高超聲速飛行器非線性H∞姿態(tài)控制設(shè)計(jì)

王 延，周鳳岐，周 軍，郭建國

（西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，710072 西安，wangyan991926@sina.com）

由式(1)可得:

那么式(2)中的各個(gè)函數(shù)計(jì)算為

閉環(huán)非線性系統(tǒng)式(2)，式(9)漸近穩(wěn)定.

2)當(dāng)w≠0，得出

高超聲速飛行器非線性H∞姿態(tài)控制設(shè)計(jì)

王 延，周鳳岐，周 軍，郭建國

（西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，710072 西安，wangyan991926@sina.com）

針對(duì)高超聲速飛行器傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤控制問題，將非線性耦合系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤控制表述為非線性H∞控制的指令誤差狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)形式.基于非線性系統(tǒng)γ－耗散性及L2增益設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)滿足Hamilton-Jacobi-Isaacs不等式的光滑可微儲(chǔ)能函數(shù).在一定假設(shè)條件下，利用非線性系統(tǒng)在局部空間內(nèi)線性伴隨系統(tǒng)的Riccati微分方程，獲得非線性H∞控制問題在鄰近指令誤差狀態(tài)空間的局部空間解，來解決非線性耦合系統(tǒng)的H∞控制問題.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方案避免了復(fù)雜的Hamilton-Jacobi-Isaacs不等式求解過程.

高超聲速飛行器;非線性H∞控制;L2增益;Hamilton-Jacobi-Isaacs不等式

高超聲速飛行器控制問題中穩(wěn)定性、控制性能以及魯棒性等是其主要關(guān)心的問題.目前對(duì)高超聲速飛行器魯棒控制研究大部分集中在縱向模態(tài)，且大部分都是以忽略模型之間相互耦合影響為前提的［1－3］，而非線性魯棒控制方法普遍是基于動(dòng)態(tài)逆或基于微分幾何精確反饋線性化的控制策略［4－7］.

基于微分幾何的精確反饋線性化過程中要進(jìn)行大量繁瑣的高階微分運(yùn)算，動(dòng)態(tài)逆方法對(duì)建模誤差非常敏感［8］，需要實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)精確建模.傾斜轉(zhuǎn)彎技術(shù)能夠適應(yīng)高超聲速飛行器氣動(dòng)外形對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)參數(shù)以及大氣條件變化敏感、氣動(dòng)特性復(fù)雜等特性要求，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)快時(shí)變、強(qiáng)耦合.從已有文獻(xiàn)可以看出高超聲速飛行器縱向控制問題已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜，考慮非線性耦合模型時(shí)，控制問題將變得更復(fù)雜，這給實(shí)際應(yīng)用帶來較大的難度.

非線性H∞控制作為一種先進(jìn)的魯棒控制方法，其應(yīng)用因?yàn)榉爆嵉?HJI(Hamilton-Jacobi-I-saacs)不等式求解而受限.文獻(xiàn)［9－10］基于L2增益分析，提出了平滑仿射非線性系統(tǒng)H∞控制的完整解決方案.文獻(xiàn)［11－12］將上述方法擴(kuò)展到含有非光滑摩擦力的動(dòng)力學(xué)模型，并應(yīng)用于機(jī)械控制.本文針對(duì)高超聲速飛行器非線性耦合系統(tǒng)傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤控制問題，建立高超聲速飛行器H∞傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤模型，為了解決該非線性耦合系統(tǒng)控制問題，放寬文獻(xiàn)［11－12］的應(yīng)用條件，設(shè)計(jì)非線性H∞姿態(tài)跟蹤控制器.該方案通過求解非線性H∞控制問題在鄰近指令狀態(tài)點(diǎn)的局部空間解，避免非線性H∞控制設(shè)計(jì)中復(fù)雜的HJI不等式求解過程，通過仿真驗(yàn)證了該方法滿足高超聲速飛行器傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤控制設(shè)計(jì)要求，具備較好的魯棒性能.

