萬有引力中“隨”、“繞”模型的區(qū)分

劉春紅

（臨清市第三中學(xué) 山東 臨清 252600）

隨著近幾年我國航天技術(shù)飛速發(fā)展，運(yùn)用萬有引力定律求解天體運(yùn)動(dòng)問題，成了高考每年必考的重要內(nèi)容.在解答這類考題時(shí)，學(xué)生往往出現(xiàn)思維混亂，不能選用正確的公式列式求解，導(dǎo)致耗時(shí)多、得分少.因此，在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)這章知識(shí)時(shí)，教師選用準(zhǔn)確的物理模型，幫助學(xué)生迅速找到破題方法是非常關(guān)鍵的.

近幾年來不少地方高三的模擬試題中，有如下的一類題目.

【例1】如圖1所示，a為放在赤道上的物體，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星.以下關(guān)于a，b，c的說法中正確的是

A.a，b，c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為aa＞ab＞ac

B.a，b，c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為ac＞ab＞aa

C.a，b，c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為Ta＝Tc＞Tb

D.a，b，c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小關(guān)系為va＝vb＞vc

圖1

這類題目讓學(xué)生很頭疼，當(dāng)然正確率也是很低的.究其原因，學(xué)生說：“b，c可以代公式進(jìn)行比較，但a，c就不知用什么公式了.”筆者覺得主要是因?yàn)閷W(xué)生沒從本質(zhì)上區(qū)分開“隨”、“繞”模型.現(xiàn)結(jié)合以上題目就兩種模型的區(qū)分和應(yīng)用總結(jié)如下.

1 兩種模型的定義不同

一種是在天體表面和天體一起做圓周運(yùn)動(dòng)的物體簡稱“隨”模型，如例1中的a；一種是圍繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的物體簡稱“繞”模型，如例1中的b，c.而對于地球，根據(jù)衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的軌道不同，又可分為近地衛(wèi)星（如b）和高空衛(wèi)星（如c）.

2 兩種模型中向心力的來源不同

“隨”模型中，物體所受的向心力是由萬有引力與天體對物體的支持力的合力來提供.如例1中的物體a，其中重力（萬有引力的一個(gè)分力）與物體所受的支持力相抵消，萬有引力的另一個(gè)分力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即萬有引力與地面對物體的支持力的合力提供向心力.在赤道上

在兩極處

隨著緯度的不同，同一物體所受的向心力是不同的.這樣就不能依據(jù)萬有引力等于向心力的一系列方程或其結(jié)論解決“隨”模型中的問題.

“繞”模型中，物體所受的向心力完全由萬有引力來提供.如例1中的b，c，不管衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)的半徑多大，只要是衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，那么就是萬有引力全部提供向心力，就可以列出萬有引力等于向心力的一系列方程，即有

從而較好地解決問題.

3 兩種模型中各物理量變化規(guī)律不同

“隨”模型中，物體運(yùn)動(dòng)的角速度ω、周期T與天體自傳的ω和T相同，而線速度v隨物體在天體上位置的變化而變化.所以對于“隨”天體轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)的角速度ω、周期T和線速度v，都沒有固定的公式進(jìn)行定性分析或定量的計(jì)算.

“繞”模型中，由于向心力全部由萬有引力提供，則由

由此可見，物體運(yùn)動(dòng)的角速度ω、周期T、向心加速度a和線速度v都因運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的不同而不同.我們可以根據(jù)（1）、（2）、（3）、（4）式定性分析或定量的計(jì)算.如例1中知rc＞rb，由得，由Tc＞Tb.

雖然“隨”、“繞”模型有本質(zhì)的區(qū)別，但它們都可以近似地看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以“隨”、“繞”模型同時(shí)又都遵守勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，即

如例1中，a屬于“隨”模型，c屬于“繞”模型，但因c是地球的同步衛(wèi)星.所以對a，c有

所以例1中選項(xiàng)A，B，D都錯(cuò)，選項(xiàng)C正確.

【例2】同步衛(wèi)星離地距離r，運(yùn)行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2；第一宇速度為v2，地球半徑為R，則

解析：同步衛(wèi)星屬于“繞”的模型，赤道上的物體屬于“隨”的模型，但同步衛(wèi)星和赤道上的物體的角速度相等，根據(jù)

第一宇宙速度是衛(wèi)星貼近地面繞行的速度，同步衛(wèi)星也屬于一種衛(wèi)星，兩者同屬于“繞”的模型，根據(jù)速率

本題應(yīng)選選項(xiàng)A，D.

總之，“隨”、“繞”模型有本質(zhì)上的區(qū)別，即萬有引力是否完全來提供向心力，但“隨”、“繞”模型又都遵守勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.只有將兩者結(jié)合起來，才能順利解決同題中既有“隨”模型又有“繞”模型的題目.當(dāng)然如果學(xué)生能準(zhǔn)確的區(qū)分“隨”、“繞”模型，那么學(xué)生在解答萬有引力習(xí)題時(shí)，就能選擇準(zhǔn)確的物理模型，快速找到解題方法.