一種新型閾值決策的小波去噪方法

邱愛中

（鄭州師范學(xué)院物理系，河南 鄭州 4500443）

0 引言

在通信中信號去噪有著重要的作用。Donoho提出的統(tǒng)一閾值降噪法是針對多維獨立正態(tài)變量聯(lián)合分布的[1-2]。在利用閾值去噪方面，主要有硬閾值函數(shù)法和軟閾值函數(shù)法。硬閾值法可以很好地保留信號邊沿的局部特征，但會出現(xiàn)振鈴、偽 Gibbs效應(yīng)等失真，而軟閾值函數(shù)法處理相對要平滑，但可能造成邊沿模糊等失真現(xiàn)象[3-4]。為了解決以上問題，將一種新型閾值函數(shù)引入信號去噪，以期實現(xiàn)更好的去噪效果。

固定閾值會產(chǎn)生過扼殺現(xiàn)象，如果在同一級尺度上都采用同一閾值，在較低尺度上，會去除有用信息，在最大尺度級上，則會留下一部分噪聲。為此，采用自適應(yīng)的閾值算法來有效解決這個問題。

文中提出一種基于改進(jìn)型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪方法，分析了改進(jìn)型閾值函數(shù)的特點，給出了自適應(yīng)閾值計算的方法。理論和試驗均說明，該法能獲得比常規(guī)的離散小波降噪法更好的效果，且保留了原始信號的細(xì)節(jié)特征，與傳統(tǒng)去噪法相比是一種較好的恢復(fù)微弱信號的降噪方法。

1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對超過和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計方法。根據(jù)小波去噪的數(shù)學(xué)模型，疊加了高斯白噪聲的信號可以表示為：

式中：s（t）為真實的信號，e（t）為方差 σ2的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)分布，k=1,2,…,N-1,N為信號長度。

基于小波變換的去噪主要分為3個步驟：①選擇小波和小波分解的層數(shù)，根據(jù) Mallat算法對信號做小波變換得出到N層的各級小波分解的系數(shù)。②因為噪聲主要集中在小波細(xì)節(jié)系數(shù)中，故對每層的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行濾波，而對尺度系數(shù)不做處理。選擇軟閾值或者硬閾值函數(shù)，對小波系數(shù)進(jìn)行收縮處理。③根據(jù)第N層的低頻系數(shù)和第一層到第N層的經(jīng)過修改過的高頻系數(shù)，完成信號的小波重構(gòu)，得到去噪信號作為真實信號的估計[3]。根據(jù) Donoho提出的閾值算法，對小波系數(shù)處理的軟閾值函數(shù)為：

硬閾值函數(shù)為：

噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σn可以用以下經(jīng)驗公式估計，即：

2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

小波閾值降噪中閾值量化和閾值函數(shù)決定信號重構(gòu)的連續(xù)性和精度。傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)在信號的連續(xù)性和重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度方面都有各自的不足。軟閾值函數(shù)降噪，雖然處理的小波系數(shù)整體連續(xù)，光滑性也好，可是對于大于閾值的小波系數(shù)恒定壓縮，自然會損失一些有用的高頻信息，影響重構(gòu)信號的真實；硬閾值算法可以避免軟閾值的恒定偏差，然而由于小波系數(shù)在T±處是不連續(xù)的，給重構(gòu)信號帶來一些附加振蕩，使重構(gòu)信號的光滑性變差。改進(jìn)的思想是要讓小波系數(shù)的偏差盡可能小，又要在小波空間連續(xù)，具有高階導(dǎo)數(shù)，為此，參考文獻(xiàn)[4-5]引入新的閾值處理函數(shù)，其表達(dá)式為：

式（6）中，m、n、k為新閾值函數(shù)的調(diào)解因子，它能較好增強(qiáng)應(yīng)用的靈活性。m、n決定閾值函數(shù)的形式，參數(shù)k取值在0到1之間，若k為1，則該閾值函數(shù)相當(dāng)于硬閾值函數(shù)；若k為0,相當(dāng)于軟閾值函數(shù)。故此，在0到1之間調(diào)節(jié)參數(shù) k，可以克服硬閾值函數(shù)的不連續(xù)和軟閾值函數(shù)在處理小波系數(shù)時出現(xiàn)的恒定偏差，同時保留了硬、軟閾值原有的優(yōu)點。該閾值函數(shù)具有無窮階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為小波閾值的自適應(yīng)選擇提供了基礎(chǔ)。

3 自適應(yīng)閾值計算

其中n為小波系數(shù)的個數(shù)，由元素iw（i=1,2,…,n）得：

式（8）中ir為引入的風(fēng)險向量元素，將式（8）多次迭代得出最小的ir，記為0r，與0r對應(yīng)的iw記為0w，則閾值表達(dá)式為：

按照該方法將每一級尺度都看作相互獨立，計算出一個與之最匹配的閾值來進(jìn)行降噪，最后再用各個尺度上降噪處理后的系數(shù)來重構(gòu)信號。

4 仿真試驗分析

為了驗證該算法的降噪效果，利用Matlab構(gòu)造信號并加入白噪聲和有色噪聲，生成具有不同信噪比的含噪信號，然后用Daubechies小波作為小波函數(shù)，分解級數(shù)為4層，采用基于改進(jìn)型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪法進(jìn)行去噪，再和傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)去噪法進(jìn)行降噪處理比較。以下繪出的信號波形是降噪后最接近原始信號的波形，當(dāng)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步加大或者減小閾值時，會出現(xiàn)波形失真。由圖1～圖5可看出基于新閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的去噪法提高了重構(gòu)信號的信噪比，較好保留了原始信號的細(xì)節(jié)特征。

圖1 原始信號

圖2 染噪信號

圖3 該新閾值決策去噪法的降噪信號

圖4 軟閾值函數(shù)去噪法的降噪信號

圖5 硬閾值函數(shù)去噪法的降噪信號

5 結(jié)語

本文提出了一種新型閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的信號降噪法，仿真實驗和應(yīng)用實例顯示該法可獲得比常規(guī)傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)的去噪方法更好的去噪效果，能更有效地提取有用微弱信號的信息。改進(jìn)的小波閾值函數(shù)克服了軟閾值信號失真和硬閾值不連續(xù)、振蕩等缺點，提高了信號去噪的恢復(fù)能力。采用自適應(yīng)的閾值算法能有效解決固定閾值產(chǎn)生過扼殺現(xiàn)象。試驗證明該法提高了重構(gòu)信號的信噪比，有效去除了噪聲，且保留了原始信號的細(xì)節(jié)特征。

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