1 高超聲速飛行器姿態(tài)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型

高超聲速飛行器傾斜轉(zhuǎn)彎H∞姿態(tài)控制設(shè)計(jì)目的是設(shè)計(jì)H∞控制器使得飛行器滾轉(zhuǎn)角γ跟蹤滾轉(zhuǎn)角指令γc，攻角α跟蹤攻角指令αc，保持側(cè)滑角β跟蹤βc=0，且系統(tǒng)內(nèi)部漸近穩(wěn)定.因此選取狀態(tài)變量為

建立高超聲速飛行器傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型為

由式(1)可得:

那么式(2)中的各個(gè)函數(shù)計(jì)算為

式中c1～c6為常數(shù)參量.

跟蹤動(dòng)力學(xué)模型式(2)沒有作γ、α、β小角度假設(shè)，沒有作三通道解耦處理，是一個(gè)嚴(yán)重非線性耦合系統(tǒng)，其中耦合包含了慣性耦合、氣動(dòng)耦合及控制量耦合.

2 一種非線性H∞控制方法的全局解

文獻(xiàn)［11－12］中為了解決包含非光滑摩擦力的非線性機(jī)械模型H∞控制問題，對(duì)被控模型做出了很多的假設(shè)限制條件.為了借鑒其控制方案設(shè)計(jì)思路應(yīng)用于連續(xù)光滑的高超聲速飛行器非線性姿態(tài)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型，放寬其應(yīng)用限制條件，對(duì)于形如式(2)的光滑非線性耦合系統(tǒng)，做出如下假設(shè)為:

假設(shè)1 e∈ Rn，u ∈ Rm，w ∈ Rr，z∈ Rl，y∈Rp;

假設(shè) 2 f(e)，g1(e)，g2(e)，h1(e)，h2(e)是分段連續(xù)函數(shù)，且滿足局部Lipschitz條件;

假設(shè)3 存在反饋控制u使得式(2)漸近穩(wěn)定.

那么非線性系統(tǒng)式(2)的H∞控制問題表述為:給定正數(shù)λ＞0，設(shè)計(jì)反饋控制器為

使得對(duì)任意給定的t＞0，當(dāng)初始狀態(tài)e0=0，初始內(nèi)狀態(tài)ξ0=0時(shí)，表示為即使得閉環(huán)非線性耦合系統(tǒng)式(2)，式(9)的L2增益 ＜λ.這樣，如果該系統(tǒng)是零狀態(tài)可檢測的(即當(dāng)z(t)→0時(shí)，e(t)→0成立)，根據(jù)La Salla定理可知e0=0是該系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)［14］.

為了解決上述問題，做出下述2個(gè)假設(shè):

假設(shè)4 存在平滑正定函數(shù)V(e)，使得HJI不等式成立.

假設(shè)5 存在分段連續(xù)函數(shù)，平滑半正定函數(shù)W(e，ξ)且 W(e0，ξ)正定，使得 HJI不等式成立為

在假設(shè)4，5基礎(chǔ)上有下列定理:

定理1 若假設(shè)4)，5)對(duì)于非線性耦合系統(tǒng)式(2)成立，那么存在反饋控制為

使得非線性耦合系統(tǒng)式(2)全局漸近穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)式(2)，式(9)的L2增益 ＜λ.

證明 首先定義函數(shù)為

將式(14)分別對(duì)w、u求導(dǎo)，得出

將式(14)用泰勒級(jí)數(shù)展開為

假設(shè)4，計(jì)算為

因此得到:

接著，定義函數(shù)為

同理可得

那么構(gòu)造有界正定函數(shù)為

將式(19)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)為:

1)當(dāng)w=0，得出

任意給定的t＞ 0，當(dāng)初始狀態(tài)(e0，ξ0)=(0，0)時(shí)，對(duì)式(20)積分得出

閉環(huán)非線性系統(tǒng)式(2)，式(9)漸近穩(wěn)定.

2)當(dāng)w≠0，得出

閉環(huán)非線性系統(tǒng)式(2)，式(9)的L2增益 ＜λ.

證畢.

