基于鍵圖的交流感應(yīng)電動機(jī)建模與研究

陳煥明，劉衛(wèi)國，肖 喆

(西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安710072)

0 引 言

交流感應(yīng)電動機(jī)的能量轉(zhuǎn)換是通過旋轉(zhuǎn)磁場來進(jìn)行的。研究交流感應(yīng)電動機(jī)動態(tài)特性的實(shí)質(zhì)就是研究旋轉(zhuǎn)磁場的變化過程及其相互作用，目前大都采用數(shù)值法，因其涉及電、磁、機(jī)械以及內(nèi)能等多種能量領(lǐng)域，使得其研究比較困難。

本文采用鍵圖理論來研究交流感應(yīng)電動機(jī)的磁場及其動態(tài)特性。鍵圖基本理論是美國麻省理工學(xué)院的H.Paynter教授在運(yùn)用方塊圖和信號流圖深入研究伺服控制和仿真問題時提出的一種全新的鍵圖表示法，用以研究各個工程領(lǐng)域的系統(tǒng)動態(tài)性能。它有四種狀態(tài)變量:勢、流、位移和動量;九種鍵圖元:阻性元、容性元、慣性元、勢源、流源、變換器、回轉(zhuǎn)器、0－結(jié)和1－結(jié)，以及相應(yīng)的鍵圖規(guī)則。鍵圖理論從功率和能量的觀點(diǎn)來反映系統(tǒng)中信號的流向、功率的流向以及控制信號的因果關(guān)系，后經(jīng)D.C.Karnopp和 R.C.Rosenberg兩位教授的進(jìn)一步完善，目前已成為一門新型的科學(xué)，廣泛應(yīng)用于多能域的復(fù)合系統(tǒng)研究。

電機(jī)的鍵圖研究始于1980年，Sahm和Karnopp等人在研究電機(jī)和運(yùn)動控制及仿真時，根據(jù)電機(jī)的動態(tài)方程，按照鍵圖理論初步建立了一個電機(jī)鍵圖模型。Ghosh和Bhadra等人在1993年對Sahm的電機(jī)鍵圖模型進(jìn)行了更深一步研究，用慣性元來描述電機(jī)的旋轉(zhuǎn)磁場。M.D.Bryant和 J.L.Stein等人在其基礎(chǔ)上又進(jìn)行了完善和推廣，使鍵圖理論更加廣泛應(yīng)用于電磁領(lǐng)域。國內(nèi)許多專家和學(xué)者也在開展鍵圖研究，但對于電機(jī)的鍵圖研究剛剛開始起步。

1 電機(jī)鍵圖模型

交流電機(jī)的基本類型及其穩(wěn)態(tài)運(yùn)行理論在20世紀(jì)初已基本建立，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，交流電機(jī)理論又進(jìn)入一個新的時期，可以進(jìn)行電機(jī)的動態(tài)和電磁瞬態(tài)分析，但電機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場的研究仍是難點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)磁場是電機(jī)進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換和傳遞的基礎(chǔ)。當(dāng)電機(jī)的定子線圈通以三相對稱正弦波電流時，在電機(jī)定子線圈中就會產(chǎn)生在空間上按正弦分布的旋轉(zhuǎn)磁動勢，形成旋轉(zhuǎn)磁場。該磁場在其運(yùn)動過程中切割轉(zhuǎn)子導(dǎo)體，轉(zhuǎn)子導(dǎo)體中就會產(chǎn)生相應(yīng)的感應(yīng)電動勢，形成感生電流。感生電流的方向是隨著旋轉(zhuǎn)磁場的旋轉(zhuǎn)而變化。載流導(dǎo)體在磁場中受力，從而產(chǎn)生運(yùn)動，使轉(zhuǎn)子沿著旋轉(zhuǎn)磁場方向旋轉(zhuǎn)。這樣三相交流感應(yīng)電動機(jī)就將電能通過旋轉(zhuǎn)磁場的作用而轉(zhuǎn)換成機(jī)械能輸出，能量的轉(zhuǎn)換和傳遞就是通過場來實(shí)現(xiàn)的。這個實(shí)現(xiàn)電機(jī)功率輸入與輸出之間關(guān)系的旋轉(zhuǎn)磁場，在數(shù)學(xué)上用磁鏈矩陣方程來描述。坐標(biāo)系上的磁鏈矩陣方程如下:

