽子和頭發(fā)上的細(xì)節(jié)信息多一些，其裝飾更為真實(shí)。但在少部分弱邊緣存在斷線的情況，筆者分析這里主要的原因是閾值處理不當(dāng)引起的過“扼殺”所致。

圖2 圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果比較

5 結(jié)語

在分析噪聲的小波特性和小波去噪原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)小波變換系數(shù)尺度內(nèi)的相關(guān)性提出了一種新的局部閾值策略，還結(jié)合半軟閾值法和比例萎縮法提出了一種改進(jìn)的小波局部自適應(yīng)閾值圖像去噪算法；在分析了小波模極大值邊緣檢測(cè)原理的基礎(chǔ)上，給出了二維高斯函數(shù)模極大值邊緣檢測(cè)的方法，提出了用直方圖的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行自適應(yīng)閾值的選取，并通過雙閾值策略進(jìn)行非極大值抑制。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明了這里算法相對(duì)于傳統(tǒng)算法的優(yōu)越性，為圖像分析等后期的目標(biāo)檢測(cè)工作打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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