因此，式(13)即為上述非線性H∞控制問題的全局解.實(shí)際上，在飛行器控制應(yīng)用中不是必須得到全局解，而只需要在飛行航跡附近的局部空間內(nèi)使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，L2增益 ＜λ即能夠滿足飛行器飛行要求，這樣將大大簡化控制器設(shè)計(jì)的難度.

3 非線性控制的局部狀態(tài)空間解

若非線性系統(tǒng)式(2)同時(shí)滿足下述假設(shè):

假設(shè)6 對(duì)任意給定的t＞0，函數(shù)g1(e)，g2(e)，h1(e)，h2(e)在鄰近e0=0的局部狀態(tài)空間內(nèi)關(guān)于e二次連續(xù)可微，且在某一給定的局部狀態(tài)空間內(nèi)，一階、二階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)且一致有界.

若滿足假設(shè)6，則在鄰近e0=0的局部狀態(tài)空間內(nèi)，存在非線性系統(tǒng)式(2)的線性伴隨系統(tǒng)為

若在鄰近e0=0的局部狀態(tài)空間內(nèi)，線性伴隨系統(tǒng)式(21)滿足可穩(wěn)定可觀測條件，那么文獻(xiàn)［15］得出了如下結(jié)論:

結(jié)論1 存在對(duì)稱半正定矩陣解P使得指數(shù)穩(wěn)定為

結(jié)論2 存在對(duì)稱半正定矩陣解P使得指數(shù)穩(wěn)定為

由結(jié)論1，2可以得出下列推論:

推論2 存在一個(gè)正常數(shù)ε0，當(dāng)ε∈(0，ε0)時(shí)，局部伴隨線性系統(tǒng)式(21)的Riccati方程存在唯一的有界對(duì)稱正定解(Pε，Zε)為

定理3 若滿足推論2，那么給定正數(shù)常λ＞0，ε＞0，由式(26)，(27)解得有界對(duì)稱正定解(Pε，Zε)，反饋控制為

使得閉環(huán)非線性系統(tǒng)式(2)，式(28)在鄰近(e，ξ)=(0，0)的局部狀態(tài)空間內(nèi)漸近穩(wěn)定、L2增益 ＜λ.

證明 由推論2，在(e，ξ)=(0，0)周圍的局部空間，依據(jù)假設(shè)條件4，5定義如下函數(shù):

對(duì)應(yīng)HJI不等式式(11)得到:

將式(29)～(33)代入式(11)得到:

對(duì)應(yīng)不等式HJI式(12)得到:

由式(27)得到方程:

將式(35)～(39)代入式(12)得到:

根據(jù)定理1，由式(34)，(40)得出反饋控制式(28)是式(2)的非線性H∞控制問題在鄰近(e，ξ)=(0，0)的局部狀態(tài)空間內(nèi)的局部解.

證畢.

實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)高超聲速飛行器H∞傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)模型式(2)，在飛行航跡附近的狀態(tài)空間內(nèi)，求解鄰近指令狀態(tài)點(diǎn)(e，ξ)=(0，0)的局部狀態(tài)空間解式(28)，使得閉環(huán)非線性系統(tǒng)式(2)，式(28)在上述局部空間內(nèi)L2增益 ＜λ，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

4 仿真結(jié)果

選擇仿真條件:飛行高度h=50 km，馬赫數(shù)M=20.應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行跟蹤10°滾轉(zhuǎn)角方波指令、10°攻角方波指令和0°側(cè)滑角指令控制系統(tǒng)仿真驗(yàn)證.仿真中，三通道舵偏與實(shí)際中3個(gè)舵面舵偏的關(guān)系為

如圖1，當(dāng)從彈身后方沿機(jī)體系X軸向前觀察時(shí)，安裝在右翼后緣的右側(cè)升降舵記為δ1，安裝在左翼后緣的左側(cè)升降舵記為δ2，安裝在垂尾后緣的方向舵記為δ3.左、右升降舵后緣下偏為正偏轉(zhuǎn)，方向舵后緣右偏為正偏轉(zhuǎn).