Ghosh和Bhadra等人根據(jù)α、β坐標(biāo)系上的電壓方程、電磁轉(zhuǎn)矩方程和機(jī)械運(yùn)動方程，建立了電機(jī)鍵圖模型，而旋轉(zhuǎn)磁場是根據(jù)磁鏈矩陣方程采用鍵圖理論中的多通口慣性I場來描述。如圖1所示。圖中 Rαs和 Rβs表示定子線圈等效電阻，Rαr和Rβr表示轉(zhuǎn)子線圈等效電阻。

圖1 Ghosh電機(jī)鍵圖模型

對于鼠籠式異步電動機(jī)，根據(jù)Hancock研究結(jié)果，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中的電流特性如下:

轉(zhuǎn)子上的電磁轉(zhuǎn)矩如下:

式中:irk代表轉(zhuǎn)子上第k根導(dǎo)條中的電流，k=1，2，3，…，n;θ為機(jī)械角位移;n為轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù);p為電機(jī)極對數(shù)。

圖2 鼠籠式異步電動機(jī)鍵圖模型

根據(jù)式(3)和式(4)，西北工業(yè)大學(xué)在Ghosh等人的電機(jī)鍵圖模型基礎(chǔ)上對鼠籠式異步電動機(jī)做了進(jìn)一步的研究，建立了轉(zhuǎn)子鍵圖模型及鼠籠式異步電機(jī)鍵圖模型，如圖2所示。圖中R表示定子線圈電阻，Rr表示轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電阻。因電機(jī)的三相定子繞組和轉(zhuǎn)子導(dǎo)條都是對稱分布設(shè)計(jì)的，故定子各繞組的電阻相等，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的電阻也相等。

2 電機(jī)鍵圖模型修正

圖2中定子線圈和轉(zhuǎn)子導(dǎo)條之間的磁場的相互作用，是通過兩通口慣性元件I場來表示的，但其物理意義不明確。鍵圖理論將涉及能量的多種物理參量統(tǒng)一歸納為四種狀態(tài)變量，即勢、流、位移和動量，對于電、機(jī)械和液壓等而言，這四種狀態(tài)變量物理意義很明確。而對于磁場而言，一般將磁路中的磁阻看作類似于電阻，把磁通看作類似于電流，而磁勢類似于電動勢。但根據(jù)其物理特性而言，電阻都是消耗功率的，對于一個呈現(xiàn)磁阻的線圈卻貯存能量。事實(shí)上，在鍵圖理論中磁場的廣義流不是磁通，而是磁通的時間變化率。

對圖2的鍵圖模型按照C場的鍵圖法則進(jìn)行修正，圖中的兩通口慣性I場應(yīng)該用兩通口容性元件C場來表示。這樣應(yīng)用鍵圖中的變換器和回轉(zhuǎn)器及其相應(yīng)法則，相應(yīng)地不改變其因果關(guān)系，可將兩通口慣性場I∶L變換成GY∶n－C∶P，變換器TF∶m－GY∶n變換成GT∶n－TF∶1/m。調(diào)整回轉(zhuǎn)器GY的位置后，回轉(zhuǎn)器的模數(shù)n就表示為定子線圈的有效匝數(shù)或轉(zhuǎn)子線圈的有效匝數(shù)，而P表示磁路的磁導(dǎo)。這樣，電機(jī)鍵圖模型中α軸和β軸上的兩通口慣性I場即用兩通口容性C場來代替。用C場來表示的交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型如圖3所示。

圖3 修正后的交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型

3 仿真與分析

3.1 模型仿真參數(shù)

