卡爾曼濾波在壩體變形監(jiān)測中的應(yīng)用①

陳 帥，趙 麗，李 超，丁胡進

（安徽理工大學 測繪學院，安徽 淮南232001）

0 引言

卡爾曼濾波是由卡爾曼（Rudolf Emil Kalman）在1960年提出的一種新的線性濾波模型。它具有最小無偏方差，是目前應(yīng)用最為廣泛的一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理方法。卡爾曼濾波算法是通過采用遞推的方式，即用t－1時刻估值，結(jié)合t時刻的觀測值，通過遞推方程得到t時刻的狀態(tài)估值，概括地說就是利用新一期的觀測值，不斷地進行預(yù)測和修正即可估算出系統(tǒng)新的狀態(tài)值［1]。具體過程是通過建立狀態(tài)方程和觀測方程來反映系統(tǒng)的動態(tài)過程，根據(jù)濾波增益矩陣的變化，再從觀測數(shù)據(jù)中定量識別以及提取有效的信息，修正狀態(tài)參量，不需要存儲所有時刻的觀測數(shù)據(jù)，方便實施數(shù)據(jù)處理，適用于GPS監(jiān)測網(wǎng)的觀測數(shù)據(jù)［2]。本文通過對卡爾曼濾波算法的基本原理的介紹，結(jié)合某大壩的實測數(shù)據(jù)，探討了卡爾曼濾波在GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用問題。

1 數(shù)學模型的建立

卡爾曼濾波算法借助系統(tǒng)建模的狀態(tài)矩陣和觀測數(shù)據(jù)，利用觀測數(shù)據(jù)來估計隨時間不斷變化的狀態(tài)向量，實時、最優(yōu)地估計系統(tǒng)的狀態(tài)量，并對未來時刻的系統(tǒng)狀態(tài)量進行預(yù)報［3]。利用卡爾曼濾波進行狀態(tài)估計，首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程。

假設(shè)現(xiàn)有n個監(jiān)測點組成一GPS變形監(jiān)測網(wǎng)，m為基線向量數(shù)。以GPS點的三維位置和三維速率（WGS－84空間直角坐標系下）為狀態(tài)向量，設(shè)ξi（t）為點i在t時刻的位置向量，λi（t）為瞬時速率，把瞬時加速率Wi（t）看作是一種隨機噪聲干擾，則有微分關(guān)系式

上式是一個常系數(shù)連續(xù)線性微分方程，式中，0和E分別表示三階的零矩陣和單位矩陣。

將上式離散化后得到卡爾曼濾波的狀態(tài)方程，寫成純量式為

其中，Δtk＝tk＋1－tk（tk＋1和tk分別為第k＋1期和第k期的觀測時刻）。

根據(jù)（3）式，可得全網(wǎng)的狀態(tài)方程為

式中：Xk為k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量；Zk為k時刻系統(tǒng)觀測向量；Φk，k－1為k時刻到k－1時刻的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk，k－1為系統(tǒng)噪聲矩陣；Hk為k時刻的系統(tǒng)觀測矩陣；Wk－1為k－1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)噪聲；Vk為k時刻的系統(tǒng)觀測噪聲。

卡爾曼濾波方程為［4]

式中：Qk－1為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲Wk－1的方差陣；Rk為系統(tǒng)觀測噪聲Vk的方差陣；Kk為狀態(tài)增益矩陣。

2 實例分析

現(xiàn)以某大壩的GPS監(jiān)測數(shù)據(jù)為例進行分析。該監(jiān)測網(wǎng)由兩個基準點和12個監(jiān)測點組成，共觀測了6期，將經(jīng)過最小二乘處理后的GPS數(shù)據(jù)再用卡爾曼濾波進行處理，利用前三期進行濾波處理，預(yù)測后兩期。

初始值的選取：

式中：X0為初始狀態(tài)矢量；R為觀測噪聲向量的方差矩陣；Q為動態(tài)噪聲向量的方差矩陣。

表1 濾波值與實測值之差

表2 預(yù)測值與實測值之差

從表1可以看出，卡爾曼濾波值與實測值之差都不超過3mm，且多數(shù)不超過1mm.說明卡爾曼濾波能夠較好地反映GPS變形監(jiān)測的實際情況，比較真實地體現(xiàn)了變形體動態(tài)數(shù)據(jù)的實時性。結(jié)果表明：卡爾曼濾波對GPS變形監(jiān)測具有良好的剔除噪聲的作用，并能較準確地對未來時刻的狀態(tài)進行預(yù)測。

3 結(jié) 論

1）將卡爾曼濾波應(yīng)用于壩體的變形監(jiān)測中，不僅可以剔除噪聲，實時地獲得監(jiān)測系統(tǒng)的當前狀態(tài)，還可以對未來時刻的狀態(tài)進行預(yù)測，這也是變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析的重要依據(jù)。

2）卡爾曼濾波方程是一組遞推公式，不需要存儲所有時刻的觀測數(shù)據(jù)，方便大量實施數(shù)據(jù)處理，簡便有效。

3）系統(tǒng)初始狀態(tài)的選取對濾波結(jié)果有一定影響，選取不合適可能導致結(jié)果失真。

［1]鄧自立.最優(yōu)估計理論及其應(yīng)用［M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2005.

［2]華媛媛，胡潤生，劉海青.卡爾曼濾波法用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［J].技術(shù)與創(chuàng)新管理，2008（11）：658－660.

［3]李長洪，范麗萍，張吉良，等.卡爾曼濾波在大型深凹露天礦邊坡變形監(jiān)測預(yù)測中的應(yīng)用［J].北京科技大學學報，2010（1）：8－12.

［4]崔希璋，於宗儔，陶本藻.廣義測量平差［M].北京：測繪出版社，1992：228－252.