圖1 高超聲速飛行器

仿真中，假設(shè)實(shí)際舵系統(tǒng)為二階環(huán)節(jié)，舵系統(tǒng)的輸入指令與實(shí)際輸出之間的傳遞函數(shù)為

仿真結(jié)果如圖2～7所示，設(shè)計(jì)的控制方法滿足設(shè)計(jì)要求:控制系統(tǒng)具有良好的指令跟蹤能力，側(cè)滑角β趨近于0°，最大誤差 ＜2°;跟蹤攻角α方波指令，穩(wěn)態(tài)誤差 ＜2%;跟蹤滾轉(zhuǎn)角γ穩(wěn)態(tài)誤差 ＜1%，γ響應(yīng)有些緩慢，是因?yàn)橄到y(tǒng)實(shí)際舵面控制作用耦合，按照式(41)的實(shí)際舵面分配，舵效無法同時(shí)使2個(gè)通道的跟蹤效果達(dá)到最優(yōu);控制系統(tǒng)具備很好的魯棒性能，當(dāng)氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)±30%時(shí)，跟蹤控制效果影響很小.

圖2 滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)

圖3 攻角響應(yīng)

圖4 側(cè)滑角響應(yīng)

實(shí)際上，仿真中可實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)±38%時(shí)仍有較好的魯棒性能，當(dāng)超出這個(gè)范圍控制結(jié)果將發(fā)散.即參數(shù)攝動(dòng)＜±38%，系統(tǒng)處于滿足本文控制策略的局部狀態(tài)空間內(nèi)，參數(shù)攝動(dòng) ＞±38%，系統(tǒng)就超出了非線性控制器局部狀態(tài)空間解的設(shè)計(jì)范圍.實(shí)際工程中該控制策略在多大范圍的局部狀態(tài)空間內(nèi)可行，還與具體被控對(duì)象模型有關(guān).

圖5 滾轉(zhuǎn)通道舵偏

圖6 偏航通道舵偏

圖7 俯仰通道舵偏

5 結(jié) 論

1)針對(duì)高超聲速飛行器非線性耦合系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤控制問題，建立高超聲速飛行器H∞傾斜轉(zhuǎn)彎姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)非線性H∞姿態(tài)跟蹤控制器.

2)該方法利用局部空間內(nèi)伴隨系統(tǒng)的Riccati微分方程，避免了非線性H∞控制問題中復(fù)雜繁瑣的HJI不等式解算過程，便于實(shí)際應(yīng)用.仿真驗(yàn)證了該方法滿足性能設(shè)計(jì)要求，具備較強(qiáng)的魯棒性能.

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Design of nonlinear H∞controller for hypersonic vehicle system

WANG Yan，ZHOU Feng-qi，ZHOU Jun，GUO Jian-guo

(Institute for Precision Guidance and Control，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi'an，China，wangyan991926@sina.com)

For the BTT attitude tracking control problem of hypersonic vehicle，a state-error-space implementation expression of nonlinear H∞attitude tracking control for above nonlinear coupling system is given firstly.Then basing on γ－energy-dissipation and L2gain performance criterion in nonlinear system theory，the smooth differentiable stored-energy function is designed，which subject to the Hamilton-Jacobi-Isaacs inequality.Following some assumptions，a local state-space solution of nonlinear H∞attitude-tracking control problem for nonlinear coupling hypersonic vehicle system is obtained，by using Riccati differential equation of linear following system in local state-space.The local state-space is the neighborhood around the command state error space.Above approach avoids complicated solving process of Hamilton-Jacobi-Isaacs inequality，thus it's a good reference for engineering.

hypersonic vehicle;nonlinear H∞control;L2gain;Hamilton-Jacobi-Isaacs inequality

V44

A

0367－6234(2011)09－0128－06

2011－06－02.

航天科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(N11XW0001).

王 延(1979—)，男，博士研究生;

周鳳岐(1935—)，男，教授，博士生導(dǎo)師;

周 軍(1966—)男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 張 紅)