對于修正后的交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型進(jìn)行仿真。模型仿真參數(shù)如下:三相正弦波電壓，其幅值Vm=220 V，頻率 f=50 Hz，相位差 θ=120°;定子線圈各相總電阻Rs=0.078 8 Ω;定子線圈各相匝數(shù)ns=100;轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)n=5或n=9;轉(zhuǎn)子各導(dǎo)條電阻Rr=0.040 8 Ω;轉(zhuǎn)子各導(dǎo)條匝數(shù)nr=1;定子線圈自感 Ls=0.015 3 H;轉(zhuǎn)子自感 Lr=0.015 9 H;定、轉(zhuǎn)子等效繞組間的互感Lm=0.014 7 H;轉(zhuǎn)動慣量J=0.4 kg·m2;機(jī)械旋轉(zhuǎn)阻力系數(shù) RB=0.15 N·s/m;電機(jī)極對數(shù)p=2。采用變步長四階龍格－庫塔法進(jìn)行仿真，仿真步長10－6s，仿真時間為2 s。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖4是電機(jī)鍵圖模型修正前后的轉(zhuǎn)速曲線的比較，圖5是電機(jī)起動階段轉(zhuǎn)速曲線的放大圖。從圖中可以看出，兩模型的轉(zhuǎn)速曲線比較吻合，但兩轉(zhuǎn)速曲線在速度上升階段和在振蕩衰減階段有差異。修正后的模型中考慮到了電機(jī)定子線圈的匝數(shù)，模型物理意義更加明確。通過兩模型的轉(zhuǎn)速曲線比較，說明本文用兩通口容性C場所建立的三相交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型是正確的。

圖6是電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線和定子線圈電流曲線，圖7是電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線和轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流曲線。轉(zhuǎn)子在隨旋轉(zhuǎn)磁場旋轉(zhuǎn)的過程中，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條在旋轉(zhuǎn)磁場中的相對位置不同，其感應(yīng)電流方向也不一樣，感應(yīng)電流的大小及方向是隨著轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)而交替變化的，轉(zhuǎn)子上相鄰導(dǎo)條之間的感應(yīng)電流相位差為2π/5。

在模型建立過程中，為研究方便，暫取轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)n=5。相應(yīng)地選取轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)n=9進(jìn)行建模和仿真，電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線和定子線圈電流曲線如圖8所示。對于轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)n=9的電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線和對于轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)n=5的電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線進(jìn)行對比分析，兩轉(zhuǎn)速曲線基本一致。而電機(jī)定子線圈電流曲線的波動有區(qū)別，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)越多，定子線圈電流曲線的波動越小。轉(zhuǎn)子上各導(dǎo)條中的電流曲線如圖9所示，圖10是各導(dǎo)條中電流曲線的放大圖。通過比較圖7和圖9可以看出，轉(zhuǎn)子上各導(dǎo)條中的電流峰值下降比較大，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)越多，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中電流就越小，相鄰導(dǎo)條之間的感應(yīng)電流相位差為2π/9。

4 結(jié) 語

交流感應(yīng)電動機(jī)中的電、磁與機(jī)械能之間的相互轉(zhuǎn)換是通過場來進(jìn)行的，場是能量交換的基礎(chǔ)。本文在鼠籠式異步電動機(jī)鍵圖模型基礎(chǔ)上，應(yīng)用鍵圖理論中有關(guān)場的理論，詳細(xì)分析和研究了交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型，并對其進(jìn)行了修正，用容性C場代替慣性I場建立起了交流感應(yīng)電動機(jī)的鍵圖模型，這樣使得電機(jī)定子線圈匝數(shù)等物理參量在鍵圖模型中明確地顯示出來，模型物理意義更加明確。通過仿真對比兩模型的速度曲線，說明本文基于容性C場建立的交流感應(yīng)電動機(jī)鍵圖模型是正確的。同時，本文也進(jìn)一步分析了轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)量對其動態(tài)特性的影響。轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)量越多，定子線圈電流的波動越小，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條中的電流也越小，這有利于降低轉(zhuǎn)子因?qū)l電流而產(chǎn)生的熱效應(yīng)，為交流感應(yīng)電動機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。但轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)的增加，也增加了電機(jī)轉(zhuǎn)子的物理尺寸，最佳轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)有待于更進(jìn)一步的研究。

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