弧齒準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合接觸沖擊有限元仿真分析＊*

姚啟萍，唐進(jìn)元

(1.高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中南大學(xué))，湖南 長沙 410083;2.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙 410083)

螺旋錐齒輪嚙合接觸沖擊是指齒輪副從靜止到相對穩(wěn)定嚙合的過程中存在的沖擊現(xiàn)象，在已有的關(guān)于螺旋錐齒輪動力學(xué)研究的文獻(xiàn)中，可以發(fā)現(xiàn)研究者對螺旋錐齒輪傳動的靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)問題進(jìn)行了大量的研究，并獲得了較為成熟的結(jié)果［1－5］，針對沖擊現(xiàn)象的研究不多，課題組對圓柱齒輪的嚙合沖擊行為進(jìn)行了研究［6］。本文在CATIA中建立精確的螺旋錐齒輪副模型后，運(yùn)用ABAQUS的顯式動力學(xué)分析功能分析沖擊過程中螺旋錐齒輪齒面接觸力的變化情況，結(jié)果顯示齒面接觸力瞬時最大值比穩(wěn)態(tài)值大近1倍，表明齒輪副的嚙合沖擊階段不容忽視，有必要深入研究。

螺旋錐齒輪嚙合接觸沖擊問題是一個邊界條件高度非線性的接觸動力學(xué)問題，難以求得解析解。隨著有限元方法和有限元分析軟件的快速發(fā)展，以及近年來在非線性分析方面的成功應(yīng)用，作者運(yùn)用有限元分析軟件對弧齒準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合接觸沖擊問題進(jìn)行研究，為進(jìn)一步深入研究嚙合沖擊問題積累經(jīng)驗(yàn)。

1 螺旋錐齒輪模型

1.1 幾何模型

螺旋錐齒輪齒面幾何形狀復(fù)雜，本文采用VB6.0開發(fā)CATIA的螺旋錐齒輪CNC加工仿真系統(tǒng)［7］，該系統(tǒng)能仿真螺旋錐齒輪的加工過程，生成基于各種加工方法的幾何模型。

使用的加工參數(shù)根據(jù)“局部共軛原理”［8］計算得到。通過局部共軛原理得到的齒輪副對安裝誤差的敏感性較低，應(yīng)用效果更佳。

以一對采用HFT方法(大輪成形法，小輪刀傾法)加工的弧齒準(zhǔn)雙曲面齒輪為例分析其嚙合接觸沖擊行為，根據(jù)表1－表3參數(shù)得到齒輪的幾何模型如圖1所示。

表1 齒輪幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of hypoid gear

表2 大輪的加工參數(shù)(Gleason No.609)Table 2 Machining parameters of the gear(Gleason No.609)

表3 小輪的加工參數(shù)(Gleason No.116)Table 3 Machining parameters of the pinion(Gleason No.116)

1.2 有限元模型

由于螺旋錐齒輪齒面在齒寬方向曲率較小，即齒面較扭曲，為了得到優(yōu)質(zhì)的網(wǎng)格，在考慮計算耗時和計算精度的前提下，在有限元前處理功能強(qiáng)大的Hypermesh軟件中選用六面體線性減縮積分單元 (C3D8R)進(jìn)行螺旋錐齒輪的網(wǎng)格劃分。有限元的接觸分析中，需要確定所選單元的有效性和精確性，一般會進(jìn)行赫茲計算以驗(yàn)證。本文與相關(guān)文獻(xiàn)［9］中使用相同的模型剖分和單元類型，從此文章的赫茲驗(yàn)算中可知，對于一次縮減積分單元，在一定的載荷和材料參數(shù)條件下，網(wǎng)格密度對計算結(jié)果影響大，所以本文在研究過程中細(xì)化齒輪副的網(wǎng)格，將ALLAE/ALLIE控制在1%以內(nèi)，有效地控制了沙漏模式的擴(kuò)展。齒輪的材料屬性設(shè)置為:彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7800 kg/m3。

齒輪副的有限元模型如圖2所示。

圖1 準(zhǔn)雙曲面齒輪的幾何模型Fig.1 Geometric model of hypoid gear

圖2 齒輪副的網(wǎng)格模型Fig.2 Mesh model of gear pair

1.3 約束和邊界條件

為了模擬齒輪副的實(shí)際安裝、嚙合情況，設(shè)定以下邊界條件和約束:

(1)分別在大小輪的軸線上設(shè)定一個參考點(diǎn)，在參考點(diǎn)與相應(yīng)齒輪內(nèi)表面之間建立耦合約束，使齒輪內(nèi)表面上受到的合力和合力矩與施加在參考點(diǎn)上的力和力矩等效，并允許在受載時，耦合約束面上的各部分之間可以發(fā)生相對變形;

(2)分別約束2個參考點(diǎn)除齒輪旋轉(zhuǎn)方向以外的5個自由度;

(3)設(shè)定切向摩擦系數(shù)為0.15的5對大小輪齒面接觸對;

(4)設(shè)定小輪的轉(zhuǎn)速為500 rpm，大輪的扭矩為9×103N·m。

2 齒輪嚙合接觸沖擊分析

在有限元的計算求解方法中，有2個大的類別，隱式求解與顯式求解，其各有不同的特點(diǎn)。在此，選擇 ABAQUS/Explicit作為分析平臺。ABAQUS/Explicit可以進(jìn)行顯示的動態(tài)分析，結(jié)合論文提出的問題，使用中心差分法結(jié)合罰函數(shù)法的顯式求解方式。

