用Matlab GUI模擬圓環(huán)和矩形環(huán)夫瑯禾費衍射

李繼軍，徐大海，田永紅

（長江大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

在當(dāng)前的光學(xué)衍射教學(xué)中，教師在黑板上推導(dǎo)出光強度公式后，根據(jù)該公式在黑板上畫出光強分布曲線，或利用PPT將預(yù)先準(zhǔn)備好的光強分布圖片投影在屏幕上.經(jīng)驗表明，并不是所有的學(xué)生都能通過這種靜態(tài)的結(jié)果理解衍射的物理規(guī)律.隨著計算機性能的提高及模擬仿真技術(shù)的發(fā)展，在課堂上利用計算機軟件對光學(xué)過程進(jìn)行仿真已經(jīng)成為一種可能.

MATLAB軟件是當(dāng)今最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件和開發(fā)環(huán)境之一[1]，它以強大的科學(xué)計算與可視化功能、簡單易用、可開放式、可擴展環(huán)境等特點在許多科學(xué)領(lǐng)域中成為計算機輔助設(shè)計和分析、算法研究和應(yīng)用開發(fā)的基本工具和首選平臺.已有的使用Matlab軟件模擬光學(xué)現(xiàn)象的文獻(xiàn)中[2-5]，只是對單一波長進(jìn)行模擬，模擬結(jié)果為該波長下光強分布的灰度圖，無法體現(xiàn)可見光波段波長連續(xù)變化時的光學(xué)現(xiàn)象，而且沒有使用Matlab圖形用戶界面（Graphical User Interfaces，GUI），無法實現(xiàn)交互式模擬.本文利用可見光的光譜圖，采用Matlab GUI對圓環(huán)和矩形環(huán)的夫瑯禾費衍射在可見光波段進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果與實驗結(jié)果一致.GUI中采用交互式滾動條動態(tài)的展現(xiàn)各物理量對衍射結(jié)果的影響，有利于加深學(xué)生對物理規(guī)律的理解和認(rèn)識.

1 圓環(huán)衍射的光強公式

圖1 圓環(huán)衍射屏

如圖1所示，衍射屏上有一個內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)區(qū)域，設(shè)該衍射屏的透射率為：

本文模擬將單位振幅的平面波入射到衍射屏上的情況，根據(jù)標(biāo)量衍射理論[6]，通過圓環(huán)的光在觀察平面上的夫瑯禾費衍射強度分布為：

式中λ是入射光波長，z是觀察平面與衍射屏的距離.根據(jù)遠(yuǎn)場近似的要求，本文中z取50米，觀察區(qū)域是一個0.2米×0.2米的正方形.r是觀察平面上的觀察點到該平面坐標(biāo)原點的距離，J1()表示一階貝塞爾函數(shù).

2 矩形環(huán)衍射的光強公式

如圖2所示，衍射屏上有一個內(nèi)外邊長分別為d和D的矩形環(huán)區(qū)域，該衍射屏的透射率為：

當(dāng)單位振幅的平面波透射過該衍射屏，在遠(yuǎn)離該屏的觀察平面上產(chǎn)生的夫瑯禾費衍射光強分布為：

圖2 矩形環(huán)衍射屏

式中x，y是觀察點在觀察面中的坐標(biāo).

3 Matlab GUI模擬

3.1 界面的設(shè)計

本程序?qū)崿F(xiàn)兩個不同衍射屏下的仿真，為了編程的方便和界面的簡潔，我們使用了matlab的容器控件——面板（Panel），加上初始界面，總共使用了三個面板.當(dāng)其中一個界面出現(xiàn)時，另外兩個界面是隱藏的.圖3所示為程序執(zhí)行后的初始界面.為實現(xiàn)仿真對象的轉(zhuǎn)換，在界面中使用了兩個按鈕（Push Button），“Circle with Obscuration”實現(xiàn)圓環(huán)的仿真，“Rectangle with Obscuration”實現(xiàn)矩形環(huán)的仿真，界面上還有一個標(biāo)示為“Exit”的按鈕用于程序的退出.

3.2 顏色的仿真

我們用imread命令讀入圖4所示的可見光譜，并將光譜保存在color_spectrum這個變量中，該變量是一個三維數(shù)組，前面二維對應(yīng)著空間的行、列坐標(biāo)，第三維對應(yīng)該坐標(biāo)下像素點的紅、綠、藍(lán)顏色值.每個像素點的顏色是由這三個值混合而成[7].為仿真不同波長所對應(yīng)的色彩，我們先將該波長的衍射光強與該波長所對應(yīng)的紅、綠、藍(lán)的顏色值分別相乘，然后再將結(jié)果混合起來，最后用imagesc命令即可得到與該波長相對應(yīng)顏色的光強分布圖.

處理光譜的代碼如下：

3.3 回調(diào)的處理

圖5為圓環(huán)的仿真界面，界面右邊自上而下的三個滾動條分別控制入射光波長，圓環(huán)外徑和內(nèi)徑，因此涉及到三個回調(diào)函數(shù).第一個回調(diào)函數(shù)是對波長改變的響應(yīng).代碼如下：

圖3 初始界面

圖4 可見光譜

圖5 圓環(huán)的仿真

后面兩個回調(diào)函數(shù)是對外徑改變的響應(yīng)，顏色信息以及調(diào)用fraun_obscuration計算光強與上面的callback_slider_wavelength函數(shù)一樣.不同的是這兩個回調(diào)函數(shù)獲取的是內(nèi)外徑的當(dāng)前值.具體代碼是：

4 結(jié) 論

圖6是矩形環(huán)夫瑯禾費衍射的仿真界面，回調(diào)函數(shù)的處

本文利用Matlab圖形用戶界面的開發(fā)功能對圓環(huán)和矩形環(huán)的夫瑯禾費衍射進(jìn)行了仿真.仿真界面是交互式的，光強分布圖可隨入射波長以及衍射屏幾何參數(shù)的改變而變化，仿真結(jié)果與實驗觀測結(jié)果一致，但清晰度更高.本程序可以對不同參數(shù)條件下的實驗結(jié)果進(jìn)行動態(tài)對比，從理方法與圓環(huán)的方法相同，由于篇幅的限制，本文不給出具體的代碼.

圖6 矩形環(huán)的仿真

以上兩個模擬在內(nèi)徑為零時，可分別仿真圓孔和矩形孔的夫瑯禾費衍射光強分布.結(jié)果如圖7、圖8所示.而將抽象的物理規(guī)律直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，加深學(xué)生對此類光學(xué)問題的理解.

圖7 圓孔的仿真

圖8 矩形孔的仿真

[1]Marchand P，Thomas Holland O.Graphics and GUIs with MATLAB[M].third edition.New York：CRC Press，2003.

[2]崔祥霞，楊兆華，陳君.基于MATLAB的光學(xué)衍射與干涉實驗仿真[J].泰山學(xué)院學(xué)報，2009，31（3）:109-113.

[3]王惠臨，趙俊卿.Matlab在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].山東建筑大學(xué)學(xué)報，2009，24（3）:279-281.

[4]呂波.基于Matlab的光學(xué)衍射仿真[J].東華理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，33（4）：363-368.

[5]華晉，尹金花.基于GUI的干涉衍射的實驗教學(xué)研究[J].大學(xué)物理實驗，2011，24（1）:79-82.

[6]Joseph W Goodman.Introduction to Fourier Optics[M].third edition.New York:Roberts&Company Publishers，2004.

[7]Roy s Berns.顏色技術(shù)原理[M].李小梅，譯.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002.