顯式中心差分法在求解過程中，利用遞推公式求解運(yùn)動方程不需要進(jìn)行矩陣的求逆，這對求解非線性問題有很重要的意義。因?yàn)樵谇蠼夥蔷€性問題時，每個增量步的剛度矩陣是被修改的。使用顯式算法，避免了矩陣求逆的運(yùn)算，大幅減小了計算量，而且沒有迭代誤差。同時，ABAQUS/Explicit利用罰函數(shù)法將附加約束條件引入泛函以進(jìn)行求解，而沒有使用拉格朗日乘子法。因?yàn)槭褂昧P函數(shù)法不會增加問題的自由度，而且能使求解方程的系數(shù)矩陣保持正定，可以很好地與動力學(xué)中的顯式積分求解方法相協(xié)調(diào)。

3 嚙合接觸沖擊分析結(jié)果

完成有限元模型的建立之后，求解任務(wù)。完成分析后，進(jìn)行結(jié)果處理。

如圖3～4所示，瞬時接觸區(qū)呈橢圓，接觸區(qū)內(nèi)的單元所受接觸力大，并向外逐漸減小，這與滾動檢驗(yàn)的結(jié)果吻合。

圖3 大輪凸面接觸壓強(qiáng)的云圖Fig.3 The contact pressure cloud of the gear convexity

圖4 小輪凹面接觸壓強(qiáng)的云圖Fig.4 The contact pressure cloud of the pinion concavity

圖5 大輪凸面等效應(yīng)力云圖Fig.5 The mises stress cloud of the gear convexity

圖6 小輪凹面等效應(yīng)力云圖Fig.6 The mises stress cloud of the pinion concavity

圖7 John Argyris得出的有效接觸應(yīng)力云圖Fig.7 The mises stress cloud of the gear analysed by John Argyris

如圖5～6所示，齒面的等效應(yīng)力并不只出現(xiàn)在接觸區(qū)內(nèi)，而是沿著接觸區(qū)向齒根和齒頂蔓延。等效應(yīng)力基于畸變能提出，用于說明單元體在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的綜合受力，判斷其接近屈服極限的趨勢。所以從圖示分析結(jié)果可知，齒輪非接觸區(qū)雖未直接參與嚙合接觸而承受接觸力，但是仍然受等效應(yīng)力作用，說明其也可能在傳動中因較大的有效應(yīng)力而屈服失效。在其他使用有限元方法分析螺旋錐齒輪傳動性能的文獻(xiàn)中可以看到類似的結(jié)果［10］，如圖7所示。此外，觀察等效應(yīng)力在整個分析過程中的變化發(fā)現(xiàn)，在一個齒面的完整嚙合過程中，齒輪工作面上的等效應(yīng)力作用區(qū)域沿著接觸軌跡移動。表明在齒輪的傳動過程中，齒面任一點(diǎn)受到周期的應(yīng)力作用，最終可能導(dǎo)致齒輪的接觸區(qū)齒面疲勞破壞，該仿真結(jié)論也與實(shí)際的情況吻合。

圖8所示為同時進(jìn)入嚙合的輪齒對的總接觸力隨時間的變化情況，可見，在嚙合初始階段，總接觸力迅速增大到80 kN，之后總接觸力波動平緩并最終接近40 kN。表明，螺旋錐齒輪的設(shè)計要充分考慮嚙合沖擊產(chǎn)生的接觸力。文獻(xiàn)［11］研究了一對螺旋錐齒輪動態(tài)嚙合性能時發(fā)現(xiàn)，齒輪從靜止到穩(wěn)定嚙合工作階段，存在一個明顯的初始沖擊，沖擊造成的齒面接觸力波動值較穩(wěn)定的值大近1倍左右，如圖9。

圖8 齒面接觸合力的變化曲線Fig.8 The resultant contact force of the tooth time history

圖9 齒面接觸力變化曲線Fig.9 The tooth contact force time history

圖10 進(jìn)入嚙合的三對齒的接觸力曲線Fig.10 The contact force of the three successive meshing teeth time history

圖11 進(jìn)入嚙合的三對齒齒根彎曲應(yīng)力Fig.11 The bending stress of the three successive meshing teeth time history

在進(jìn)入嚙合的3對輪齒的接觸力隨時間變化的圖中(圖10)，第1對輪齒的接觸力波動很大，第2對輪齒的波動較平緩且越接近嚙出位置波動越小，第3對輪齒的接觸力波動更小。結(jié)果表明，嚙合沖擊只對第1對輪齒有較大影響，且影響時間很短。

在此沖擊過程中齒根彎曲應(yīng)力的變化如圖11，可以看出螺旋錐齒輪在發(fā)生沖擊時對于齒根彎曲應(yīng)力的數(shù)值影響并不大，但是對受到?jīng)_擊的第1個齒的齒根應(yīng)力造成劇烈波動。

4 結(jié)論

(1)在齒輪嚙合過程中，接觸斑點(diǎn)呈橢圓狀且沿接觸軌跡移動，齒面接觸區(qū)上任一點(diǎn)在此過程中受到周期性的應(yīng)力作用，最終可能導(dǎo)致在接觸區(qū)內(nèi)的齒面部分疲勞破壞;

(2)在嚙合沖擊過程中，輪齒對總的接觸力波動衰減，最后趨于穩(wěn)定值，在這個過程中，最大的瞬時峰值接近穩(wěn)定值的2倍;

(3)在嚙合沖擊過程中，對單對輪齒來說，只有第一對輪齒的接觸力峰值是穩(wěn)定值的2倍左右，波動幅度大，頻率高，但是沖擊對第2對、第3對輪齒的影響較微弱;

(4)嚙合沖擊對進(jìn)入嚙合的第1對輪齒的齒根彎曲應(yīng)力造成劇烈波動，但對峰值的影響較微。

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